Longitud de onda

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En física, la longitud de onda es el período espacial de una onda periódica, la distancia en la que se repite la forma de la onda. Es la distancia entre puntos correspondientes consecutivos de la misma fase en la onda, como dos crestas, valles o cruces por cero adyacentes, y es una característica tanto de las ondas viajeras como de las ondas estacionarias, así como de otros patrones de ondas espaciales. El inverso de la longitud de onda se llama frecuencia espacial. La longitud de onda se designa comúnmente con la letra griega lambda (λ). El término longitud de onda también se aplica a veces a ondas moduladas y a las envolventes sinusoidales de ondas moduladas u ondas formadas por la interferencia de varias sinusoides.

Suponiendo que una onda sinusoidal se mueve a una velocidad de onda fija, la longitud de onda es inversamente proporcional a la frecuencia de la onda: las ondas con frecuencias más altas tienen longitudes de onda más cortas y las frecuencias más bajas tienen longitudes de onda más largas.

La longitud de onda depende del medio (por ejemplo, vacío, aire o agua) por el que viaja una onda. Ejemplos de ondas son las ondas de sonido, la luz, las ondas de agua y las señales eléctricas periódicas en un conductor. Una onda de sonido es una variación en la presión del aire, mientras que en la luz y otras radiaciones electromagnéticas la fuerza del campo eléctrico y magnético varía. Las ondas de agua son variaciones en la altura de un cuerpo de agua. En una vibración de red cristalina, las posiciones atómicas varían.

El rango de longitudes de onda o frecuencias para los fenómenos ondulatorios se denomina espectro. El nombre se originó con el espectro de luz visible, pero ahora se puede aplicar a todo el espectro electromagnético, así como a un espectro de sonido o espectro de vibración.

Ondas sinusoidales

En medios lineales, cualquier patrón de onda se puede describir en términos de la propagación independiente de componentes sinusoidales. La longitud de onda λ de una forma de onda sinusoidal que viaja a velocidad constante está dada por $lambda ={frac{v}{f}},,,$

donde se denomina velocidad de fase (magnitud de la velocidad de fase) de la onda y es la frecuencia de la onda. En un medio dispersivo, la velocidad de fase en sí depende de la frecuencia de la onda, lo que hace que la relación entre la longitud de onda y la frecuencia no sea lineal.

En el caso de la radiación electromagnética, como la luz, en el espacio libre, la velocidad de fase es la velocidad de la luz, aproximadamente 3 × 10 m/s. Por lo tanto, la longitud de onda de una onda electromagnética (radio) de 100 MHz es aproximadamente: 3 × 10 m/s dividido por 10 Hz = 3 metros. La longitud de onda de la luz visible varía desde el rojo intenso, aproximadamente 700 nm, hasta el violeta, aproximadamente 400 nm (para otros ejemplos, consulte el espectro electromagnético).

Para las ondas de sonido en el aire, la velocidad del sonido es de 343 m/s (a temperatura ambiente y presión atmosférica). Las longitudes de onda de las frecuencias de sonido audibles para el oído humano (20 Hz–20 kHz) se encuentran entre aproximadamente 17 m y 17 mm, respectivamente. Los murciélagos utilizan frecuencias algo más altas para que puedan resolver objetivos de menos de 17 mm. Las longitudes de onda del sonido audible son mucho más largas que las de la luz visible.

Ondas estacionarias

Una onda estacionaria es un movimiento ondulatorio que permanece en un lugar. Una onda estacionaria sinusoidal incluye puntos estacionarios sin movimiento, llamados nodos, y la longitud de onda es el doble de la distancia entre los nodos.

La figura superior muestra tres ondas estacionarias en un cuadro. Se considera que las paredes de la caja requieren que la onda tenga nodos en las paredes de la caja (un ejemplo de condiciones de contorno) que determinan qué longitudes de onda están permitidas. Por ejemplo, para una onda electromagnética, si la caja tiene paredes metálicas ideales, la condición para los nodos en las paredes resulta porque las paredes metálicas no pueden soportar un campo eléctrico tangencial, forzando a la onda a tener amplitud cero en la pared.

La onda estacionaria puede verse como la suma de dos ondas sinusoidales viajeras de velocidades en direcciones opuestas. En consecuencia, la longitud de onda, el período y la velocidad de onda están relacionados como en el caso de una onda viajera. Por ejemplo, la velocidad de la luz se puede determinar a partir de la observación de ondas estacionarias en una caja de metal que contiene un vacío ideal.

Representación matemática

Las ondas sinusoidales que viajan a menudo se representan matemáticamente en términos de su velocidad v (en la dirección x), frecuencia f y longitud de onda λ como: $y(x, t)=Acos left(2pi left({frac {x}{lambda }}-ftright)right)=Acos left({frac { 2pi }{lambda }}(x-vt)derecha)$

donde y es el valor de la onda en cualquier posición x y tiempo t, y A es la amplitud de la onda. También se expresan comúnmente en términos de número de onda k (2π veces el recíproco de la longitud de onda) y frecuencia angular ω (2π veces la frecuencia) como: $y(x, t)=Acos left(kx-omega tright)=Acos left(k(x-vt)right)$

en el que la longitud de onda y el número de onda están relacionados con la velocidad y la frecuencia como: $k={frac{2pi }{lambda }}={frac {2pi f}{v}}={frac {omega }{v}},$

o $lambda ={frac {2pi }{k}}={frac {2pi v}{omega }}={frac {v}{f}}.$

En la segunda forma dada arriba, la fase (kx − ωt) a menudo se generaliza a (k • r − ωt), reemplazando el número de onda k con un vector de onda que especifica la dirección y el número de onda de una onda plana en el espacio tridimensional, parametrizado por el vector de posición r. En ese caso, el número de onda k, la magnitud de k, todavía está en la misma relación con la longitud de onda como se muestra arriba, con vinterpretándose como velocidad escalar en la dirección del vector de onda. La primera forma, que usa longitudes de onda recíprocas en la fase, no se generaliza tan fácilmente a una onda en una dirección arbitraria.

Las generalizaciones a sinusoides de otras fases y exponenciales complejas también son comunes; ver onda plana. La convención típica de usar la fase del coseno en lugar de la fase del seno al describir una onda se basa en el hecho de que el coseno es la parte real de la exponencial compleja en la onda. $Ae^{ileft(kx-omega tright)}.$

Medios generales

La velocidad de una onda depende del medio en el que se propaga. En particular, la velocidad de la luz en un medio es menor que en el vacío, lo que significa que la misma frecuencia corresponderá a una longitud de onda más corta en el medio que en el vacío, como se muestra en la figura de la derecha.

Este cambio de velocidad al entrar en un medio provoca la refracción, o un cambio en la dirección de las ondas que encuentran la interfaz entre los medios en un ángulo. Para las ondas electromagnéticas, este cambio en el ángulo de propagación se rige por la ley de Snell.

La velocidad de la onda en un medio no solo puede diferir de la de otro, sino que la velocidad normalmente varía con la longitud de onda. Como resultado, el cambio de dirección al entrar en un medio diferente cambia con la longitud de onda de la onda.

Para las ondas electromagnéticas, la velocidad en un medio se rige por su índice de refracción según $v={frac{c}{n(lambda _{0})}},$

donde c es la velocidad de la luz en el vacío y n (λ ₀) es el índice de refracción del medio a la longitud de onda λ ₀, donde este último se mide en el vacío y no en el medio. La longitud de onda correspondiente en el medio es $lambda ={frac {lambda _{0}}{n(lambda _{0})}}.$

Cuando se citan las longitudes de onda de la radiación electromagnética, generalmente se refiere a la longitud de onda en el vacío, a menos que la longitud de onda se identifique específicamente como la longitud de onda en algún otro medio. En acústica, donde un medio es esencial para que existan las ondas, el valor de la longitud de onda se da para un medio específico.

La variación de la velocidad de la luz con la longitud de onda se conoce como dispersión y también es responsable del fenómeno familiar en el que un prisma separa la luz en sus colores componentes. La separación ocurre cuando el índice de refracción dentro del prisma varía con la longitud de onda, por lo que diferentes longitudes de onda se propagan a diferentes velocidades dentro del prisma, lo que hace que se refracten en diferentes ángulos. La relación matemática que describe cómo la velocidad de la luz dentro de un medio varía con la longitud de onda se conoce como relación de dispersión.

Medios no uniformes

La longitud de onda puede ser un concepto útil incluso si la onda no es periódica en el espacio. Por ejemplo, en una ola oceánica que se acerca a la costa, como se muestra en la figura, la ola entrante ondula con una longitud de onda local variable que depende en parte de la profundidad del lecho marino en comparación con la altura de la ola. El análisis de la ola se puede basar en la comparación de la longitud de onda local con la profundidad del agua local.

Las ondas que son sinusoidales en el tiempo pero que se propagan a través de un medio cuyas propiedades varían con la posición (un medio no homogéneo) pueden propagarse a una velocidad que varía con la posición y, como resultado, pueden no ser sinusoidales en el espacio. La figura de la derecha muestra un ejemplo. A medida que la onda se ralentiza, la longitud de onda se acorta y la amplitud aumenta; después de un lugar de máxima respuesta, la longitud de onda corta se asocia con una gran pérdida y la onda se extingue.

El análisis de las ecuaciones diferenciales de tales sistemas a menudo se realiza de forma aproximada, utilizando el método WKB (también conocido como el método de Liouville-Green). El método integra la fase a través del espacio utilizando un número de onda local, que puede interpretarse como una "longitud de onda local" de la solución en función del tiempo y el espacio. Este método trata el sistema localmente como si fuera uniforme con las propiedades locales; en particular, la velocidad de onda local asociada con una frecuencia es lo único que se necesita para estimar el número de onda o longitud de onda local correspondiente. Además, el método calcula una amplitud que cambia lentamente para satisfacer otras restricciones de las ecuaciones o del sistema físico, como la conservación de la energía en la onda.

Cristales

Las ondas en los sólidos cristalinos no son continuas, porque están compuestas por vibraciones de partículas discretas dispuestas en una red regular. Esto produce alias porque se puede considerar que la misma vibración tiene una variedad de longitudes de onda diferentes, como se muestra en la figura. Las descripciones que utilizan más de una de estas longitudes de onda son redundantes; es convencional elegir la longitud de onda más larga que se ajuste al fenómeno. El rango de longitudes de onda suficiente para proporcionar una descripción de todas las ondas posibles en un medio cristalino corresponde a los vectores de onda confinados a la zona de Brillouin.

Esta indeterminación de la longitud de onda en los sólidos es importante en el análisis de los fenómenos ondulatorios, como las bandas de energía y las vibraciones reticulares. Es matemáticamente equivalente al aliasing de una señal que se muestrea a intervalos discretos.

Formas de onda más generales

El concepto de longitud de onda se aplica con mayor frecuencia a las ondas sinusoidales, o casi sinusoidales, porque en un sistema lineal, la sinusoide es la forma única que se propaga sin cambiar de forma, solo un cambio de fase y, potencialmente, un cambio de amplitud. La longitud de onda (o, alternativamente, el número de onda o el vector de onda) es una caracterización de la onda en el espacio, que está funcionalmente relacionada con su frecuencia, según las limitaciones de la física del sistema. Las sinusoides son las soluciones de ondas viajeras más simples, y se pueden construir soluciones más complejas por superposición.

En el caso especial de medios uniformes y sin dispersión, las ondas distintas de las sinusoides se propagan con forma inalterable y velocidad constante. En ciertas circunstancias, las ondas de forma invariable también pueden ocurrir en medios no lineales; por ejemplo, la figura muestra ondas oceánicas en aguas poco profundas que tienen crestas más afiladas y valles más planos que los de una sinusoide, típica de una onda cnoidal, una onda viajera llamada así porque es descrita por la función elíptica de Jacobi de orden m -ésimo, generalmente denotado como cn (x; m). Las olas oceánicas de gran amplitud con ciertas formas pueden propagarse sin cambios, debido a las propiedades del medio de onda superficial no lineal.

Si una onda viajera tiene una forma fija que se repite en el espacio o en el tiempo, es una onda periódica. A veces se considera que tales ondas tienen una longitud de onda aunque no sean sinusoidales. Como se muestra en la figura, la longitud de onda se mide entre puntos correspondientes consecutivos en la forma de onda.

Paquetes de ondas

Los paquetes de ondas localizados, "ráfagas" de acción de ondas donde cada paquete de ondas viaja como una unidad, encuentran aplicación en muchos campos de la física. Un paquete de ondas tiene una envolvente que describe la amplitud general de la onda; dentro de la envolvente, la distancia entre picos o valles adyacentes a veces se denomina longitud de onda local. En la figura se muestra un ejemplo. En general, la envolvente del paquete de ondas se mueve a una velocidad diferente a la de las ondas constituyentes.

Con el análisis de Fourier, los paquetes de ondas se pueden analizar en sumas infinitas (o integrales) de ondas sinusoidales de diferentes números de onda o longitudes de onda.

Louis de Broglie postuló que todas las partículas con un valor específico de momento p tienen una longitud de onda λ = h/p, donde h es la constante de Planck. Esta hipótesis estaba en la base de la mecánica cuántica. Hoy en día, esta longitud de onda se llama longitud de onda de De Broglie. Por ejemplo, los electrones en una pantalla CRT tienen una longitud de onda De Broglie de unos 10 m. Para evitar que la función de onda de una partícula de este tipo se extienda por todo el espacio, de Broglie propuso usar paquetes de onda para representar partículas que están localizadas en el espacio. La dispersión espacial del paquete de ondas y la dispersión de los números de onda de las sinusoides que componen el paquete corresponden a las incertidumbres en la posición y el momento de la partícula, cuyo producto está limitado por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Interferencia y difracción

Interferencia de doble rendija

Cuando se suman formas de onda sinusoidales, pueden reforzarse entre sí (interferencia constructiva) o cancelarse (interferencia destructiva) dependiendo de su fase relativa. Este fenómeno se utiliza en el interferómetro. Un ejemplo simple es un experimento de Young donde la luz pasa a través de dos rendijas. Como se muestra en la figura, la luz pasa a través de dos rendijas y brilla en una pantalla. La trayectoria de la luz a una posición en la pantalla es diferente para las dos rendijas y depende del ángulo θ que forma la trayectoria con la pantalla. Si suponemos que la pantalla está lo suficientemente lejos de las rendijas (es decir, s es grande en comparación con la separación entre rendijas d), entonces los caminos son casi paralelos y la diferencia de caminos es simplemente dsen θ. En consecuencia, la condición para la interferencia constructiva es: $dsentheta =mlambda,$

donde m es un número entero, y para interferencia destructiva es: $dsentheta =(m+1/2)lambda.$

Por lo tanto, si se conoce la longitud de onda de la luz, la separación entre rendijas se puede determinar a partir del patrón de interferencia o franjas, y viceversa.

Para múltiples rendijas, el patrón es $I_{q}=I_{1}sin ^{2}left({frac {qpi gsin alpha }{lambda }}right)/sin ^{2}left({ frac {pi gsin alpha }{lambda }}right),$

donde q es el número de rendijas y g es la constante de rejilla. El primer factor, I ₁, es el resultado de una sola rendija, que modula el segundo factor que varía más rápidamente y que depende del número de rendijas y su espaciamiento. En la figura I ₁ se ha fijado en la unidad, una aproximación muy aproximada.

El efecto de la interferencia es redistribuir la luz, por lo que la energía contenida en la luz no se altera, solo donde aparece.

Difracción de una sola rendija

La noción de diferencia de trayectoria e interferencia constructiva o destructiva utilizada anteriormente para el experimento de la doble rendija se aplica también a la visualización de una única rendija de luz interceptada en una pantalla. El resultado principal de esta interferencia es esparcir la luz desde la rendija estrecha hacia una imagen más amplia en la pantalla. Esta distribución de la energía de las olas se llama difracción.

Se distinguen dos tipos de difracción, dependiendo de la separación entre la fuente y la pantalla: la difracción de Fraunhofer o difracción de campo lejano en separaciones grandes y la difracción de Fresnel o difracción de campo cercano en separaciones pequeñas.

En el análisis de la rendija única, se tiene en cuenta el ancho distinto de cero de la rendija, y cada punto de la abertura se toma como la fuente de una contribución al haz de luz (ondículas de Huygens). En la pantalla, la luz que llega desde cada posición dentro de la rendija tiene una longitud de trayectoria diferente, aunque posiblemente una diferencia muy pequeña. En consecuencia, se produce interferencia.

En el patrón de difracción de Fraunhofer suficientemente lejos de una sola rendija, dentro de una aproximación de ángulo pequeño, la dispersión de intensidad S está relacionada con la posición x a través de una función de sinc al cuadrado: $S(u)=mathrm {sinc} ^{2}(u)=left({frac {sin pi u}{pi u}}right)^{2};$ con $u={frac{xL}{lambda R}},$

donde L es el ancho de la rendija, R es la distancia del patrón (en la pantalla) desde la rendija y λ es la longitud de onda de la luz utilizada. La función S tiene ceros donde u es un número entero distinto de cero, donde están los valores de x en una proporción de separación a la longitud de onda.

Resolución limitada por difracción

La difracción es la limitación fundamental del poder de resolución de los instrumentos ópticos, como los telescopios (incluidos los radiotelescopios) y los microscopios. Para una apertura circular, el punto de imagen limitado por difracción se conoce como disco de Airy; la distancia x en la fórmula de difracción de una sola rendija se reemplaza por la distancia radial ry el seno se reemplaza por 2 J ₁, donde J ₁ es una función de Bessel de primer orden.

El tamaño espacial resoluble de los objetos vistos a través de un microscopio está limitado según el criterio de Rayleigh, el radio al primer nulo del disco de Airy, a un tamaño proporcional a la longitud de onda de la luz utilizada y dependiendo de la apertura numérica: $r_{Airy}=1.22{frac {lambda }{2mathrm {NA} }},$

donde la apertura numérica se define como $mathrm {NA} =nsin theta ;$ que θ es el medio ángulo del cono de rayos aceptado por el objetivo del microscopio.

El tamaño angular de la porción brillante central (radio al primer nulo del disco de Airy) de la imagen difractada por una apertura circular, una medida que se usa más comúnmente para telescopios y cámaras, es: $delta =1.22{frac {lambda}{D}},$

donde λ es la longitud de onda de las ondas enfocadas para la imagen, D el diámetro de la pupila de entrada del sistema de imagen, en las mismas unidades, y la resolución angular δ está en radianes.

Al igual que con otros patrones de difracción, el patrón se escala en proporción a la longitud de onda, por lo que las longitudes de onda más cortas pueden conducir a una resolución más alta.

Sublongitud de onda

El término sublongitud de onda se usa para describir un objeto que tiene una o más dimensiones más pequeñas que la longitud de la onda con la que interactúa el objeto. Por ejemplo, el término fibra óptica de diámetro de sublongitud de onda significa una fibra óptica cuyo diámetro es menor que la longitud de onda de la luz que se propaga a través de ella.

Una partícula de sublongitud de onda es una partícula más pequeña que la longitud de onda de la luz con la que interactúa (ver dispersión de Rayleigh). Las aperturas de sublongitud de onda son agujeros más pequeños que la longitud de onda de la luz que se propaga a través de ellos. Tales estructuras tienen aplicaciones en transmisiones ópticas extraordinarias y guías de ondas de modo cero, entre otras áreas de la fotónica.

La sublongitud de onda también puede referirse a un fenómeno que involucra objetos de sublongitud de onda; por ejemplo, imágenes de sublongitud de onda.

Longitud de onda angular

Una cantidad relacionada con la longitud de onda es la longitud de onda angular (también conocida como longitud de onda reducida), generalmente simbolizada por ƛ (barra lambda). Es igual a la longitud de onda "regular" "reducida" por un factor de 2π (ƛ = λ /2π). Por lo general, se encuentra en la mecánica cuántica, donde se usa en combinación con la constante de Planck reducida (símbolo ħ, h-bar) y la frecuencia angular (símbolo ω) o el número de onda angular (símbolo k).

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