Lógica epistémica

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La lógica modal epistémica es un subcampo de la lógica modal que se ocupa del razonamiento sobre el conocimiento. Si bien la epistemología tiene una larga tradición filosófica que se remonta a la antigua Grecia, la lógica epistémica es un desarrollo mucho más reciente con aplicaciones en muchos campos, incluida la filosofía, la informática teórica, la inteligencia artificial, la economía y la lingüística. Si bien los filósofos desde Aristóteles han discutido la lógica modal, y los filósofos medievales como Avicena, Ockham y Duns Scotus desarrollaron muchas de sus observaciones, fue CI Lewis quien creó el primer enfoque simbólico y sistemático del tema, en 1912. Continuó madurando. como campo, alcanzando su forma moderna en 1963 con la obra de Kripke.

Desarrollo historico

Se escribieron muchos artículos en la década de 1950 que hablaban de pasada de una lógica del conocimiento, pero fue el artículo del filósofo finlandés von Wright An Essay in Modal Logic de 1951 el que se considera un documento fundacional. No fue hasta 1962 que otro finlandés, Hintikka, escribiría Knowledge and Belief, el primer trabajo de la extensión de un libro que sugiere el uso de modalidades para capturar la semántica del conocimiento en lugar de las declaraciones aléticas típicamente discutidas en la lógica modal. Este trabajo sentó gran parte de las bases para el tema, pero desde entonces se ha llevado a cabo una gran cantidad de investigación. Por ejemplo, la lógica epistémica se ha combinado recientemente con algunas ideas de la lógica dinámica para crear una lógica epistémica dinámica, que se puede utilizar para especificar y razonar sobre el cambio de información y el intercambio de información en sistemas de múltiples agentes. Las obras seminales en este campo son de Plaza, Van Benthem y Baltag, Moss y Solecki.

Modelo estándar de mundos posibles

La mayoría de los intentos de modelar el conocimiento se han basado en el modelo de mundos posibles. Para ello, debemos dividir el conjunto de mundos posibles entre aquellos que son compatibles con el conocimiento de un agente y aquellos que no lo son. Esto generalmente se ajusta al uso común. Si sé que es viernes o sábado, entonces sé con certeza que no es jueves. No hay mundo posible compatible con mi conocimiento donde sea jueves, ya que en todos estos mundos es viernes o sábado. Si bien analizaremos principalmente el enfoque basado en la lógica para realizar esta tarea, vale la pena mencionar aquí el otro método principal en uso, el enfoque basado en eventos. En este uso particular, los eventos son conjuntos de mundos posibles, y el conocimiento es un operador de eventos. Aunque las estrategias están estrechamente relacionadas,

El modelo matemático subyacente del enfoque basado en la lógica es la semántica de Kripke, mientras que el enfoque basado en eventos emplea las estructuras de Aumann relacionadas basadas en la teoría de conjuntos.
En el enfoque basado en eventos, las fórmulas lógicas se eliminan por completo, mientras que el enfoque basado en lógica utiliza el sistema de lógica modal.

Por lo general, el enfoque basado en la lógica se ha utilizado en campos como la filosofía, la lógica y la IA, mientras que el enfoque basado en eventos se usa con mayor frecuencia en campos como la teoría de juegos y la economía matemática. En el enfoque basado en la lógica, se ha construido una sintaxis y una semántica utilizando el lenguaje de la lógica modal, que ahora describiremos.

Sintaxis

El operador modal básico de la lógica epistémica, generalmente escrito K, puede leerse como "se sabe que", "es epistémicamente necesario que" o "es inconsistente con lo que se sabe que no". Si hay más de un agente cuyo conocimiento se desea representar, se pueden adjuntar subíndices al operador ( ${mathit {K}}_{1}$ , ${mathit {K}}_{2}$ , etc.) para indicar de qué agente se está hablando. Entonces ${mathit {K}}_{a}varphi$ puede leerse como "El agente $un$ sabe eso $varphi$ ". Así, la lógica epistémica puede ser un ejemplo de lógica multimodal aplicada a la representación del conocimiento. El dual de K, que estaría en la misma relación con K que $Diamante$ con $Caja$ , no tiene un símbolo específico, pero puede ser representado por $neg K_{a}neg varphi$ , $un$ no sabe que no $varphi$ " o "Es consistente con $un$ el conocimiento de que $varphi$ es posible". El enunciado " $un$ no sabe si $varphi$ " puede expresarse como $neg K_{a}varphi land neg K_{a}neg varphi$ .

Para acomodar las nociones de conocimiento común y conocimiento distribuido, se pueden agregar al lenguaje otros tres operadores modales. Estos son ${mathit {E}}_{{mathit {G}}}$ , que dice "todos los agentes del grupo G saben" (conocimiento mutuo); ${mathit {C}}_{{mathit {G}}}$ , que dice "es de conocimiento común para todos los agentes en G"; y ${mathit {D}}_{{mathit {G}}}$ , que dice "se distribuye conocimiento a todo el grupo G". Si $varphi$ es una fórmula de nuestro idioma, entonces también lo son ${mathit {E}}_{G}varphi$ , ${mathit {C}}_{G}varphi$ y ${mathit {D}}_{G}varphi$ . Así como el subíndice posterior ${ matemáticas {K}}$ puede omitirse cuando solo hay un agente, el subíndice posterior a los operadores modales ${ matemáticas {E}}$ , ${ matemáticas {C}}$ y ${ matemáticas {D}}$ puede omitirse cuando el grupo es el conjunto de todos los agentes.

Semántica

Como mencionamos anteriormente, el enfoque basado en la lógica se basa en el modelo de mundos posibles, cuya semántica a menudo recibe una forma definida en las estructuras de Kripke, también conocidas como modelos de Kripke. Una estructura de Kripke M para n agentes sobre $Fi$ es una tupla (n + 2) $(S,pi,{mathcal {K}}_{1},...,{mathcal {K}}_{n})$ , donde S es un conjunto no vacío de estados o mundos posibles, $Pi$ es una interpretación, que asocia con cada estado en S una asignación de verdad a las proposiciones primitivas en $Fi$ (el conjunto de todas las proposiciones primitivas), y ${mathcal {K}}_{1},...,{mathcal {K}}_{n}$ son relaciones binarias en S para n números de agentes. Es importante aquí no confundir $K_{yo}$ , nuestro operador modal, y ${mathcal {K}}_{i}$ , nuestra relación de accesibilidad.

La asignación de verdad nos dice si una proposición p es verdadera o falsa en un cierto estado. Entonces $pi(s)(p)$ nos dice si p es verdadera en el estado s en el modelo ${ matemáticas {M}}$ . La verdad depende no solo de la estructura, sino también del mundo actual. El hecho de que algo sea cierto en un mundo no significa que sea cierto en otro. Para afirmar que una fórmula $varphi$ es verdadera en un mundo determinado, se escribe $(M,s)modelosvarphi$ , que normalmente se lee como " $varphi$ es verdadera en (M,s)" o "(M,s) satisface $varphi$ ".

Es útil pensar en nuestra relación binaria ${mathcal {K}}_{i}$ como una relación de posibilidad, porque está destinada a capturar qué mundos o estados el agente i considera posibles; En otras palabras, ${displaystyle w{mathcal {K}}_{i}v}$ si y sólo si ${displaystyle forall varphi [(wmodels K_{i}varphi)implica (vmodels varphi)]}$ , y tales $v$ son llamadas alternativas epistémicas para el agente i. En explicaciones idealizadas del conocimiento (p. ej., que describen el estado epistémico de razonadores perfectos con capacidad de memoria infinita), tiene sentido para ${mathcal {K}}_{i}$ ser una relación de equivalencia, ya que esta es la forma más fuerte y la más apropiada para el mayor número de aplicaciones. Una relación de equivalencia es una relación binaria reflexiva, simétrica y transitiva. La relación de accesibilidad no tiene por qué tener estas cualidades; ciertamente hay otras elecciones posibles, como las que se usan cuando se modela la creencia en lugar del conocimiento.

Las propiedades del conocimiento

Suponiendo que ${mathcal {K}}_{i}$ se trata de una relación de equivalencia y que los agentes son razonadores perfectos, se pueden derivar algunas propiedades del conocimiento. Las propiedades enumeradas aquí a menudo se conocen como "Propiedades S5", por las razones descritas en la sección Sistemas Axiom a continuación.

El axioma de distribución

Este axioma se conoce tradicionalmente como K. En términos epistémicos, establece que si un agente sabe $varphi$ y sabe que $varphi implica psi$ , entonces el agente también debe saber $,psi$ . Asi que, $(K_{i}varphi land K_{i}(varphi implica psi))implica K_{i}psi$

Este axioma es válido en cualquier marco en la semántica relacional. Este axioma establece lógicamente el modus ponens como regla de inferencia para todo mundo epistémicamente posible.

La regla de generalización del conocimiento.

Otra propiedad que podemos derivar es que si $fi$ es válida (es decir, una tautología), entonces $K_{i}fi$ . Esto no significa que si $fi$ es cierto, entonces el agente lo sabe $fi$ . Lo que significa es que si $fi$ es cierto en todos los mundos que un agente considera que son mundos posibles, entonces el agente debe saber $fi$ en todos los mundos posibles. Este principio se denomina tradicionalmente N (Regla de necesidad). ${displaystyle {text{si}}modelos varphi {text{entonces}}Mmodelos K_{i}varphi.,}$

Esta regla siempre preserva la verdad en la semántica relacional.

El axioma del conocimiento o de la verdad

Este axioma también se conoce como T. Dice que si un agente conoce los hechos, los hechos deben ser verdaderos. Esto se ha tomado a menudo como la principal característica distintiva entre el conocimiento y la creencia. Podemos creer que un enunciado es verdadero cuando es falso, pero sería imposible conocer un enunciado falso. $K_{i}varphi implica varphi$

Este axioma también se puede expresar en su contraposición ya que los agentes no pueden conocer una declaración falsa: ${displaystyle varphi implica neg K_{i}neg varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco reflexivo.

El axioma de la introspección positiva

Esta propiedad y la siguiente establecen que un agente tiene introspección sobre su propio conocimiento, y se conocen tradicionalmente como 4 y 5, respectivamente. El Axioma de la Introspección Positiva, también conocido como Axioma KK, dice específicamente que los agentes saben que saben lo que saben. Este axioma puede parecer menos obvio que los enumerados anteriormente, y Timothy Williamson ha argumentado enérgicamente en contra de su inclusión en su libro Knowledge and Its Limits. $K_{i}varphi implica K_{i}K_{i}varphi$

De manera equivalente, este axioma modal 4 dice que los agentes no saben lo que no saben que saben ${displaystyle neg K_{i}K_{i}varphi implica neg K_{i}varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco transitivo.

El axioma de la introspección negativa

El Axioma de la Introspección Negativa dice que los agentes saben que no saben lo que no saben. $neg K_{i}varphi implica K_{i}neg K_{i}varphi$

O, de manera equivalente, este axioma modal 5 dice que los agentes saben lo que no saben que no saben ${displaystyle neg K_{i}neg K_{i}varphi implica K_{i}varphi }$

Este axioma es válido en cualquier marco euclidiano.

Sistemas de axiomas

Se pueden derivar diferentes lógicas modales tomando diferentes subconjuntos de estos axiomas, y estas lógicas normalmente reciben el nombre de los axiomas importantes que se emplean. Sin embargo, este no es siempre el caso. KT45, la lógica modal que resulta de la combinación de K, T, 4, 5 y la regla de generalización del conocimiento, se conoce principalmente como S5. Esta es la razón por la que las propiedades del conocimiento descritas anteriormente a menudo se denominan Propiedades S5. Sin embargo, se puede demostrar que el axioma modal B es un teorema en S5 (viz. ${displaystyle S5vdash {mathbf{B}}}$ ), que dice que lo que un agente no sabe que no sabe es cierto: ${displaystyle neg K_{i}neg K_{i}varphi implica varphi }$ . El axioma modal Bes cierto en cualquier marco simétrico, pero es muy contrario a la intuición en la lógica epistémica: ¿Cómo puede la ignorancia sobre la propia ignorancia implicar la verdad? Por lo tanto, es discutible si S4 describe mejor la lógica epistémica que S5.

La lógica epistémica también se ocupa de la creencia, no solo del conocimiento. El operador modal básico generalmente se escribe B en lugar de K. En este caso, sin embargo, el axioma del conocimiento ya no parece correcto (los agentes solo a veces creen la verdad), por lo que generalmente se reemplaza con el axioma de la consistencia, tradicionalmente llamado D: $neg B_{i}bot$

que establece que el agente no cree una contradicción, o lo que es falso. Cuando D reemplaza a T en S5, el sistema resultante se conoce como KD45. Esto da como resultado diferentes propiedades para ${mathcal {K}}_{i}$ también. Por ejemplo, en un sistema en el que un agente "cree" que algo es cierto, pero en realidad no lo es, la relación de accesibilidad sería no reflexiva. La lógica de la creencia se llama lógica doxástica.

Sistemas multiagente

Cuando hay múltiples agentes en el dominio del discurso donde cada agente i corresponde a un operador modal epistémico separado $K_{yo}$ , además de los esquemas axiomáticos para cada agente individual enumerados anteriormente para describir la racionalidad de cada agente, generalmente también se asume que la racionalidad de cada agente es de conocimiento común.

Si adoptamos el enfoque de los mundos posibles para el conocimiento, se deduce que nuestro agente epistémico conoce todas las consecuencias lógicas de sus creencias (lo que se conoce como omnisciencia lógica). Si $q$ es una consecuencia lógica de $PAG$ , entonces no hay mundo posible donde $PAG$ sea cierto pero $q$ no lo sea. Entonces, si a sabe que eso $PAG$ es cierto, se deduce que todas las consecuencias lógicas de $PAG$ son verdaderas para todos los mundos posibles compatibles con las creencias de a. Por lo tanto, a sabe $q$ . No es epistémicamente posible para un que no- $q$ dado su conocimiento de que $PAG$ . Esta consideración fue parte de lo que llevó a Robert Stalnaker a desarrollar el bidimensionalismo, que podría explicar cómo es posible que no sepamos todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias, incluso si no hay mundos donde las proposiciones que conocemos resultan verdaderas pero sus consecuencias son falsas..

Incluso cuando ignoramos la semántica del mundo posible y nos apegamos a los sistemas axiomáticos, esta peculiar característica se mantiene. Con K y N (la regla de distribución y la regla de generalización del conocimiento, respectivamente), que son axiomas mínimamente verdaderos de todas las lógicas modales normales, podemos demostrar que conocemos todas las consecuencias lógicas de nuestras creencias. Si $q$ es una consecuencia lógica de $PAG$ (es decir, tenemos la tautología ${ estilo de visualización modelos (P flecha derecha Q)}$ ), entonces podemos derivar ${displaystyle K_{a}(Prightarrow Q)}$ con N, y usando una prueba condicional con el axioma K, podemos derivar ${displaystyle K_{a}Prightarrow K_{a}Q}$ con K. Cuando traducimos esto a términos epistémicos, esto dice que si $q$ es una consecuencia lógica de $PAG$ , entonces unsabe que es, y si a sabe $PAG$ , a sabe $q$ . Es decir, a conoce todas las consecuencias lógicas de cada proposición. Esto es necesariamente cierto para todas las lógicas modales clásicas. Pero entonces, por ejemplo, si a sabe que los números primos son divisibles solo por sí mismos y el número uno, entonces a sabe que 8683317618811886495518194401279999999 es primo (ya que este número solo es divisible por sí mismo y el número uno). Es decir, bajo la interpretación modal del conocimiento, cuando a conoce la definición de un número primo, a sabe que ese número es primo. Esto se generaliza a cualquier teorema demostrable en cualquier teoría axiomática (es decir, sia conoce todos los axiomas de una teoría, luego a conoce todos los teoremas demostrables de esa teoría). Debería quedar claro en este punto que a no es humano (de lo contrario, no habrá conjeturas matemáticas sin resolver, como el problema P versus NP o la conjetura de Goldbach). Esto muestra que la lógica modal epistémica es una explicación idealizada del conocimiento y explica el conocimiento objetivo, en lugar del subjetivo (si es que lo hace).

Falacia epistémica (falacia del hombre enmascarado)

En lógica filosófica, la falacia del hombre enmascarado (también conocida como falacia intensional o falacia epistémica) se comete cuando se hace un uso ilícito de la ley de Leibniz en un argumento. La falacia es "epistémica" porque postula una identidad inmediata entre el conocimiento de un sujeto de un objeto con el objeto mismo, sin reconocer que la Ley de Leibniz no es capaz de dar cuenta de contextos intensionales.

Ejemplos

El nombre de la falacia proviene del ejemplo:

Premisa 1: Sé quién es Bob.
Premisa 2: No sé quién es el enmascarado
Conclusión: Por lo tanto, Bob no es el hombre enmascarado.

Las premisas pueden ser verdaderas y la conclusión falsa si Bob es el hombre enmascarado y el hablante no lo sabe. Por tanto, el argumento es falaz.

En forma simbólica, los argumentos anteriores son

Premisa 1: Sé quién es X.
Premisa 2: No sé quién es Y.
Conclusión: Por lo tanto, X no es Y.

Nótese, sin embargo, que este silogismo ocurre en el razonamiento del hablante "yo"; Por lo tanto, en la forma lógica modal formal, será

Premisa 1: El hablante cree saber quién es X.
Premisa 2: El hablante cree que no sabe quién es Y.
Conclusión: Por lo tanto, el hablante cree que X no es Y.

La premisa 1 ${displaystyle {mathcal {B_{s}}}forall t(t=Xrightarrow K_{s}(t=X))}$ es muy fuerte, ya que es lógicamente equivalente a ${displaystyle {mathcal {B_{s}}}forall t(neg K_{s}(t=X)rightarrow tnot =X)}$ . Es muy probable que esta sea una creencia falsa: ${displaystyle forall t(neg K_{s}(t=X)rightarrow tnot =X)}$ es probable que sea una proposición falsa, ya que la ignorancia sobre la proposición ${ estilo de visualización t = X}$ no implica la negación de que sea verdadera.

Otro ejemplo:

Premisa 1: Lois Lane cree que Superman puede volar.
Premisa 2: Lois Lane cree que Clark Kent no puede volar.
Conclusión: Por lo tanto, Superman y Clark Kent no son la misma persona.

Expresado en lógica doxástica, el silogismo anterior es:

Premisa 1: ${displaystyle {mathcal {B}}_{Lois}Fly_{(Superman)}}$
Premisa 2: ${displaystyle {mathcal {B}}_{Lois}neg Fly_{(Clark)}}$
Conclusión: ${displaystyle Supermanneq Clark}$

El razonamiento anterior es inconsistente (no preserva la verdad). La conclusión consistente debería ser ${displaystyle {mathcal {B}}_{Lois}(Supermanneq Clark)}$ .

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