Longitud de dispersión

El longitud de dispersión en la mecánica cuántica describe la dispersión de baja energía. Para los potenciales que decaen más rápido que ${\displaystyle 1/r^{3}$ como ${\displaystyle r\to \infty}$, se define como el siguiente límite de baja energía:

${\displaystyle \lim _{k\to 0}k\cot \delta (k)=-{\frac {1}{a}\;,}$

Donde ${\displaystyle a}$ es la longitud de dispersión, ${\displaystyle k}$ es el número de onda, y ${\displaystyle \delta (k)}$ es el cambio de fase de la onda esférica saliente. La sección de la cruz elástica, ${\displaystyle \sigma _{e}$, a bajas energías se determina únicamente por la longitud de dispersión:

${\displaystyle \lim _{k\to 0}\sigma ¿Qué?$

Cuando una partícula lenta se dispersa por un esparcidor corto (por ejemplo, una impureza en una partícula sólida o pesada) no puede resolver la estructura del objeto ya que su longitud de onda de Broglie es muy larga. La idea es que entonces no debe ser importante qué potencial preciso ${\displaystyle V(r)}$ uno se dispersa, pero sólo cómo el potencial mira a escalas largas. La forma formal de resolver este problema es hacer una expansión parcial de onda (algo análogo a la expansión multipole en electrodinámica clásica), donde se expande en los componentes angulares del impulso de la onda saliente. En muy baja energía la partícula entrante no ve ninguna estructura, por lo tanto al orden más bajo uno tiene sólo una onda saliente esférica, llamada la onda s en analogía con la órbita atómica en el número cuántico del impulso angular l=0. En las energías superiores se necesita también considerar la onda p y d (l=1,2) dispersión y así sucesivamente.

La idea de describir propiedades de baja energía en términos de unos pocos parámetros y simetrías es muy poderosa y también está detrás del concepto de renormalización.

El concepto de la longitud de dispersión también se puede ampliar a potenciales que decaen más lento que ${\displaystyle 1/r^{3}$ como ${\displaystyle r\to \infty}$. Un ejemplo famoso, relevante para la dispersión proton-proton, es la longitud de dispersión modificada Coulomb.

Como ejemplo sobre cómo calcular la onda s (es decir, impulso angular) ${\displaystyle l=0}$) longitud de dispersión para un potencial dado miramos el potencial esférico infinitamente repulsivo pozo de radio ${\displaystyle R_{0}$ en 3 dimensiones. La ecuación de Schrödinger radial${\displaystyle l=0}$) fuera del pozo es igual que para una partícula libre:

${\displaystyle - ¿Qué?$

donde el potencial de núcleo duro requiere que la función de onda ${\displaystyle u(r)}$ desaparecen ${\displaystyle r=r_{0}$, ${\displaystyle u(r_{0}=0}$. La solución se encuentra fácilmente:

${\displaystyle u(r)=A\sin(kr+\delta _{s}}$.

Aquí. ${\displaystyle k={\sqrt {2mE}/\hbar }$ y ${\displaystyle \delta ¿Qué? R_{0}$ es el cambio de fase de onda s (la diferencia de fase entre la onda entrante y la onda saliente), que se fija por la condición de límite ${\displaystyle u(r_{0}=0}$; ${\displaystyle A}$ es una constante de normalización arbitraria.

Uno puede demostrar que en general ${\displaystyle \delta _{s}(k)\approx - ¿Qué?$ para pequeños ${\displaystyle k}$ (es decir, dispersión de baja energía). El parámetro ${\displaystyle A_{s}$ la longitud de la dimensión se define como longitud de dispersión. Por lo tanto, para nuestro potencial tenemos ${\displaystyle a=r_{0}$, en otras palabras la longitud de dispersión para una esfera dura es sólo el radio. (Alternatively one could say that an arbitrary potential with s-wave scattering length ${\displaystyle A_{s}$ tiene las mismas propiedades de dispersión de baja energía como una esfera dura de radio ${\displaystyle A_{s}$) Para relacionar la longitud de dispersión a los observables físicos que se pueden medir en un experimento de dispersión necesitamos calcular la sección de la cruz ${\displaystyle \sigma }$. En la teoría de dispersión uno escribe la función de onda asintotica como (suponemos que hay un dispersor de gama finita en el origen y hay una onda de avión entrante a lo largo de la ${\displaystyle z}$-eje:

${\displaystyle \psi (r,\theta)=e^{ikz}+f(\theta){\frac {e^{ikr}}{r}}}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}}}}$

Donde ${\displaystyle f}$ es la amplitud dispersa. Según la interpretación de probabilidad de la mecánica cuántica, la sección transversal diferencial es dada por ${\displaystyle d\sigma /d\Omega = preservef(\theta)$ (la probabilidad por unidad tiempo para dispersar en la dirección ${\displaystyle \mathbf {k}$). Si consideramos sólo la onda s dispersando la sección transversal diferencial no depende del ángulo ${\displaystyle \theta }$, y la sección de distribución total de la cruz es sólo ${\displaystyle \sigma =4\pi Навывый {2}$. La parte de la onda s de la función de onda ${\displaystyle \psi (r,\theta)}$ se proyecta utilizando la expansión estándar de una onda plana en términos de ondas esféricas y polinomios Legendre ${\displaystyle P_{l}(\cos \theta)}$:

${\displaystyle e^{ikz}\approx {\frac}{2ikr}\sum ¿Por qué?$

Al igualar el ${\displaystyle l=0}$ componente ${\displaystyle \psi (r,\theta)}$ solución s-wave ${\displaystyle \psi (r)=A\sin(kr+\delta _{s}/r}$ (donde nos normalizamos) ${\displaystyle A}$ tal que la onda entrante ${\displaystyle e^{ikz}$ tiene un prefactor de unidad) uno tiene:

${\displaystyle f={2ik}(e^{2i\delta) ################################################################################################################################################################################################################################################################ _{s}/k\approx -a_{s}$

Esto da como resultado:

${\displaystyle \sigma ={\frac {4\fn\cH00} } {k^{2}\sin ^{2}\delta ¿Qué? A_{s} {2}$

• Fermi pseudopotential
• Neutron longitud de dispersión

• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (2003). Mecánica Cuántica: Non-relativistic Teoría. Amsterdam: Butterworth-Heinemann. ISBN 0-7506-3539-8.