Logicismo

En la filosofía de las matemáticas, el logicismo es un programa que comprende una o más de las tesis de que, para algún significado coherente de 'lógica', las matemáticas son una extensión de la lógica, algunas o todas las matemáticas son reducibles a la lógica, o algunas o todas ellas. las matemáticas pueden ser modeladas en lógica. Bertrand Russell y Alfred North Whitehead defendieron este programa, iniciado por Gottlob Frege y posteriormente desarrollado por Richard Dedekind y Giuseppe Peano.

Visión de conjunto

El camino de Dedekind hacia el logicismo tuvo un punto de inflexión cuando pudo construir un modelo que satisfacía los axiomas que caracterizan a los números reales usando ciertos conjuntos de números racionales. Esta y otras ideas relacionadas lo convencieron de que la aritmética, el álgebra y el análisis eran reducibles a los números naturales más una "lógica" de clases. Además, en 1872 había llegado a la conclusión de que los propios naturales eran reducibles a conjuntos y aplicaciones. Es probable que otros lógicos, sobre todo Frege, también se guiaran por las nuevas teorías de los números reales publicadas en el año 1872.

El ímpetu filosófico detrás del programa logicista de Frege desde los Grundlagen der Arithmetik en adelante fue en parte su insatisfacción con los compromisos epistemológicos y ontológicos de las explicaciones entonces existentes de los números naturales, y su convicción de que el uso de Kant de las verdades sobre los números naturales como ejemplos de números naturales sintéticos la verdad a priori era incorrecta.

Esto inició un período de expansión del logicismo, con Dedekind y Frege como sus principales exponentes. Sin embargo, esta fase inicial del programa logicista entró en crisis con el descubrimiento de las paradojas clásicas de la teoría de conjuntos (Cantor 1896, Zermelo y Russell 1900-1901). Frege abandonó el proyecto después de que Russell reconociera y comunicara su paradoja identificando una inconsistencia en el sistema de Frege establecido en Grundgesetze der Arithmetik. Tenga en cuenta que la teoría de conjuntos ingenua también sufre de esta dificultad.

Por otro lado, Russell escribió Los principios de las matemáticas en 1903 utilizando la paradoja y los desarrollos de la escuela de geometría de Giuseppe Peano. Dado que trató el tema de las nociones primitivas en geometría y teoría de conjuntos, este texto es un parteaguas en el desarrollo del logicismo. La evidencia de la afirmación del logicismo fue recopilada por Russell y Whitehead en sus Principia Mathematica.

Hoy en día, se cree que la mayor parte de las matemáticas existentes se puede derivar lógicamente de un pequeño número de axiomas extralógicos, como los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (o su extensión ZFC), de los cuales aún no se han derivado inconsistencias. Por lo tanto, los elementos de los programas logicistas han demostrado ser viables, pero en el proceso, las teorías de clases, conjuntos y asignaciones, y las lógicas de orden superior distintas de la semántica de Henkin, han llegado a considerarse de naturaleza extralógica, en parte bajo la influencia de El pensamiento posterior de Quine.

Los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel muestran que ningún sistema formal del que se puedan derivar los axiomas de Peano para los números naturales, como los sistemas de Russell en PM, puede decidir todas las oraciones bien formadas de ese sistema. Este resultado perjudicó el programa de David Hilbert para los fundamentos de las matemáticas mediante el cual las teorías 'infinitas', como la de PM, debían demostrar ser consistentes a partir de teorías finitarias, con el objetivo de que aquellos inquietos por los 'métodos infinitos' pudieran estar seguros de que su uso debería probarse. no dar lugar a la derivación de una contradicción. El resultado de Gödel sugiere que para mantener una posición logicista, mientras se conserva la mayor cantidad posible de matemáticas clásicas, se debe aceptar algún axioma del infinito como parte de la lógica. A primera vista, esto también daña el programa logicista, aunque solo para aquellos que ya dudan sobre los 'métodos infinitos'. No obstante, se han seguido defendiendo posiciones derivadas tanto del logicismo como del finitismo hilbertiano desde la publicación de Gödel'.

Un argumento de que los programas derivados del logicismo siguen siendo válidos podría ser que los teoremas de incompletitud se "demuestran con lógica como cualquier otro teorema". Sin embargo, ese argumento parece no reconocer la distinción entre teoremas de lógica de primer orden y teoremas de lógica de orden superior. El primero puede probarse utilizando métodos finistas, mientras que el segundo, en general, no puede. El teorema de indefinibilidad de Tarski muestra que la numeración de Gödel se puede usar para probar construcciones sintácticas, pero no afirmaciones semánticas. Por lo tanto, la afirmación de que el logicismo sigue siendo un programa válido puede comprometernos a sostener que un sistema de prueba basado en la existencia y propiedades de los números naturales es menos convincente que uno basado en algún sistema formal particular.

El logicismo, especialmente a través de la influencia de Frege en Russell y Wittgenstein y más tarde en Dummett, contribuyó significativamente al desarrollo de la filosofía analítica durante el siglo XX.

Origen del nombre 'logicismo'

Ivor Grattan-Guinness afirma que la palabra francesa 'Logistique' fue "introducida por Couturat y otros en el Congreso Internacional de Filosofía de 1904, y fue utilizada por Russell y otros a partir de entonces, en versiones apropiadas para varios idiomas". (GG 2000:501).

Aparentemente, el primer (y único) uso de Russell apareció en su 1919: "Russell se refirió varias veces [sic] a Frege, presentándolo como uno de los 'primeros que lograron 'logizar' las matemáticas' (p. 7). Aparte de la tergiversación (que Russell rectificó en parte al explicar su propia visión del papel de la aritmética en las matemáticas), el pasaje es notable por la palabra que puso entre comillas, pero su presencia sugiere nerviosismo, y nunca volvió a usar la palabra, de modo que ' El logicismo no surgió hasta finales de la década de 1920" (GG 2002: 434).

Aproximadamente al mismo tiempo que Rudolf Carnap (1929), pero aparentemente de forma independiente, Fraenkel (1928) usó la palabra: "Sin comentarios, usó el nombre 'logicismo' para caracterizar la posición de Whitehead/Russell (en el título de la sección en la p. 244, explicación en p. 263)" (GG 2002:269). Carnap usó una palabra ligeramente diferente 'Logistik'; Behmann se quejó de su uso en el manuscrito de Carnap, por lo que Carnap propuso la palabra 'Logizismus', pero finalmente se aferró a su elección de palabras 'Logistik' (GG 2002: 501). En última instancia, "la propagación se debió principalmente a Carnap, desde 1930 en adelante". (GG 2000:502).

Intención u objetivo del logicismo

Lógica simbólica: la intención manifiesta del logicismo es derivar todas las matemáticas de la lógica simbólica (Frege, Dedekind, Peano, Russell). A diferencia de la lógica algebraica (lógica booleana) que emplea conceptos aritméticos, la lógica simbólica comienza con un conjunto muy reducido de marcas (símbolos no aritméticos), algunos axiomas "lógicos" que encarnan las "leyes del pensamiento" y reglas de inferencia que dictan cómo se ensamblan y manipulan las marcas, por ejemplo, sustitución y modus ponens(es decir, de [1] A implica materialmente B y [2] A, uno puede derivar B). El logicismo también adopta del trabajo preliminar de Frege la reducción de los enunciados del lenguaje natural de "sujeto|predicado" a "átomos" proposicionales o al "argumento|función" de "generalización": las nociones "todo", "algunos", "clase" (colección, agregado) y "relación".

En una derivación logicista de los números naturales y sus propiedades, ninguna "intuición" del número debería "infiltrarse" ni como axioma ni por accidente. El objetivo es derivar todas las matemáticas, comenzando con los números de conteo y luego los números reales, a partir de algunas "leyes del pensamiento" elegidas únicamente, sin suposiciones tácitas de "antes" y "después" o "menos" y "más". o al grano: "sucesor" y "predecesor". Gödel 1944 resumió las "construcciones" logicistas de Russell en comparación con las "construcciones" en los sistemas fundamentales del intuicionismo y el formalismo ("la escuela de Hilbert") de la siguiente manera: "

Historia: Gödel 1944 resumió los antecedentes históricos de Leibniz en Characteristica universalis, a través de Frege y Peano hasta Russell: "Frege estaba principalmente interesado en el análisis del pensamiento y usó su cálculo en primer lugar para derivar la aritmética de la lógica pura", mientras que Peano " estaba más interesado en sus aplicaciones dentro de las matemáticas". Pero "fue solo en los Principia Mathematica [de Russell] que se hizo pleno uso del nuevo método para derivar realmente grandes partes de las matemáticas a partir de muy pocos conceptos lógicos y axiomas. Además, la ciencia joven se enriqueció con un nuevo instrumento, el resumen teoría de las relaciones" (p. 120-121).

Kleene 1952 lo expresa de esta manera: "Leibniz (1666) primero concibió la lógica como una ciencia que contiene las ideas y los principios subyacentes a todas las demás ciencias. Dedekind (1888) y Frege (1884, 1893, 1903) se dedicaron a definir las nociones matemáticas en términos de los lógicos, y Peano (1889, 1894-1908) al expresar teoremas matemáticos en un simbolismo lógico" (p. 43); en el párrafo anterior incluye a Russell y Whitehead como ejemplos de la "escuela logicista", siendo las otras dos escuelas "fundamentales" la intuicionista y la "escuela formalista o axiomática" (p. 43).

Frege 1879 describe su intención en el prefacio de su Begriffsschrift de 1879: Comenzó con una consideración de la aritmética: ¿derivaba de la "lógica" o de los "hechos de la experiencia"?"Primero tuve que determinar hasta dónde se podía avanzar en aritmética por medio de inferencias solamente, con el único apoyo de esas leyes del pensamiento que trascienden todos los particulares. Mi paso inicial fue intentar reducir el concepto de ordenar en una secuencia a eso de lógicaconsecuencia, para pasar de allí al concepto de número. Para evitar que nada intuitivo penetrara aquí desapercibido, tuve que esforzarme al máximo para mantener la cadena de inferencias libre de lagunas... Encontré que la insuficiencia del lenguaje era un obstáculo; por difíciles de manejar que fueran las expresiones que estaba dispuesto a aceptar, a medida que las relaciones se volvían más y más complejas, era cada vez menos capaz de alcanzar la precisión que requería mi propósito. Esta deficiencia me llevó a la idea de la ideología actual. Su primer propósito, por lo tanto, es brindarnos la prueba más confiable de la validez de una cadena de inferencias y señalar cada presuposición que intenta colarse sin ser notada” (Frege 1879 en van Heijenoort 1967:5).

Dedekind 1887 describe su intención en el Prefacio de 1887 a la Primera Edición de su La Naturaleza y Significado de los Números. Creía que en los "fundamentos de la ciencia más simple, a saber, esa parte de la lógica que se ocupa de la teoría de los números" no se había argumentado correctamente: "nada capaz de prueba debe aceptarse sin prueba":Al hablar de la aritmética (álgebra, análisis) como parte de la lógica, quiero dar a entender que considero el concepto de número completamente independiente de las nociones de intuiciones de espacio y tiempo, que lo considero un resultado inmediato de las leyes del pensamiento... los números son creaciones libres de la mente humana... [y] solo a través del proceso puramente lógico de construir la ciencia de los números... ¿Estamos preparados con precisión para investigar nuestras nociones de espacio y tiempo poniéndolas en relación con este dominio numérico creado en nuestra mente?" (Dedekind 1887 Dover republicación 1963: 31).

Peano 1889 establece su intención en su Prefacio a sus Principios de Aritmética de 1889:Las cuestiones que atañen a los fundamentos de las matemáticas, aunque tratadas por muchos en los últimos tiempos, aún carecen de una solución satisfactoria. La dificultad tiene su fuente principal en la ambigüedad del lenguaje. ¶ Por eso es de suma importancia examinar con atención las mismas palabras que usamos. Mi objetivo ha sido emprender este examen" (Peano 1889 en van Heijenoort 1967:85).

Russell 1903 describe su intención en el Prefacio de sus Principios de Matemáticas de 1903:"EL presente trabajo tiene dos objetivos principales. Uno de ellos, la prueba de que toda matemática pura trata exclusivamente con conceptos definibles en términos de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales, y que todas sus proposiciones son deducibles de un número muy pequeño de conceptos lógicos fundamentales. principios lógicos" (Prefacio 1903:vi)."Unas pocas palabras sobre el origen del presente trabajo pueden servir para mostrar la importancia de las cuestiones discutidas. Hace unos seis años, comencé una investigación sobre la filosofía de la Dinámica.... [A partir de dos cuestiones: aceleración y movimiento absoluto en una "teoría relacional del espacio"] fui conducido a un nuevo examen de los principios de la Geometría, de ahí a la filosofía de la continuidad y el infinito, y luego, con miras a descubrir el significado de la palabra cualquiera, a la Lógica Simbólica (Prefacio 1903:vi-vii).

Epistemología, ontología y logicismo

Dedekind y Frege: Las epistemologías de Dedekind y Frege parecen estar menos definidas que las de Russell, pero ambas parecen aceptar como a priori las "leyes del pensamiento" habituales relativas a enunciados proposicionales simples (normalmente de creencias); estas leyes serían suficientes en sí mismas si se complementaran con la teoría de las clases y las relaciones (por ejemplo, x R y) entre los individuos x e y vinculados por la generalización R.

Las "formaciones libres de la mente humana" de Dedekind en contraste con las "restricciones" de Kronecker: el argumento de Dedekind comienza con "1. En lo que sigue entiendo por cosa todo objeto de nuestro pensamiento"; los humanos usamos símbolos para hablar de estas "cosas" de nuestra mente; "Una cosa está completamente determinada por todo lo que se puede afirmar o pensar acerca de ella" (p. 44). En un párrafo posterior, Dedekind analiza qué es un "sistema S: es un agregado, una variedad, una totalidad de elementos asociados (cosas) a, b, c "; afirma que "tal sistema S... como objeto de nuestro pensamiento es igualmente una cosa(1); está completamente determinado cuando con respecto a cada cosa se determina si es un elemento de S o no.*” (p. 45, cursiva añadida). El * indica una nota al pie donde dice que:"Kronecker no hace mucho tiempo (Crelle's Journal, Vol. 99, pp. 334-336) se ha esforzado por imponer ciertas limitaciones a la libre formación de conceptos en matemáticas que no creo que estén justificadas" (p. 45).

De hecho, espera que Kronecker "publique sus razones para la necesidad o simplemente la conveniencia de estas limitaciones" (p. 45).

Leopold Kronecker, famoso por su afirmación de que "Dios hizo los números enteros, todo lo demás es obra del hombre", tenía sus enemigos, entre ellos Hilbert. Hilbert llamó a Kronecker un " dogmático, en la medida en que acepta el número entero con sus propiedades esenciales como dogma y no mira hacia atrás" y equiparó su postura constructivista extrema con la del intuicionismo de Brouwer, acusando a ambos de "subjetivismo": "Es parte de la tarea de la ciencia para liberarnos de la arbitrariedad, el sentimiento y la costumbre y para protegernos del subjetivismo que ya se hacía sentir en las opiniones de Kronecker y, me parece, encuentra su culminación en el intuicionismo". Hilbert luego afirma que "las matemáticas son una ciencia sin presupuestos. Para fundarlas no necesito a Dios, al igual que Kronecker..." (pág. 479).

Russell como realista: el realismo de Russell le sirvió como antídoto contra el idealismo británico, con partes prestadas del racionalismo europeo y el empirismo británico. Para empezar, "Russell era realista en dos temas clave: los universales y los objetos materiales" (Russell 1912:xi). Para Russell, las mesas son cosas reales que existen independientemente del Russell observador. El racionalismo aportaría la noción de conocimiento a priori, mientras que el empirismo aportaría el papel del conocimiento experiencial (inducción a partir de la experiencia).Russell le daría crédito a Kant con la idea del conocimiento "a priori", pero ofrece una objeción a Kant que considera "fatal": "Los hechos [del mundo] siempre deben ajustarse a la lógica y la aritmética. Decir que la lógica y la aritmética son aportado por nosotros no da cuenta de esto" (1912:87); Russell concluye que el conocimiento a priori que poseemos es "sobre cosas, y no meramente sobre pensamientos" (1912:89). Y en esto la epistemología de Russell parece diferente de la creencia de Dedekind de que "los números son creaciones libres de la mente humana" (Dedekind 1887:31)

Pero su epistemología sobre lo innato (prefiere la palabra a priori cuando se aplica a principios lógicos, cf. 1912:74) es intrincada. Expresaría fuerte y sin ambigüedades su apoyo a los "universales" platónicos (cf. 1912:91-118) y concluiría que la verdad y la falsedad están "ahí fuera"; las mentes crean creencias y lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho, "y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) la mente de la persona que tiene la creencia" (1912: 130).

¿De dónde derivó Russell estas nociones epistémicas? Nos lo dice en el Prefacio a sus Principios de Matemáticas de 1903. Tenga en cuenta que él afirma que la creencia: "Emily es un conejo" es inexistente y, sin embargo, la verdad de esta proposición inexistente es independiente de cualquier mente conocedora; si Emily es realmente un conejo, el hecho de esta verdad existe esté o no Russell o cualquier otra mente viva o muerta, y la relación de Emily con la condición de conejo es "última":"Sobre cuestiones fundamentales de filosofía, mi posición, en todas sus características principales, se deriva del Sr. GE Moore. He aceptado de él la naturaleza no existencial de las proposiciones (excepto aquellas que afirman existencia) y su independencia de cualquier conocimiento. mente; también el pluralismo que considera el mundo, tanto el de los existentes como el de las entidades, como compuesto de un número infinito de entidades mutuamente independientes, con relaciones que son últimas, y no reducibles a adjetivos de sus términos o del todo que estos componer... Las doctrinas que acabamos de mencionar son, en mi opinión, totalmente indispensables para cualquier filosofía de las matemáticas, incluso tolerablemente satisfactoria, como espero que se muestre en las siguientes páginas... Formalmente, mis premisas simplemente se suponen; pero el hecho de que permiten que las matemáticas sean verdaderas,que la mayoría de las filosofías actuales no hacen, es sin duda un poderoso argumento a su favor.” (Prefacio 1903:viii)

La paradoja de Russell: En 1902, Russell descubrió un "círculo vicioso" (paradoja de Russell) en los Grundgesetze der Arithmetik de Frege, derivado de la Ley Básica V de Frege, y estaba decidido a no repetirlo en sus Principios de Matemáticas de 1903. En dos Apéndices agregados en el último minuto, dedicó 28 páginas tanto a un análisis detallado de la teoría de Frege contrastada con la suya propia, como a una solución para la paradoja. Pero no se mostró optimista sobre el resultado:"En el caso de las clases, debo confesar, no he logrado percibir ningún concepto que cumpla con las condiciones requeridas para la noción de clase. Y la contradicción discutida en el Capítulo X prueba que algo anda mal, pero hasta ahora he fallado en qué es esto". descubrir. (Prefacio a Russell 1903:vi)"

"Ficcionalismo" y la teoría de la no clase de Russell: Gödel en su 1944 no estaría de acuerdo con el joven Russell de 1903 ("[mis premisas] permiten que las matemáticas sean verdaderas") pero probablemente estaría de acuerdo con la declaración de Russell citada anteriormente ("algo anda mal"); La teoría de Russell no había logrado llegar a un fundamento matemático satisfactorio: el resultado fue "esencialmente negativo; es decir, las clases y conceptos introducidos de esta manera no tienen todas las propiedades requeridas para el uso de las matemáticas" (Gödel 1944:132).

¿Cómo llegó Russell a esta situación? Gödel observa que Russell es un "realista" sorprendente con un giro: cita el 1919: 169 de Russell "La lógica se ocupa del mundo real tan verdaderamente como la zoología" (Gödel 1944: 120). Pero observa que "cuando comenzó con un problema concreto, los objetos a analizar (por ejemplo, las clases o proposiciones) pronto se convirtieron en su mayor parte en 'ficciones lógicas'... [lo que significa] sólo que no tenemos una percepción directa de a ellos." (Gödel 1944: 120)

En una observación pertinente al tipo de logicismo de Russell, Perry comenta que Russell pasó por tres fases de realismo: extremo, moderado y constructivo (Perry 1997:xxv). En 1903 estaba en su fase extrema; en 1905 estaría en su fase moderada. En unos pocos años, "prescindiría de los objetos físicos o materiales como partes básicas del mobiliario del mundo. Intentaría construirlos a partir de datos de los sentidos" en su próximo libro Nuestro conocimiento del mundo externo [1914]" (Perry 1997: xxvi).

Estas construcciones en lo que Gödel 1944 llamaría "constructivismo nominalista... que mejor podría llamarse ficcionalismo" derivan de la "idea más radical de Russell, la teoría de la no clase" (p. 125):"según el cual las clases o conceptos nunca existen como objetos reales, y las oraciones que contienen estos términos tienen significado solo en la medida en que pueden interpretarse como... una manera de hablar sobre otras cosas" (p. 125).

Ver más en las secciones de Crítica, a continuación.

Un ejemplo de construcción logicista de los números naturales: la construcción de Russell en los Principia

El logicismo de Frege y Dedekind es similar al de Russell, pero con diferencias en los detalles (ver Críticas, más adelante). En general, las derivaciones logicistas de los números naturales son diferentes de las derivaciones de, por ejemplo, los axiomas de Zermelo para la teoría de conjuntos ('Z'). Mientras que, en las derivaciones de Z, una definición de "número" usa un axioma de ese sistema, el axioma de emparejamiento, que conduce a la definición de "par ordenado", sinEl axioma numérico existe en los diversos sistemas de axiomas logicistas que permiten la derivación de los números naturales. Tenga en cuenta que los axiomas necesarios para derivar la definición de un número pueden diferir entre los sistemas de axiomas para la teoría de conjuntos en cualquier caso. Por ejemplo, en ZF y ZFC, el axioma de emparejamiento, y por lo tanto, en última instancia, la noción de un par ordenado se puede derivar del Axioma del Infinito y el Axioma de Reemplazo y se requiere en la definición de los números de Von Neumann (pero no el Zermelo). numerales), mientras que en NFU los numerales de Frege pueden derivarse de manera análoga a su derivación en los Grundgesetze.

Los Principia, al igual que su antecesor los Grundgesetze, inicia su construcción de los números a partir de proposiciones primitivas como "clase", "función proposicional", y en particular, relaciones de "similitud" ("equinumerosidad": colocar los elementos de las colecciones en uno -a-uno) y "ordenar" (utilizando la relación "el sucesor de" para ordenar las colecciones de las clases equinumeras)". La derivación logicista iguala los números cardinales construidosde esta manera a los números naturales, y estos números terminan siendo todos del mismo "tipo", como clases de clases, mientras que en algunas construcciones teóricas de conjuntos, por ejemplo, los números de von Neumman y Zermelo, cada número tiene su predecesor como un subconjunto.. Kleene observa lo siguiente. (Los supuestos de Kleene (1) y (2) establecen que 0 tiene la propiedad P y n +1 tiene la propiedad P siempre que n tenga la propiedad P)."El punto de vista aquí es muy diferente al de la máxima [de Kronecker] de que 'Dios hizo los números enteros' más los axiomas de Peano sobre el número y la inducción matemática], donde presupusimos una concepción intuitiva de la secuencia natural de números, y extrajimos de ella la principio de que, siempre que se dé una propiedad particular P de los números naturales tal que (1) y (2), entonces cualquier número natural dado debe tener la propiedad P. (Kleene 1952: 44).

La importancia para el programa logicista de la construcción de los números naturales se deriva de la afirmación de Russell de que "que todas las matemáticas puras tradicionales pueden derivarse de los números naturales es un descubrimiento bastante reciente, aunque se sospechaba desde hace mucho tiempo" (1919: 4). Una derivación de los números reales deriva de la teoría de los cortes de Dedekind sobre los números racionales, derivándose a su vez los números racionales de los naturales. Si bien un ejemplo de cómo se hace esto es útil, primero se basa en la derivación de los números naturales. Entonces, si aparecen dificultades filosóficas en una derivación logicista de los números naturales, estos problemas deberían ser suficientes para detener el programa hasta que se resuelvan (ver Críticas, más adelante).

Bernays 1930-1931 resume un intento de construir los números naturales. Pero en lugar de utilizar el resumen de Bernays, que está incompleto en algunos detalles, a continuación se presenta un intento de paráfrasis de la construcción de Russell, incorporando algunas ilustraciones finitas:

Preliminares

Para Russell, las colecciones (clases) son agregados de "cosas" especificadas por nombres propios, que surgen como resultado de proposiciones (afirmaciones de hecho sobre una cosa o cosas). Russell analizó esta noción general. Comienza con "términos" en oraciones, que analizó de la siguiente manera:

Términos: Para Russell, los "términos" son "cosas" o "conceptos": "Cualquier cosa que pueda ser un objeto de pensamiento, o que pueda ocurrir en cualquier proposición verdadera o falsa, o que pueda contarse como una sola, lo llamo un término"., entonces, es la palabra más amplia en el vocabulario filosófico. Usaré como sinónimos las palabras unidad, individuo y entidad. Las dos primeras enfatizan el hecho de que todo término es uno, mientras que la tercera se deriva del hecho de que todo término tiene ser, es decir, es en algún sentido: un hombre, un momento, un número, una clase, una relación, una quimera o cualquier otra cosa que pueda ser mencionada, es seguro que es un término, y negar que tal y tal cosa es un término siempre debe ser falso" (Russell 1903:43)

Las cosas se indican con nombres propios; los conceptos se indican mediante adjetivos o verbos: "Entre los términos, es posible distinguir dos clases, que llamaré respectivamente cosas y conceptos; los primeros son los términos indicados por nombres propios, los segundos los indicados por todas las demás palabras... Entre los conceptos, nuevamente, deben distinguirse al menos dos tipos, a saber, los indicados por adjetivos y los indicados por verbos" (1903: 44).

Los adjetivos-concepto son "predicados"; los verbos-concepto son "relaciones": "Los primeros a menudo se llamarán predicados o conceptos de clase; los segundos son siempre o casi siempre relaciones". (1903:44)

La noción de un sujeto "variable" que aparece en una proposición: "Hablaré de los términos de una proposición como aquellos términos, por numerosos que sean, que aparecen en una proposición y pueden ser considerados como sujetos sobre los cuales trata la proposición. Es un característica de los términos de una proposición que cualquiera de ellos puede ser reemplazado por cualquier otra entidad sin que dejemos de tener una proposición. Así, diremos que "Sócrates es humano" es una proposición que tiene un solo término; proposición, uno es el verbo, el otro es un predicado... Los predicados, entonces, son conceptos, distintos de los verbos, que aparecen en proposiciones que tienen un solo término o sujeto". (1903:45)

Verdad y falsedad: Supongamos que alguien señalara un objeto y dijera: "Este objeto que tengo delante llamado 'Emily' es una mujer". Esta es una proposición, una afirmación de la creencia del hablante, que debe ser contrastada con los "hechos" del mundo exterior: "Las mentes no crean la verdad o la falsedad. Crean creencias... lo que hace que una creencia sea verdadera es un hecho "., y este hecho no involucra (excepto en casos excepcionales) de ninguna manera la mente de la persona que tiene la creencia" (1912: 130). Si mediante la investigación de la expresión y la correspondencia con "hecho", Russell descubre que Emily es un conejo, entonces su declaración se considera "falsa"; si Emily es una mujer humana (una mujer "bípeda sin plumas" como a Russell le gusta llamar a los humanos, siguiendo la anécdota de Diogenes Laërtius sobre Platón), entonces su declaración se considera "verdadera".

Clases (agregados, complejos): "La clase, en oposición al concepto de clase, es la suma o conjunción de todos los términos que tienen el predicado dado" (1903 p. 55). Las clases se pueden especificar por extensión (enumerando sus miembros) o por intensión, es decir, por una "función proposicional" como "x es una u" o "x es v". Pero "si tomamos la extensión pura, nuestra clase se define por la enumeración de sus términos, y este método no nos permitirá tratar, como lo hace la Lógica Simbólica, con clases infinitas. Así, nuestras clases deben ser consideradas en general como objetos denotados por conceptos"., y en esta medida el punto de vista de la intensión es esencial”. (1909 pág. 66)

Funciones proposicionales: "La característica de un concepto de clase, a diferencia de los términos en general, es que "x es una u" es una función proposicional cuando, y solo cuando, u es un concepto de clase". (1903:56)

Definición extensional versus intensional de una clase: "71. La clase puede definirse ya sea extensional o intensionalmente. Es decir, podemos definir el tipo de objeto que es una clase, o el tipo de concepto que denota una clase: este es el significado preciso de la oposición de extensión e intensión a este respecto. Pero aunque la noción general puede definirse de esta doble manera, las clases particulares, excepto cuando son finitas, sólo pueden definirse intensionalmente, es decir, como los objetos denotados por tales y tales conceptos... lógicamente; la definición extensional parece ser igualmente aplicable a infinitas clases, pero en la práctica, si fuéramos a intentarlo, la Muerte truncaría nuestro loable esfuerzo antes de haber alcanzado su meta.” (1903: 69)

La definición de los números naturales.

En los Prinicipia, los números naturales se derivan de todas las proposiciones que se pueden afirmar sobre cualquier colección de entidades. Russell aclara esto en la segunda oración (en cursiva) a continuación."En primer lugar, los números mismos forman una colección infinita y, por lo tanto, no pueden ser definidos por enumeración. En segundo lugar, las colecciones que tienen un número dado de términos presumiblemente forman una colección infinita: se supone, por ejemplo, que hay una colección infinita de tríos en el mundo, pues si esto no fuera así, el número total de cosas en el mundo sería finito, lo que, aunque posible, parece poco probable. En tercer lugar, queremos definir "número "de tal manera que pueden ser posibles números infinitos; así debemos poder hablar del número de términos en una colección infinita, y tal colección debe estar definida por intensión, es decir, por una propiedad común a todos sus miembros y peculiar a ellos". (1919:13)

Para ilustrar, considere el siguiente ejemplo finito: Suponga que hay 12 familias en una calle. Algunos tienen hijos, otros no. Para discutir los nombres de los niños en estos hogares se requieren 12 proposiciones que afirmen que " childname es el nombre de un niño en la familia Fn" aplicada a esta colección de hogares en la calle particular de familias con nombres F1, F2,... F12. Cada una de las 12 proposiciones se refiere a si el nombre del niño "argumento" se aplica o no a un niño en un hogar en particular. Los nombres de los niños (childname) se pueden considerar como la x en una función proposicional f(x), donde la función es "nombre de un niño en la familia con nombre Fn".

Paso 1: Reunir todas las clases: Mientras que el ejemplo anterior es finito sobre la función proposicional finita " nombres de los niños de la familia Fn'" en la calle finita de un número finito de familias, Russell aparentemente pretendía que lo siguiente se extendiera a todas las clases proposicionales. funciones que se extienden sobre un dominio infinito para permitir la creación de todos los números.

Kleene considera que Russell ha planteado una definición impredicativa que tendrá que resolver, o arriesgarse a derivar en algo así como la paradoja de Russell. "Aquí, en cambio, presuponemos la totalidad de todas las propiedades de los números cardinales, tal como existen en la lógica, antes de la definición de la secuencia numérica natural" (Kleene 1952: 44). El problema aparecerá, incluso en el ejemplo finito presentado aquí, cuando Russell trate con la clase unitaria (cf. Russell 1903:517).

Surge la pregunta de qué es o debería ser precisamente una "clase". Para Dedekind y Frege, una clase es una entidad distinta por derecho propio, una 'unidad' que puede identificarse con todas aquellas entidades x que satisfacen alguna función proposicional F. (Este simbolismo aparece en Russell, atribuido allí a Frege: "The la esencia de una función es lo que queda cuando se quita la x, es decir, en el caso anterior, 2() + (). El argumento x no pertenece a la función, pero los dos juntos forman un todo (ib. p. 6 [es decir, Function und Begriff de Frege de 1891 ]" (Russell 1903:505).) Por ejemplo, se podría dar un nombre a una "unidad" particular; supongamos que una familia Fα tiene hijos con los nombres Annie, Barbie y Charles:{ a, b, c } _fa

Esta noción de colección o clase como objeto, cuando se usa sin restricciones, da como resultado la paradoja de Russell; ver más abajo sobre definiciones impredicativas. La solución de Russell fue definir la noción de una clase como solo aquellos elementos que satisfacen la proposición, siendo su argumento que, de hecho, los argumentos x no pertenecen a la función proposicional, también conocida como "clase" creada por la función. La clase en sí no debe ser considerada como un objeto unitario por derecho propio, existe sólo como una especie de ficción útil: "Hemos evitado la decisión de si una clase de cosas tiene en algún sentido una existencia como un objeto. Una decisión de esta cuestión de cualquier manera es indiferente a nuestra lógica" (Primera edición de Principia Mathematica 1927:24).

Russell continúa manteniendo esta opinión en su 1919; observe las palabras "ficciones simbólicas":“Cuando hemos decidido que las clases no pueden ser cosas del mismo tipo que sus miembros, que no pueden ser simplemente montones o agregados, y también que no pueden identificarse con funciones proposicionales, se vuelve muy difícil ver qué pueden ser, si deben ser más que ficciones simbólicas Y si podemos encontrar alguna forma de tratarlas como ficciones simbólicas, aumentamos la seguridad lógica de nuestra posición, ya que evitamos la necesidad de suponer que hay clases sin estar obligados a hacer las cosas. suposición opuesta de que no hay clases. Simplemente nos abstenemos de ambas suposiciones... Pero cuando nos negamos a afirmar que hay clases, no debe suponerse que estamos afirmando dogmáticamente que no hay ninguna. Simplemente somos agnósticos con respecto a ellas....." (1919:184)

Y en la segunda edición de PM (1927), Russell sostiene que "las funciones ocurren sólo a través de sus valores... todas las funciones de las funciones son extensionales... [y] en consecuencia, no hay razón para distinguir entre funciones y clases... Así, las clases, a diferencia de las funciones, pierden incluso ese ser sombrío que retienen en *20" (p. xxxix). En otras palabras, las clases como noción separada han desaparecido por completo.

Paso 2: Reúna clases "similares" en 'paquetes': estas colecciones anteriores se pueden poner en una "relación binaria" (comparando) similitud por "equinumerosidad", simbolizada aquí por ≈, es decir, correspondencia uno a uno de los elementos, y por lo tanto, crea clases de clases russellianas o lo que Russell llamó "paquetes". "Podemos suponer todas las parejas en un paquete, todos los tríos en otro, y así sucesivamente. De esta manera obtenemos varios paquetes de colecciones, cada paquete está compuesto por todas las colecciones que tienen un número determinado de términos. Cada paquete es una clase cuyos los miembros son colecciones, es decir, clases; por tanto, cada uno es una clase de clases" (Russell 1919:14).

Paso 3: Defina la clase nula: observe que cierta clase de clases es especial porque sus clases no contienen elementos, es decir, ningún elemento satisface los predicados cuya afirmación definió esta clase/colección en particular.

La entidad resultante puede llamarse "la clase nula" o "la clase vacía". Russell simbolizó la clase nula/vacía con Λ. Entonces, ¿qué es exactamente la clase nula russelliana? En PM Russell dice que "Se dice que una clase existe cuando tiene al menos un miembro... la clase que no tiene miembros se denomina "clase nula"... "α es la clase nula" es equivalente a " α no existe ". La pregunta que surge naturalmente es si la clase nula en sí misma 'existe'. Las dificultades relacionadas con esta pregunta ocurren en el trabajo de Russell de 1903. Después de que descubrió la paradoja en los Grundgesetze de Fregeagregó el Apéndice A a su 1903 donde a través del análisis de la naturaleza de las clases nulas y unitarias, descubrió la necesidad de una "doctrina de tipos"; Vea más sobre la clase de unidad, el problema de las definiciones impredicativas y el "principio del círculo vicioso" de Russell a continuación.

Paso 4: Asigne un "número" a cada paquete: para fines de abreviatura e identificación, a cada paquete asigne un símbolo único (también conocido como un "número"). Estos símbolos son arbitrarios.

Paso 5: Definir "0" Siguiendo a Frege, Russell escogió la clase de clases vacía o nula como la clase apropiada para cumplir este rol, siendo esta la clase de clases que no tienen miembros. Esta clase nula de clases se puede etiquetar como "0"

Paso 6: Defina la noción de "sucesor": Russell definió una nueva característica "hereditaria" (cf. 'ancestral' de Frege), una propiedad de ciertas clases con la capacidad de "heredar" una característica de otra clase (que puede ser una clase de clases), es decir, "Se dice que una propiedad es "hereditaria" en la serie de los números naturales si, siempre que pertenece a un número n, también pertenece a n + 1, el sucesor de n ". (1903:21). Afirma que "los números naturales son la posteridad - los "hijos", los herederos del "sucesor" - de 0 con respecto a la relación "el predecesor inmediato de (que es lo contrario de "sucesor") (1919:23).

Tenga en cuenta que Russell ha usado algunas palabras aquí sin definición, en particular, "serie de números", "número n" y "sucesor". Él los definirá a su debido tiempo. Obsérvese en particular que Russell no utiliza la clase unitaria de las clases "1" para construir el sucesor. La razón es que, en el análisis detallado de Russell,si una clase unitaria se convierte en una entidad por derecho propio, entonces también puede ser un elemento en su propia proposición; esto hace que la proposición se vuelva "impredicativa" y resulte en un "círculo vicioso". Más bien, afirma: "Vimos en el Capítulo II que un número cardinal debe definirse como una clase de clases, y en el Capítulo III que el número 1 debe definirse como la clase de todas las clases unitarias, de todo lo que acaba de tener". un miembro, como deberíamos decir sino por el círculo vicioso. Por supuesto, cuando el número 1 se define como la clase de todas las clases unitarias, las clases unitarias deben definirse para no suponer que sabemos lo que significa uno (1919:181).

Para su definición de sucesor, Russell usará para su "unidad" una sola entidad o "término" de la siguiente manera:"Queda por definir "sucesor". Dado cualquier número n, sea α una clase que tiene n miembros, y sea x un término que no es miembro de α. Entonces la clase que consta de α con x añadida tendrá + 1. Así tenemos la siguiente definición:el sucesor del número de términos en la clase α es el número de términos en la clase que consiste en α junto con x donde x no es ningún término que pertenezca a la clase.” (1919:23)

La definición de Russell requiere un nuevo "término" que se "agrega" a las colecciones dentro de los paquetes.

Paso 7: Construir el sucesor de la clase nula.

Paso 8: Para cada clase de clases equinumerosas, cree su sucesor.

Paso 9: Ordenar los números: El proceso de creación de un sucesor requiere la relación "... es el sucesor de...", que se puede denotar "S", entre los diversos "numerales". "Ahora debemos considerar el carácter serial de los números naturales en el orden 0, 1, 2, 3,... Normalmente pensamos en los números en este orden, y es una parte esencial del trabajo de análisis de nuestros datos. buscar una definición de "orden" o "serie" en términos lógicos... El orden reside, no en la clase de términos, sino en una relación entre los miembros de la clase, respecto de la cual algunos aparecen como anteriores y algunos como más tarde". (1919:31)

Russell aplica a la noción de "relación de orden" tres criterios: primero, define la noción de "asimetría", es decir, dada la relación tal como S ("... es el sucesor de...") entre dos términos x, y y: x S y ≠ y S x. En segundo lugar, define la noción de "transitividad" para tres numerales x, y y z: si x S y y y S z entonces x S z. En tercer lugar, define la noción de "conexo": "Dados dos términos cualesquiera de la clase que se va a ordenar, debe haber uno que preceda y otro que siga... Una relación es conexa cuando, dados dos términos cualesquiera diferentes términos de su campo [tanto el dominio como el dominio inverso de una relación, por ejemplo

Concluye: "... Se dice que el número [natural] m es menor que otro número n cuando n posee todas las propiedades hereditarias que posee el sucesor de m. Es fácil ver, y no es difícil probar, que la relación " menor que", así definido, es asimétrico, transitivo y conexo, y tiene los números [naturales] para su campo [es decir, tanto el dominio como el dominio inverso son los números]". (1919:35)

Crítica

La presunción de una noción 'extralógica' de iteración: Kleene señala que "la tesis logicista puede ser cuestionada finalmente sobre la base de que la lógica ya presupone ideas matemáticas en su formulación. En la visión intuicionista, un núcleo matemático esencial está contenido en la idea de iteración" (Kleene 1952: 46)

Bernays 1930-1931 observa que esta noción de "dos cosas" ya presupone algo, incluso sin la pretensión de existencia de dos cosas, y también sin referencia a un predicado, que se aplica a las dos cosas; significa, simplemente, "una cosa y una cosa más.... Con respecto a esta simple definición, el concepto de Número resulta ser un concepto estructural elemental... la afirmación de los logicistas de que las matemáticas son conocimiento puramente lógico resulta ser borroso y engañoso tras una observación más cercana de la lógica teórica... [uno puede ampliar la definición de "lógico"] sin embargo, a través de esta definición se oculta lo que es epistemológicamente esencial, y se pasa por alto lo que es peculiar a las matemáticas" (en Mancosu 1998:243).

Hilbert 1931: 266-7, como Bernays, considera que hay "algo extralógico" en las matemáticas: "Además de la experiencia y el pensamiento, existe una tercera fuente de conocimiento. Incluso si hoy ya no podemos estar de acuerdo con Kant en los detalles, sin embargo, la idea más general y fundamental de la epistemología kantiana conserva su significado: determinar el modo de pensar intuitivo a priori, y por lo tanto investigar la condición de posibilidad de todo conocimiento. A mi juicio, esto es esencialmente lo que sucede en mis investigaciones. de los principios de las matemáticas El a priori es aquí nada más y nada menos que un modo fundamental de pensamiento, al que también llamo modo finito de pensamiento: algo ya nos es dado de antemano en nuestra facultad de representación: ciertaobjetos concretos extralógicos que existen intuitivamente como una experiencia inmediata antes de todo pensamiento. Si la inferencia lógica ha de ser cierta, entonces estos objetos deben ser completamente observables en todas sus partes, y su presentación, sus diferencias, su sucesión o su disposición unos junto a otros se nos dan inmediata e intuitivamente, junto con el objetos, como algo que no puede ser reducido a nada más, ni necesita tal reducción.” (Hilbert 1931 en Mancosu 1998: 266, 267).

En resumen, según Hilbert y Bernays, la noción de "secuencia" o "sucesor" es una noción a priori que se encuentra fuera de la lógica simbólica.

Hilbert descartó el logicismo como un "camino falso": "Algunos intentaron definir los números de forma puramente lógica; otros simplemente tomaron los modos habituales de inferencia de la teoría de números como evidentes. En ambos caminos encontraron obstáculos que resultaron ser insuperables ". (Hilbert 1931 en Mancoso 1998:267). Podría decirse que los teoremas de incompletitud constituyen un obstáculo similar para el finitismo hilbertiano.

Mancosu afirma que Brouwer concluyó que: "las leyes clásicas o principios de la lógica son parte de [la] regularidad percibida [en la representación simbólica]; se derivan del registro post factum de construcciones matemáticas... Lógica teórica... [ es] una ciencia empírica y una aplicación de las matemáticas" (Brouwer citado por Mancosu 1998:9).

Gödel 1944: Con respecto a los aspectos técnicos del logicismo russelliano tal como aparece en Principia Mathematica (cualquier edición), Gödel se sintió decepcionado:"Es de lamentar que esta primera presentación completa y exhaustiva de una lógica matemática y la derivación de las matemáticas a partir de ella [¿carece?] de una precisión formal tan grande en los fundamentos (contenidos en *1–*21 de Principia) que presenta a este respecto un paso atrás considerable en comparación con Frege. Lo que falta, sobre todo, es una declaración precisa de la sintaxis del formalismo" (cf. nota al pie 1 en Gödel 1944 Collected Works 1990: 120).

En particular, señaló que "El asunto es especialmente dudoso para la regla de sustitución y de reemplazo de símbolos definidos por sus definiens " (Russell 1944: 120)

Con respecto a la filosofía que podría subyacer a estos fundamentos, Gödel consideró que la "teoría de la no clase" de Russell encarnaba un "tipo nominalista de constructivismo... que mejor podría llamarse ficcionalismo" (cf. nota al pie 1 en Gödel 1944: 119) — ser defectuoso Vea más en "Críticas y sugerencias de Gödel" a continuación.

Grattan-Guinness: Una teoría complicada de las relaciones continuó estrangulando la Introducción a la filosofía matemática de Russell de 1919 y su segunda edición de Principia de 1927. La teoría de conjuntos, mientras tanto, había avanzado con su reducción de la relación al par ordenado de conjuntos. Grattan-Guinness observa que en la segunda edición de Principia Russell ignoró esta reducción que había logrado su propio alumno Norbert Wiener (1914). Quizás debido a la "molestia residual, Russell no reaccionó en absoluto". En 1914, Hausdorff proporcionaría otra definición equivalente, y Kuratowski en 1921 proporcionaría la que se usa hoy.

La clase unitaria, la impredicatividad y el principio del círculo vicioso

Una definición impredicativa benigna: supongamos que una bibliotecaria quiere indexar su colección en un solo libro (llámelo Ι para "índice"). Su índice enumerará todos los libros y sus ubicaciones en la biblioteca. Resulta que solo hay tres libros, y estos tienen títulos Ά, β y Γ. Para formar su índice I, sale y compra un libro de 200 páginas en blanco y lo etiqueta como "I". Ahora tiene cuatro libros: I, Ά, β y Γ. Su tarea no es difícil. Cuando se completa, el contenido de su índice I son 4 páginas, cada una con un título único y una ubicación única (cada entrada abreviada como Título. Ubicación _T):yo = { IL _yo, Ά.L _Ά, β.L _β, Γ.L _Γ }.

Poincaré consideró que este tipo de definición de yo era "impredicativa". Parece haber considerado que solo se pueden permitir definiciones predicativas en matemáticas:"una definición es 'predicativa' y lógicamente admisible solo si excluye todos los objetos que dependen de la noción definida, es decir, que pueden ser determinados de alguna manera por ella".

Según la definición de Poincaré, el índice del bibliotecario es "impredicativo" porque la definición de I depende de la definición de la totalidad I, Ά, β y Γ. Como se indica a continuación, algunos comentaristas insisten en que la impredicatividad en las versiones de sentido común es inofensiva, pero como muestran los ejemplos a continuación, hay versiones que no son inofensivas. En respuesta a estas dificultades, Russell abogó por una fuerte prohibición, su "principio del círculo vicioso":"Ninguna totalidad puede contener miembros definibles solo en términos de esta totalidad, o miembros que impliquen o presupongan esta totalidad" (principio del círculo vicioso)" (Gödel 1944 que aparece en Collected Works Vol. II 1990: 125).

Una impredicatividad perniciosa: α = NOT-α: Para ilustrar lo que podría ser una instancia perniciosa de impredicatividad, considere la consecuencia de ingresar el argumento α en la función f con salida ω = 1 – α. Esto puede verse como la expresión 'lógica-algebraica' equivalente a la expresión 'lógica-simbólica' ω = NOT-α, con valores de verdad 1 y 0. Cuando la entrada α = 0, la salida ω = 1; cuando la entrada α = 1, la salida ω = 0.

Para hacer que la función sea "impredicativa", identifique la entrada con la salida, obteniendo α = 1-α

Dentro del álgebra de, digamos, números racionales, la ecuación se cumple cuando α = 0.5. Pero dentro, por ejemplo, de un álgebra booleana, donde solo se permiten "valores de verdad" 0 y 1, la igualdad no se puede satisfacer.

Impredicatividad fatal en la definición de la clase unitaria: Algunas de las dificultades en el programa logicista pueden derivar de la paradoja α = NO-α que Russell descubrió en el Begriffsschrift de Frege de 1879 que Frege había permitido que una función derivara su entrada "funcional" (valor de su variable) no solo de un objeto (cosa, término), sino también de la propia salida de la función.

Como se describió anteriormente, las construcciones de los números naturales tanto de Frege como de Russell comienzan con la formación de clases de clases equinumerables ("paquetes"), seguido de una asignación de un "número" único a cada paquete, y luego por la colocación de los paquetes. en un orden a través de una relación S que es asimétrica: x S y ≠ y S x. Pero Frege, a diferencia de Russell, permitió que la clase de clases unitarias se identificara como una unidad en sí misma:

Pero, dado que la clase con el número 1 es un solo objeto o unidad por derecho propio, también debe incluirse en la clase de clases unitarias. Esta inclusión da como resultado una regresión infinita de tipo creciente y contenido creciente.

Russell evitó este problema al declarar que una clase era más o una "ficción". Con esto quiso decir que una clase podía designar sólo aquellos elementos que satisficieran su función proposicional y nada más. Como "ficción", una clase no puede ser considerada como una cosa: una entidad, un "término", una singularidad, una "unidad". Es un ensamblaje pero, en opinión de Russell, no es "digno de ser una cosa":"La clase como muchos... es inobjetable, pero es muchos y no uno. Podemos, si lo deseamos, representar esto por un solo símbolo: así x ε u significará " x es uno de los u ". no debe tomarse como una relación de dos términos, x y u, porque u, como conjunción numérica, no es un solo término... Así, una clase de clases será de muchos muchos; cada uno de sus constituyentes será solo muchos, y por lo tanto no puede en cualquier sentido, uno podría suponer, ser constituyentes únicos. [etc]" (1903: 516).

Esto supone que "en la parte inferior" se puede enumerar cada "término" solitario (especificado por un predicado "predicativo") para cualquier clase, para cualquier clase de clases, para clase de clases de clases, etc., pero introduce un nuevo problema: una jerarquía de "tipos" de clases.

Una solución a la impredicatividad: una jerarquía de tipos

Las clases como no objetos, como ficciones útiles: Gödel 1944: 131 observa que "Russell aduce dos razones en contra de la visión extensional de las clases, a saber, la existencia de (1) la clase nula, que no puede ser muy bien una colección, y (2) las clases unitarias, que tendrían que ser idénticas a sus elementos individuales". Sugiere que Russell debería haberlos considerado ficticios, pero no derivar la conclusión adicional de que todas las clases (como la clase de clases que definen los números 2, 3, etc.) son ficciones.

Pero Russell no hizo esto. Después de un análisis detallado en el Apéndice A: Las doctrinas lógicas y aritméticas de Frege en su 1903, Russell concluye:"La doctrina lógica que se nos impone es esta: el sujeto de una proposición puede no ser un solo término, sino esencialmente muchos términos; este es el caso de todas las proposiciones que afirman números distintos de 0 y 1" (1903: 516).

A continuación, observe la expresión "la clase como muchos": una clase es un agregado de esos términos (cosas) que satisfacen la función proposicional, pero una clase no es una cosa en sí misma:“Así, la conclusión final es que la teoría correcta de las clases es aún más extensional que la del Capítulo VI; que la clase como muchos es el único objeto siempre definido por una función proposicional, y que esto es adecuado para fines formales” (1903).:518).

Es como si un ganadero reuniera todo su ganado (ovejas, vacas y caballos) en tres corrales ficticios (uno para las ovejas, uno para las vacas y otro para los caballos) que se encuentran en su rancho ficticio. Lo que realmente existe son las ovejas, las vacas y los caballos (las extensiones), pero no los "conceptos" ficticios de corrales y ranchos.

Teoría ramificada de tipos: órdenes de funciones y tipos de argumentos, funciones predicativas: cuando Russell proclamó que todas las clases son ficciones útiles, resolvió el problema de la clase "unidad", pero el problema general no desapareció; más bien, llegó en una nueva forma: "Será ahora necesario distinguir (1) términos, (2) clases, (3) clases de clases, y así hasta el infinito; tendremos que sostener que ningún miembro de una conjunto es miembro de cualquier otro conjunto, y que x ε u requiere que x sea de un conjunto de un grado inferior en uno al conjunto al que pertenece u . se convertirá en una proposición sin sentido; y de esta manera se evita la contradicción" (1903:517).

Esta es la "doctrina de los tipos" de Russell. Para garantizar que las expresiones impredicativas como x ε x puedan ser tratadas en su lógica, Russell propuso, como una especie de hipótesis de trabajo, que todas esas definiciones impredicativas tienen definiciones predicativas. Este supuesto requiere las nociones de función-"órdenes" y argumento-"tipos". Primero, las funciones (y sus clases como extensiones, es decir, "matrices") deben clasificarse por su "orden", donde las funciones de los individuos son de orden 1, las funciones de las funciones (clases de clases) son de orden 2 y así sucesivamente. A continuación, define el "tipo" de los argumentos de una función (las "entradas" de la función) como su "rango de significado", es decir, ¿cuáles son esas entradas α ?(¿individuos? ¿clases? ¿clases de clases? etc.) que, cuando se conectan a f(x), producen una salida significativa ω. Tenga en cuenta que esto significa que un "tipo" puede ser de orden mixto, como muestra el siguiente ejemplo:"Joe DiMaggio y los Yankees ganaron la Serie Mundial de 1947".

Esta oración se puede descomponer en dos cláusulas: " x ganó la Serie Mundial de 1947" + " y ganó la Serie Mundial de 1947". La primera oración toma como entrada a un "Joe DiMaggio " individual, la otra toma como entrada a un " Yankees " agregado. Así, la oración compuesta tiene un tipo (mixto) de 2, mixto en cuanto al orden (1 y 2).

Por "predicativo", Russell quiso decir que la función debe ser de un orden superior al "tipo" de su(s) variable(s). Por lo tanto, una función (de orden 2) que crea una clase de clases solo puede considerar argumentos para su(s) variable(s) que son clases (tipo 1) e individuos (tipo 0), ya que estos son tipos inferiores. El tipo 3 solo puede entretener a los tipos 2, 1 o 0, y así sucesivamente. Pero estos tipos se pueden mezclar (por ejemplo, para que esta oración sea (más o menos) verdadera: " z ganó la Serie Mundial de 1947" podría aceptar el individuo (tipo 0) "Joe DiMaggio" y/o los nombres de sus otros compañeros de equipo, y podría aceptar la clase (tipo 1) de jugadores individuales "Los Yankees".

El axioma de reducibilidad: El axioma de reducibilidad es la hipótesis de que cualquier función de cualquier orden puede ser reducida a (o reemplazada por) una función predicativa equivalente del orden apropiado. Una lectura cuidadosa de la primera edición indica que una función predicativa de orden n no necesita expresarse "completamente hacia abajo" como una enorme "matriz" o agregado de proposiciones atómicas individuales. "Porque en la práctica sólo son relevantes los tipos relativos de variables; así, el tipo más bajo que ocurre en un contexto dado puede llamarse el de los individuos" (p. 161). Pero el axioma de reducibilidad propone que en teoríaes posible una reducción "totalmente hacia abajo".

Russell 1927 abandona el axioma de reducibilidad: Sin embargo, en la segunda edición de PM de 1927, Russell había renunciado al axioma de reducibilidad y concluyó que de hecho forzaría cualquier orden de función "hasta el final" a sus proposiciones elementales, vinculadas junto con operadores lógicos:"Todas las proposiciones, del orden que sea, se derivan de una matriz compuesta de proposiciones elementales combinadas por medio del trazo" (PM 1927 Apéndice A, p. 385)

(El "trazo" es el trazo de Sheffer, adoptado para la segunda edición de PM, una función lógica única de dos argumentos a partir de la cual se pueden definir todas las demás funciones lógicas).

El resultado neto, sin embargo, fue el colapso de su teoría. Russell llegó a esta desalentadora conclusión: que "la teoría de los ordinales y los cardinales sobrevive... pero los irracionales, y los números reales en general, ya no pueden tratarse adecuadamente... Quizás algún axioma más, menos objetable que el axioma de la reducibilidad, podría dar estos resultados, pero no hemos tenido éxito en encontrar tal axioma" (PM 1927:xiv).

Gödel 1944 está de acuerdo en que el proyecto logicista de Russell fue bloqueado; parece estar en desacuerdo con que incluso los números enteros sobrevivieron:"[En la segunda edición] Se descarta el axioma de reducibilidad y se declara explícitamente que todos los predicados primitivos pertenecen al tipo más bajo y que el único propósito de las variables (y evidentemente también de las constantes) de órdenes y tipos superiores es hacer posible afirmar funciones de verdad más complicadas de las proposiciones atómicas" (Gödel 1944 en Collected Works: 134).

Gödel afirma, sin embargo, que este procedimiento parece presuponer la aritmética de una forma u otra (p. 134). Deduce que "se obtienen números enteros de diferente orden" (p. 134-135); la prueba en Russell 1927 PM Apéndice B de que "los números enteros de cualquier orden superior a 5 son los mismos que los de orden 5" "no es concluyente" y "la cuestión de si (o hasta qué punto) la teoría de los números enteros se puede obtener sobre la base de la jerarquía ramificada [clases más tipos] debe considerarse como no resuelto en la actualidad". Gödel concluyó que de todos modos no importaría porque las funciones proposicionales de orden n (cualquier n) deben describirse mediante combinaciones finitas de símbolos (todas las citas y el contenido se derivan de la página 135).

Críticas y sugerencias de Gödel

Gödel, en su obra de 1944, identifica el lugar donde considera que falla el logicismo de Russell y ofrece sugerencias para rectificar los problemas. Somete el "principio del círculo vicioso" a un nuevo examen, dividiéndolo en tres partes "definibles sólo en términos de", "involucrando" y "presuponiendo". Es la primera parte la que "hace imposibles las definiciones impredicativas y, por lo tanto, destruye la derivación de las matemáticas de la lógica, efectuada por Dedekind y Frege, y una gran parte de las matemáticas mismas". Dado que, argumenta, las matemáticas confían en sus impredicatividades inherentes (por ejemplo, "números reales definidos por referencia a todos los números reales"), concluye que lo que ha ofrecido es "una prueba de que el principio del círculo vicioso es falso [en lugar de] que las matemáticas clásicas son falsas"

La teoría de la no clase de Russell es la raíz del problema: Gödel cree que la impredicatividad no es "absurda", como aparece en las matemáticas. El problema de Russell se deriva de su punto de vista "constructivista (o nominalista") hacia los objetos de la lógica y las matemáticas, en particular hacia las proposiciones, clases y nociones... una noción es un símbolo... de manera que un objeto separado denotado por el símbolo aparece como una mera ficción” (p. 128).

De hecho, la teoría de la "no clase" de Russell, Gödel concluye:"es de gran interés como uno de los pocos ejemplos, llevado a cabo en detalle, de la tendencia a eliminar suposiciones sobre la existencia de objetos fuera de los "datos" y reemplazarlos por construcciones sobre la base de estos datos. Los "datos" hay que entender aquí en un sentido relativo, es decir, en nuestro caso como lógica sin la suposición de la existencia de clases y conceptos]. El resultado ha sido en este caso esencialmente negativo, es decir, las clases y conceptos introducidos de esta manera no tienen todos las propiedades requeridas de su uso en matemáticas... Todo esto es sólo una verificación del punto de vista defendido anteriormente de que la lógica y las matemáticas (al igual que la física) están construidas sobre axiomas con un contenido real que no puede ser explicado" (p. 132)

Concluye su ensayo con las siguientes sugerencias y observaciones:¶ Parece razonable sospechar que es esta comprensión incompleta de los fundamentos la responsable de que la lógica matemática haya permanecido hasta ahora tan por detrás de las altas expectativas de Peano y otros...." (pág. 140)

Neologicismo

El neologicismo describe una variedad de puntos de vista considerados por sus defensores como sucesores del programa logicista original. Más estrictamente, el neologicismo puede verse como el intento de salvar algunos o todos los elementos del programa de Frege mediante el uso de una versión modificada del sistema de Frege en los Grundgesetze (que puede verse como una especie de lógica de segundo orden).

Por ejemplo, uno podría reemplazar la Ley Básica V (análoga al esquema axiomático de comprensión sin restricciones en la teoría ingenua de conjuntos) con algún axioma 'más seguro' para evitar la derivación de las paradojas conocidas. El candidato más citado para reemplazar BLV es el principio de Hume, la definición contextual de '#' dada por '#F = #G si y solo si hay una biyección entre F y G'. Este tipo de neologicismo a menudo se denomina neo-fregeanismo. Los defensores del neo-fregeanismo incluyen a Crispin Wright y Bob Hale, a veces también llamados escuela escocesa o platonismo abstraccionista, quienes defienden una forma de fundacionalismo epistémico.

Otros defensores importantes del neologicismo incluyen a Bernard Linsky y Edward N. Zalta, a veces llamados la Escuela Stanford-Edmonton, el estructuralismo abstracto o el neologicismo modal que defienden una forma de metafísica axiomática. El neologicismo modal deriva los axiomas de Peano dentro de la teoría del objeto modal de segundo orden.

M. Randall Holmes ha sugerido otro enfoque casi neologicista. En este tipo de enmienda a los Grundgesetze, BLV permanece intacto, excepto por una restricción a fórmulas estratificables a la manera del NF de Quine y sistemas relacionados. Esencialmente, todos los Grundgesetze luego 'pasan'. El sistema resultante tiene la misma fuerza de consistencia que el NFU de Jensen + el Axioma de contar de Rosser.