Lugar Aragó

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Punto brillante que aparece en el centro de la sombra de un objeto circular debido a la difusión de Fresnel

Experimento de puntos de Arago. Una fuente de puntos ilumina un objeto circular, arrojando una sombra en una pantalla. En el centro de la sombra aparece un punto brillante debido a la difracción, contradiciendo la predicción de la óptica geométrica.

Foto del punto Arago en una sombra de un obstáculo circular de 5,8 mm

simulación numérica de la intensidad de la luz monocromática de longitud de onda λ = 0,5 μm detrás de un obstáculo circular del radio R = 5 μm = 10λ.

Formación del punto Arago (seleccione "fuente WebM" para buena calidad)

Punto Arago formando en la sombra

En óptica, el punto de Arago, punto de Poisson o punto de Fresnel es un punto brillante que aparece en el centro de un objeto circular& #39;s sombra debido a la difracción de Fresnel. Este punto desempeñó un papel importante en el descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de la luz y es una forma común de demostrar que la luz se comporta como una onda (por ejemplo, en ejercicios de laboratorio de física de pregrado).

La configuración experimental básica requiere una fuente puntual, como un agujero de alfiler iluminado o un rayo láser divergente. Las dimensiones de la instalación deben cumplir con los requisitos para la difracción de Fresnel. Es decir, el número de Fresnel debe satisfacer

{displaystyle F={frac {d^{2}}{ell lambda }}gtrsim 1,}

$d$ es el diámetro del objeto circular,
$l$ es la distancia entre el objeto y la pantalla, y
$λ$ es la longitud de onda de la fuente.

Finalmente, el borde del objeto circular debe ser lo suficientemente suave.

Estas condiciones juntas explican por qué el punto brillante no se encuentra en la vida cotidiana. Sin embargo, con las fuentes de láser disponibles en la actualidad, es poco exigente realizar un experimento de punto de Arago.

En astronomía, la mancha de Arago también se puede observar en la imagen fuertemente desenfocada de una estrella en un telescopio newtoniano. Allí, la estrella proporciona una fuente puntual casi ideal en el infinito, y el espejo secundario del telescopio constituye el obstáculo circular.

Cuando la luz incide sobre el obstáculo circular, Huygens' El principio dice que cada punto en el plano del obstáculo actúa como una nueva fuente puntual de luz. La luz procedente de puntos de la circunferencia del obstáculo y que va al centro de la sombra recorre exactamente la misma distancia, por lo que toda la luz que pasa cerca del objeto llega a la pantalla en fase e interfiere constructivamente. Esto da como resultado un punto brillante en el centro de la sombra, donde la óptica geométrica y las teorías de partículas de la luz predicen que no debería haber luz en absoluto.

Historia

A principios del siglo XIX, ganó fuerza la idea de que la luz no se propaga simplemente a lo largo de líneas rectas. Thomas Young publicó su experimento de la doble rendija en 1807. El experimento original del punto de Arago se llevó a cabo una década más tarde y fue el experimento decisivo sobre la cuestión de si la luz es una partícula o una onda. Es pues un ejemplo de experimentum crucis.

En ese momento, muchos favorecían la teoría corpuscular de la luz de Isaac Newton, entre ellos el teórico Siméon Denis Poisson. En 1818, la Academia de Ciencias de Francia lanzó un concurso para explicar las propiedades de la luz, donde Poisson fue uno de los miembros del comité de jueces. El ingeniero civil Augustin-Jean Fresnel participó en este concurso presentando una nueva teoría ondulatoria de la luz.

Poisson estudió la teoría de Fresnel en detalle y, como partidario de la teoría de partículas de la luz, buscó una forma de demostrar que estaba equivocada. Poisson pensó que había encontrado una falla cuando argumentó que una consecuencia de la teoría de Fresnel era que existiría un punto brillante en el eje en la sombra de un obstáculo circular, donde debería haber oscuridad completa según la partícula. teoría de la luz. Esta predicción fue vista como una consecuencia absurda de la teoría ondulatoria, y el fracaso de esa predicción debería ser un argumento sólido para rechazar la teoría de Fresnel.

Sin embargo, el jefe del comité, Dominique-François-Jean Arago, decidió realizar el experimento. Moldeó un disco metálico de 2 mm en una placa de vidrio con cera. Logró observar el punto predicho, lo que convenció a la mayoría de los científicos de la naturaleza ondulatoria de la luz y le dio la victoria a Fresnel.

Arago señaló más tarde que el fenómeno (más tarde conocido como 'la mancha de Poisson' o la 'mancha de Arago') ya había sido observado por Delisle y Maraldi un siglo antes..

Aunque el resultado experimental de Arago fue una evidencia abrumadora a favor de la teoría ondulatoria, un siglo después, junto con el nacimiento de la mecánica cuántica (y sugerida por primera vez en uno de los artículos Annus Mirabilis de Albert Einstein), se entendió que la luz (así como todas las formas de materia y energía) debe describirse como una partícula y una onda (dualidad onda-partícula). Sin embargo, la partícula asociada con las ondas electromagnéticas, el fotón, no tiene nada en común con las partículas imaginadas en la teoría corpuscular que había sido dominante antes del surgimiento de la teoría ondulatoria y la poderosa demostración de Arago. A diferencia de los intentos de la teoría corpuscular de explicar la propagación de la luz, las propiedades de los fotones no tienen ningún papel en la explicación de fenómenos como la difracción y la interferencia; estos son ejemplos de propagación de la luz que dependen estrictamente de su carácter ondulatorio.

Teoría

Notación para calcular la amplitud de onda en el punto P₁ de un punto esférico fuente en P₀.

En el corazón de la teoría de ondas de Fresnel se encuentra el principio de Huygens-Fresnel, que establece que cada punto no obstruido de un frente de onda se convierte en la fuente de una ondícula esférica secundaria y que la amplitud del campo óptico E en un punto de la pantalla viene dada por la superposición de todas esas wavelets secundarias teniendo en cuenta sus fases relativas. Esto significa que el campo en un punto P₁ de la pantalla viene dado por una integral de superficie:

{displaystyle U(P_{1})={frac {Ae^{mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}int _{S}{frac {e^{mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(chi),dS,}

K(chi)

{displaystyle K(chi)={frac {mathbf {i} }{2lambda }}(1+cos(chi))}

A es la amplitud de la onda fuente
${textstyle k={frac {2pi }{lambda }}}$ es el número de onda
S es la superficie sin obstáculos.

El primer término fuera de la integral representa las oscilaciones de la onda fuente a una distancia r₀. De manera similar, el término dentro de la integral representa las oscilaciones de las pequeñas ondas secundarias a distancias r₁.

Para obtener la intensidad detrás del obstáculo circular utilizando esta integral, se supone que los parámetros experimentales cumplen los requisitos del régimen de difracción de campo cercano (el tamaño del obstáculo circular es grande en comparación con la longitud de onda y pequeño en comparación con la longitud de onda). distancias g = P₀C y b = CP₁). Ir a las coordenadas polares produce la integral para un objeto circular de radio a (ver, por ejemplo, Born and Wolf):

{displaystyle U(P_{1})=-{frac {mathbf {i} }{lambda }}{frac {Ae^{mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2pi int _{a}^{infty }e^{mathbf {i} k{frac {1}{2}}left({frac {1}{g}}+{frac {1}{b}}right)r^{2}}r,dr.}

La intensidad del eje en el centro de la sombra de un pequeño obstáculo circular converge a la intensidad sin obstáculos.

Esta integral se puede resolver numéricamente (ver abajo). Si g es grande y b es pequeño para que el ángulo $chi$ no es insignificante uno puede escribir la integral para el caso en eje (P₁ está en el centro de la sombra) como (ver):

{displaystyle U(P_{1})={frac {Ae^{mathbf {i} kg}}{g}}{frac {b}{sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{mathbf {i} k{sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}

La intensidad fuente, que es el cuadrado de la amplitud de campo, es ${textstyle I_{0}=left|{frac {1}{g}}Ae^{mathbf {i} kg}right|^{2}}$ y la intensidad en la pantalla ${displaystyle I=left|U(P_{1})right|^{2}}$ . La intensidad del eje como función de la distancia b es dado por:

{displaystyle I={frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}

Esto muestra que la intensidad en el eje a distancias b mucho mayores que el diámetro del obstáculo circular es la misma que la intensidad de la fuente, como si el objeto circular no estuviera presente en absoluto. Sin embargo, a distancias mayores b, resulta que el tamaño del punto brillante (como se puede ver en las simulaciones a continuación donde b/a aumenta en imágenes sucesivas) es más grande, por lo que la mancha es más fácil de distinguir.

Cálculo de imágenes de difracción

Para calcular la imagen de difusión completa que es visible en la pantalla hay que considerar la superficie integral de la sección anterior. Ya no se puede explotar la simetría circular, ya que la línea entre la fuente y un punto arbitrario en la pantalla no pasa por el centro del objeto circular. Con la función de apertura $g(r,theta)$ que es 1 para partes transparentes del plano objeto y 0 de otro modo (es decir, Es 0 si la línea directa entre fuente y el punto en la pantalla pasa a través del objeto circular de bloqueo.) el integral que necesita ser resuelto es dado por:

{displaystyle U(P_{1})propto int _{0}^{2pi }int _{0}^{infty }g(r,theta)e^{{frac {mathbf {i} pi rho ^{2}}{lambda }}left({frac {1}{g}}+{frac {1}{b}}right)}rho ,drho ,dtheta.}

El cálculo numérico de la integral usando la regla trapezoidal o la regla de Simpson no es eficiente y se vuelve numéricamente inestable especialmente para configuraciones con gran número de Fresnel. Sin embargo, es posible resolver la parte radial de la integral para que sólo la integración sobre el ángulo del azimut siga siendo hecha numéricamente. Para un ángulo particular uno debe resolver la línea integral para el rayo con origen en el punto de intersección de la línea P₀P₁ con el plano de objeto circular. La contribución para un determinado rayo con ángulo de azimut $theta _{1}$ y pasar una parte transparente del plano objeto desde $r=s$ a ${displaystyle r=t}$ es:

{displaystyle R(theta _{1})propto e^{{frac {pi }{2}}mathbf {i} s^{2}}-e^{{frac {pi }{2}}mathbf {i} t^{2}}.}

Así que para cada ángulo uno tiene que calcular el punto de intersección(s) del rayo con el objeto circular y luego resumir las contribuciones $I(theta_1)$ para cierto número de ángulos entre 0 y 0 $2pi$ . Los resultados de tal cálculo se muestran en las siguientes imágenes.

Las imágenes son simulaciones del punto de Arago a la sombra de discos de 4 mm, 2 mm y 1 mm de diámetro, captados 1 m detrás de cada disco. Los discos están iluminados por luz de longitud de onda de 633 nm, divergiendo desde un punto 1 m delante de cada disco. Cada imagen tiene 16 mm de ancho.

Aspectos experimentales

Intensidad y tamaño

Para una fuente puntual ideal, la intensidad del punto Arago es igual a la del frente de onda no perturbado. Solo el ancho del pico de intensidad del punto Arago depende de las distancias entre la fuente, el objeto circular y la pantalla, así como de la longitud de onda de la fuente y el diámetro del objeto circular. Esto significa que se puede compensar una reducción en la longitud de onda de la fuente aumentando la distancia l entre el objeto circular y la pantalla o reduciendo el diámetro del objeto circular.

La distribución de intensidad lateral en la pantalla tiene, de hecho, la forma de una función de Bessel cero al cuadrado del primer tipo cuando está cerca del eje óptico y utilizando una fuente de onda plana (fuente puntual en el infinito):

{displaystyle U(P_{1},r)propto J_{0}^{2}left({frac {pi rd}{lambda b}}right)}

r es la distancia del punto P₁ en la pantalla desde el eje óptico
d es el diámetro del objeto circular
λ es la longitud de onda
b es la distancia entre objeto circular y pantalla.

Las siguientes imágenes muestran la distribución de intensidad radial de las imágenes de spot de Arago simuladas anteriores:

Las líneas rojas en estos tres gráficos corresponden a las imágenes simuladas anteriores, y las líneas verdes se calcularon aplicando los parámetros correspondientes a la función de Bessel al cuadrado dada anteriormente.

Tamaño de fuente finito y coherencia espacial

La razón principal por la que el punto Arago es difícil de observar en sombras circulares de fuentes de luz convencionales es que tales fuentes de luz son malas aproximaciones de fuentes de puntos. Si la fuente de onda tiene un tamaño finito S entonces el punto Arago tendrá una extensión que se da por Sb/g, como si el objeto circular actuara como una lente. Al mismo tiempo, la intensidad del punto Arago se reduce con respecto a la intensidad del frente de onda no perturbado. Definición de la intensidad relativa ${displaystyle I_{text{rel}}}$ como la intensidad dividida por la intensidad de la onda no perturbada, la intensidad relativa para una fuente circular ampliada de diámetro w se puede expresar exactamente utilizando la siguiente ecuación:

{displaystyle I_{text{rel}}(w)=J_{0}^{2}left({frac {wRpi }{glambda }}right)+J_{1}^{2}left({frac {wRpi }{glambda }}right)}

J_{0}

J_{1}

R

lambda

g

{displaystyle I_{text{rel}}(w)approx {frac {2glambda }{pi ^{2}wR}}}

Desviación de la circularidad

Si la sección transversal del objeto circular se desvía ligeramente de su forma circular (pero aún tiene un borde afilado en una escala más pequeña), la forma del punto Arago de origen puntual cambia. En particular, si el objeto tiene una sección transversal elipsoidal, el punto de Arago tiene la forma de una evoluta. Tenga en cuenta que este es solo el caso si la fuente está cerca de una fuente puntual ideal. Desde una fuente extendida, el punto de Arago solo se ve afectado marginalmente, ya que uno puede interpretar el punto de Arago como una función de dispersión de puntos. Por lo tanto, la imagen de la fuente extendida solo se desvanece debido a la convolución con la función de dispersión de puntos, pero no disminuye en intensidad total.

La rugosidad de la superficie del objeto circular

El punto de Arago es muy sensible a las desviaciones a pequeña escala de la sección transversal circular ideal. Esto significa que una pequeña cantidad de rugosidad en la superficie del objeto circular puede anular por completo el punto brillante. Esto se muestra en los siguientes tres diagramas que son simulaciones del punto Arago desde un disco de 4 mm de diámetro (g = b = 1 m):

La simulación incluye una ondulación sinusoidal regular de forma circular de amplitud 10 μm, 50 μm y 100 μm, respectivamente. Tenga en cuenta que la ondulación del borde de 100 μm elimina casi por completo el punto brillante central.

Este efecto se puede entender mejor utilizando el concepto de zona de Fresnel. El campo transmitido por un segmento radial que parte de un punto del borde del obstáculo proporciona una contribución cuya fase es estrecha a la posición del punto del borde con respecto a las zonas de Fresnel. Si la variación en el radio del obstáculo es mucho menor que el ancho de la zona de Fresnel cerca del borde, las contribuciones de los segmentos radiales están aproximadamente en fase e interfieren constructivamente. Sin embargo, si la ondulación del borde aleatorio tiene una amplitud comparable o mayor que el ancho de esa zona de Fresnel adyacente, las contribuciones de los segmentos radiales ya no están en fase y se cancelan entre sí, lo que reduce la intensidad del punto de Arago.

La zona de Fresnel adyacente viene dada aproximadamente por:

{displaystyle Delta rapprox {sqrt {r^{2}+lambda {frac {gb}{g+b}}}}-r.}

La ondulación del borde no debe ser mucho más del 10 % de este ancho para ver un punto Arago cercano al ideal. En las simulaciones anteriores con el disco de 4 mm de diámetro, la zona de Fresnel adyacente tiene un ancho de aproximadamente 77 μm.

Punto de Arago con ondas de materia

En 2009, el experimento del punto de Arago se demostró con un haz de expansión supersónica de moléculas de deuterio (un ejemplo de ondas de materia neutra). Las partículas materiales que se comportan como ondas se conocen a partir de la mecánica cuántica. La naturaleza ondulatoria de las partículas en realidad se remonta a la hipótesis de De Broglie, así como a los experimentos de Davisson y Germer. Una mancha Arago de electrones, que también constituyen ondas de materia, se puede observar en microscopios electrónicos de transmisión cuando se examinan estructuras circulares de cierto tamaño.

La observación de una mancha de Arago con moléculas grandes, demostrando así su naturaleza ondulatoria, es un tema de investigación actual.

Otras aplicaciones

Además de la demostración del comportamiento de las ondas, el spot de Arago también tiene otras aplicaciones. Una de las ideas es utilizar el punto de Arago como referencia de línea recta en los sistemas de alineación. Otro es probar las aberraciones en los rayos láser usando la sensibilidad del punto a las aberraciones del rayo. Finalmente, el aragoscopio se ha propuesto como un método para mejorar drásticamente la resolución limitada por difracción de los telescopios espaciales.

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