Lógica de relevancia

Lógica de relevancia, también llamada lógica relevante, es un tipo de lógica no clásica que requiere que el antecedente y el consecuente de las implicaciones estén relacionados de manera relevante. Pueden verse como una familia de lógicas subestructurales o modales. Es generalmente, pero no universalmente, llamada lógica relevante por los lógicos británicos y, especialmente, australianos, y lógica de relevancia por los lógicos estadounidenses.

La lógica de relevancia tiene como objetivo capturar aspectos de la implicación que son ignorados por la "implicación material" operador en la lógica funcional veritativa clásica, a saber, la noción de relevancia entre el antecedente y el condicional de una implicación verdadera. Esta idea no es nueva: C. I. Lewis fue llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta, sobre la base de que la lógica clásica otorga paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición. Por lo tanto, "si soy un burro, entonces dos y dos son cuatro" es verdadera cuando se traduce como una implicación material, pero parece intuitivamente falsa ya que una implicación verdadera debe unir el antecedente y el consecuente por alguna noción de relevancia. Y si el hablante es o no un burro, no parece relevante en absoluto si dos y dos son cuatro.

En términos de una restricción sintáctica para un cálculo proposicional, es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusión compartan fórmulas atómicas (fórmulas que no contienen ningún conector lógico). En un cálculo de predicados, la relevancia requiere compartir variables y constantes entre las premisas y la conclusión. Esto se puede asegurar (junto con condiciones más estrictas), por ejemplo, imponiendo ciertas restricciones a las reglas de un sistema de deducción natural. En particular, una deducción natural al estilo de Fitch se puede adaptar para acomodar la relevancia mediante la introducción de etiquetas al final de cada línea de una aplicación de una inferencia que indique las premisas relevantes para la conclusión de la inferencia. Los cálculos de secuencias de estilo Gentzen se pueden modificar eliminando las reglas de debilitamiento que permiten la introducción de fórmulas arbitrarias en el lado derecho o izquierdo de las secuencias.

Una característica notable de las lógicas de relevancia es que son lógicas paraconsistentes: la existencia de una contradicción no causará una 'explosión'. Esto se sigue del hecho de que un condicional con un antecedente contradictorio que no comparte ninguna letra proposicional o predicativa con el consecuente no puede ser verdadero (o derivable).

Historia

La lógica de la relevancia fue propuesta en 1928 por el filósofo soviético Ivan E. Orlov (1886 - alrededor de 1936) en su artículo estrictamente matemático "La lógica de la compatibilidad de las proposiciones" publicado en Matematicheskii Sbornik. La idea básica de implicación relevante aparece en la lógica medieval, y Ackermann, Moh y Church realizaron algunos trabajos pioneros en la década de 1950. Basándose en ellos, Nuel Belnap y Alan Ross Anderson (junto con otros) escribieron la obra magna del tema, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity en la década de 1970 (la segunda volumen que se publica en los años noventa). Se centraron tanto en los sistemas de vinculación como en los sistemas de relevancia, en los que se supone que las implicaciones de los primeros tipos son tanto relevantes como necesarias.

Axiomas

Los primeros desarrollos en la lógica de relevancia se centraron en los sistemas más fuertes. El desarrollo de la semántica de Routley-Meyer trajo consigo una gama de lógicas más débiles. La más débil de estas lógicas es la lógica de relevancia B. Se axiomatiza con los siguientes axiomas y reglas.

1. A→ → A{displaystyle Ato A}
2. A∧ ∧ B→ → A{displaystyle Aland Bto A}
3. A∧ ∧ B→ → B{displaystyle Aland Bto B}
4. ()A→ → B)∧ ∧ ()A→ → C)→ → ()A→ → B∧ ∧ C){displaystyle (Ato B)land (Ato C)to (Ato Bland C)}
5. A→ → AAlternativa Alternativa B{displaystyle Ato Alor B}
6. B→ → AAlternativa Alternativa B{displaystyle Bto Alor B}
7. ()A→ → C)∧ ∧ ()B→ → C)→ → ()AAlternativa Alternativa B→ → C){displaystyle (Ato C)land (Bto C)to (Alor Bto C)}
8. A∧ ∧ ()BAlternativa Alternativa C)→ → ()A∧ ∧ B)Alternativa Alternativa ()A∧ ∧ C){displaystyle Aland (Blor C)to (Aland B)lor (Aland C)}
9. ¬ ¬ ¬ ¬ A→ → A{displaystyle lnot lnot Ato A}

Las reglas son las siguientes.

1. A,A→ → B⊢ ⊢ B{displaystyle A,Ato Bvdash B}
2. A,B⊢ ⊢ A∧ ∧ B{displaystyle A,Bvdash Aland B}
3. A→ → B⊢ ⊢ ()C→ → A)→ → ()C→ → B){displaystyle Ato Bvdash (Cto A)to (Cto B)}
4. A→ → B⊢ ⊢ ()B→ → C)→ → ()A→ → C){displaystyle Ato Bvdash (Bto C)to (Ato C)}
5. A→ → B⊢ ⊢ ¬ ¬ B→ → ¬ ¬ A{displaystyle Ato Bvdash lnot Bto lnot A}

Se pueden obtener lógicas más fuertes agregando cualquiera de los siguientes axiomas.

1. ()A→ → B)→ → ()¬ ¬ B→ → ¬ ¬ A){displaystyle (Ato B)to (lnot Bto lnot A)}
2. ()A→ → B)∧ ∧ ()B→ → C)→ → ()A→ → C){displaystyle (Ato B)land (Bto C)to (Ato C)}
3. ()A→ → B)→ → ()()B→ → C)→ → ()A→ → C)){displaystyle (Ato B)to (Bto C)to (Ato C)}
4. ()A→ → B)→ → ()()C→ → A)→ → ()C→ → B)){displaystyle (Ato B)to (Cto A)to (Cto B)}
5. ()A→ → ()A→ → B))→ → ()A→ → B){displaystyle (Ato (Ato B)to (Ato B)}
6. ()A∧ ∧ ()A→ → B))→ → B{displaystyle (Aland (Ato B)to B}
7. ()A→ → ¬ ¬ A)→ → ¬ ¬ A{displaystyle (Ato lnot A)to lnot A}
8. ()A→ → ()B→ → C))→ → ()B→ → ()A→ → C)){displaystyle (Ato (Bto C))to (Bto (Ato C)}
9. A→ → ()()A→ → B)→ → B){displaystyle Ato (Ato B)to B)}
10. ()()A→ → A)→ → B)→ → B{displaystyle (Ato A)to B)to B}
11. AAlternativa Alternativa ¬ ¬ A{displaystyle Alor lnot A}
12. A→ → ()A→ → A){displaystyle Ato (Ato A)}

Hay algunas lógicas notables más fuertes que B que se pueden obtener agregando axiomas a B de la siguiente manera.

• Para DW, agregue el axioma 1.
• Para DJ, añadir axiomas 1, 2.
• Para TW, añadir axiomas 1, 2, 3, 4.
• Para RW, añadir axiomas 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Para T, añadir axiomas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Para R, añadir axiomas 1-11.
• Para E, añadir axiomas 1-7, 10, 11, ()()A→ → A)∧ ∧ ()B→ → B)→ → C)→ → C{displaystyle (Ato A)land (Bto B)to C)to C}, y ▪ ▪ A∧ ∧ ▪ ▪ B→ → ▪ ▪ ()A∧ ∧ B){displaystyle Box Aland Box Bto Box (Aland B)}, donde ▪ ▪ A{displaystyle "Box A" se define como ()A→ → A)→ → A{displaystyle (Ato A)to A}.
• Para RM, agregue todos los axiomas adicionales.

Modelos

Modelos de Routley-Meyer

La teoría modelo estándar para las lógicas relevantes es la semántica ternaria-relacional Routley-Meyer desarrollada por Richard Routley y Robert Meyer. Un marco de Routley-Meyer F para un lenguaje proposicional es una cuádruple (W,R,*,0), donde W es un conjunto no vacío, R es una relación ternaria en W, y * es una función de W a W, y 0▪ ▪ W{displaystyle 0in W}. Un modelo Routley-Meyer M es un marco de Routley-Meyer F junto con una valoración, ⊩ ⊩ {displaystyle "Vdash", que asigna un valor de verdad a cada proposición atómica relativa a cada punto a▪ ▪ W{displaystyle ain W}. Hay algunas condiciones colocadas en marcos de Routley-Meyer. Define a≤ ≤ b{displaystyle aleq b} como R0ab{displaystyle R0ab}.

• a≤ ≤ a{displaystyle aleq a}.
• Si a≤ ≤ b{displaystyle aleq b} y b≤ ≤ c{displaystyle bleq c}, entonces a≤ ≤ c{displaystyle aleq c}.
• Si d≤ ≤ a{displaystyle dleq a} y Rabc{displaystyle Rabc., entonces Rdbc{displaystyle Rdbc.
• aAlternativa Alternativa Alternativa Alternativa =a{displaystyle a^{}=a}.
• Si a≤ ≤ b{displaystyle aleq b}, entonces bAlternativa Alternativa ≤ ≤ aAlternativa Alternativa {displaystyle b^{*}leq a^{*}.

Escriba M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash A} y M,a⊮ ⊮ A{displaystyle M,anVdash A} para indicar que la fórmula A{displaystyle A} es cierto, o no cierto, respectivamente, en el momento a{displaystyle a} dentro M{displaystyle M}. Una condición final en los modelos Routley-Meyer es la condición hereditaria.

• Si M,a⊩ ⊩ p{displaystyle M,aVdash p} y a≤ ≤ b{displaystyle aleq b}, entonces M,b⊩ ⊩ p{displaystyle M,bVdash p}, para todas las proposiciones atómicas p{displaystyle p}.

Mediante un argumento inductivo, se puede demostrar que la herencia se extiende a fórmulas complejas, utilizando las condiciones de verdad que se indican a continuación.

• Si M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash A} y a≤ ≤ b{displaystyle aleq b}, entonces M,b⊩ ⊩ A{displaystyle M,bVdash A}, para todas las fórmulas A{displaystyle A}.

Las condiciones de verdad para fórmulas complejas son las siguientes.

• M,a⊩ ⊩ A∧ ∧ B⟺ ⟺ M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash Aland Biff M,aVdash A} y M,a⊩ ⊩ B{displaystyle M,aVdash B}
• M,a⊩ ⊩ AAlternativa Alternativa B⟺ ⟺ M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash Alor Biff M,aVdash A} o M,a⊩ ⊩ B{displaystyle M,aVdash B}
• M,a⊩ ⊩ A→ → B⟺ ⟺ О О b,c()()Rabc∧ ∧ M,b⊩ ⊩ A)⇒ ⇒ M,c⊩ ⊩ B){displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b,c(Rabcland M,bVdash A)Rightarrow M,cVdash B)}
• M,a⊩ ⊩ ¬ ¬ A⟺ ⟺ M,aAlternativa Alternativa ⊮ ⊮ A{displaystyle M,aVdash lnot Aiff M,a^{*}n Vdash A.

Una fórmula A{displaystyle A} sostiene en un modelo M{displaystyle M} Por si acaso M,0⊩ ⊩ A{displaystyle M,0Vdash A}. Una fórmula A{displaystyle A} en un marco F{displaystyle F} iff A se mantiene en cada modelo ()F,⊩ ⊩ ){displaystyle (F,Vdash)}. Una fórmula A{displaystyle A} es válido en una clase de marcos sif A mantiene en cada marco de esa clase. La clase de todos los marcos de Routley-Meyer que satisfacen las condiciones anteriores valida que la lógica relevante B. Uno puede obtener marcos de Routley-Meyer para otras lógicas relevantes mediante la colocación de restricciones apropiadas en R y en *. Estas condiciones son más fáciles de indicar utilizando algunas definiciones estándar. Vamos Rabcd{displaystyle Rabcd} se define como ∃ ∃ x()Rabx∧ ∧ Rxcd){displaystyle exists x(Rabxland Rxcd)}, y dejar Ra()bc)d{displaystyle Ra(bc)d} se define como ∃ ∃ x()Rbcx∧ ∧ Raxd){displaystyle exists x(Rbcxland Raxd)}. Algunas de las condiciones del marco y los axiomas que validan son las siguientes.

Nombre	Estado de la fractura	Axiom
Pseudo-modus ponentes	Raaa{displaystyle Raaa.	()A∧ ∧ ()A→ → B))→ → B{displaystyle (Aland (Ato B)to B}
Prefixing	Rabcd⇒ ⇒ Ra()bc)d{displaystyle RabcdRightarrow Ra(bc)d}	()A→ → B)→ → ()()C→ → A)→ → ()C→ → B)){displaystyle (Ato B)to (Cto A)to (Cto B)}
Suffixing	Rabcd⇒ ⇒ Rb()ac)d{displaystyle RabcdRightarrow Rb(ac)d	()A→ → B)→ → ()()B→ → C)→ → ()A→ → C)){displaystyle (Ato B)to (Bto C)to (Ato C)}
Contracciones	Rabc⇒ ⇒ Rabbc{displaystyle RabcRightarrow Rabbc}	()A→ → ()A→ → B))→ → ()A→ → B){displaystyle (Ato (Ato B)to (Ato B)}
Syllogismo conjuntivo	Rabc⇒ ⇒ Ra()ab)c{displaystyle RabcRightarrow Ra(ab)c}	()A→ → B)∧ ∧ ()B→ → C)→ → ()A→ → C){displaystyle (Ato B)land (Bto C)to (Ato C)}
Assertion	Rabc⇒ ⇒ Rbac{displaystyle RabcRightarrow Rbac}	A→ → ()()A→ → B)→ → B){displaystyle Ato (Ato B)to B)}
E axiom	Ra0a{displaystyle Ra0a}	()()A→ → A)→ → B)→ → B{displaystyle (Ato A)to B)to B}
Mingle axiom	Rabc⇒ ⇒ a≤ ≤ c{displaystyle RabcRightarrow aleq c} o b≤ ≤ c{displaystyle bleq c}	A→ → ()A→ → A){displaystyle Ato (Ato A)}
Reductio	RaaAlternativa Alternativa a{displaystyle Raa^{*}a}	()A→ → ¬ ¬ A)→ → ¬ ¬ A{displaystyle (Ato lnot A)to lnot A}
Contraposición	Rabc⇒ ⇒ RacAlternativa Alternativa bAlternativa Alternativa {displaystyle RabcRightarrow Rac^{*}b^{*}	()A→ → B)→ → ()¬ ¬ B→ → ¬ ¬ A){displaystyle (Ato B)to (lnot Bto lnot A)}
Medio excluido	0Alternativa Alternativa ≤ ≤ 0{displaystyle 0^{*}leq 0}	AAlternativa Alternativa ¬ ¬ A{displaystyle Alor lnot A}
Inclusión estricta debilitando	0≤ ≤ a{displaystyle 0leq a}	A→ → ()B→ → B){displaystyle Ato (Bto B)}
Debilitamiento	Rabc⇒ ⇒ b≤ ≤ c{displaystyle RabcRightarrow bleq c}	A→ → ()B→ → A){displaystyle Ato (Bto A)}

Las dos últimas condiciones validan formas de debilitamiento que originalmente se desarrollaron para evitar las lógicas de relevancia. Se incluyen para mostrar la flexibilidad de los modelos de Routley-Meyer.

Modelos operativos

Modelos de Urquhart

Alasdair Urquhart desarrolló modelos operativos para fragmentos libres de negación de lógicas de relevancia en su tesis doctoral y en trabajos posteriores. La idea intuitiva detrás de los modelos operativos es que los puntos en un modelo son piezas de información, y la combinación de información que respalda un condicional con la información que respalda su antecedente produce información que respalda el consecuente. Dado que los modelos operativos generalmente no interpretan la negación, esta sección considerará solo los lenguajes con condicional, conjunción y disyunción.

Marco operacional F{displaystyle F} es un triple ()K,⋅ ⋅ ,0){displaystyle (K,cdot0)}, donde K{displaystyle K} es un conjunto no vacío, 0▪ ▪ K{displaystyle 0in K}, y ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } es una operación binaria en K{displaystyle K}. Los marcos tienen condiciones, algunas de las cuales se pueden dejar modelo diferentes lógicas. Las condiciones que Urquhart propuso para modelar el condicional de la lógica relevante R son las siguientes.

• x⋅ ⋅ x=x{displaystyle xcdot x=x}
• ()x⋅ ⋅ Sí.)⋅ ⋅ z=x⋅ ⋅ ()Sí.⋅ ⋅ z){displaystyle (xcdot y)cdot z=xcdot (ycdot z)}
• x⋅ ⋅ Sí.=Sí.⋅ ⋅ x{displaystyle xcdot y=ycdot x}
• 0⋅ ⋅ x=x{displaystyle 0cdot x=x}

Bajo estas condiciones, el marco operativo es un semirretículo de unión.

Modelo operacional M{displaystyle M} es un marco F{displaystyle F} con una valoración V{displaystyle V} que mapea pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, T o F. V{displaystyle V} se puede ampliar a una valoración ⊩ ⊩ {displaystyle "Vdash" sobre fórmulas complejas como sigue.

• M,a⊩ ⊩ p⟺ ⟺ V()a,p)=T{displaystyle M,aVdash piff V(a,p)=T}, para proposiciones atómicas
• M,a⊩ ⊩ A∧ ∧ B⟺ ⟺ M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash Aland Biff M,aVdash A} y M,a⊩ ⊩ B{displaystyle M,aVdash B}
• M,a⊩ ⊩ AAlternativa Alternativa B⟺ ⟺ M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash Alor Biff M,aVdash A} o M,a⊩ ⊩ B{displaystyle M,aVdash B}
• M,a⊩ ⊩ A→ → B⟺ ⟺ О О b()M,b⊩ ⊩ A⇒ ⇒ M,a⋅ ⋅ b⊩ ⊩ B){displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b(M,bVdash ARightarrow M,acdot bVdash B)}

Una fórmula A{displaystyle A} sostiene en un modelo M{displaystyle M} Sip M,0⊩ ⊩ A{displaystyle M,0Vdash A}. Una fórmula A{displaystyle A} es válido en una clase de modelos C{displaystyle C} si se mantiene en cada modelo M▪ ▪ C{displaystyle Min C}.

El fragmento condicional de R es sonido y completo con respecto a la clase de modelos semilattice. La lógica con conjunción y disyunción es apropiadamente más fuerte que el fragmento condicional, conjunción, disyunción de R. En particular, la fórmula ()A→ → ()BAlternativa Alternativa C))∧ ∧ ()B→ → C)→ → ()A→ → C){displaystyle (Ato (Blor C)land (Bto C)to (Ato C)} es válido para los modelos operativos pero es inválido en R. La lógica generada por los modelos operativos para R tiene un sistema completo de prueba axiomática, debido Kit Fine y a Gerald Charlwood. Charlwood también proporcionó un sistema de deducción natural para la lógica, que demostró equivalente al sistema axiomático. Charlwood mostró que su sistema de deducción natural es equivalente a un sistema proporcionado por Dag Prawitz.

La semántica operativa se puede adaptar para modelar el condicional de E añadiendo un conjunto no vacío de mundos W{displaystyle W. y una relación de accesibilidad ≤ ≤ {displaystyle leq } on W× × W{displaystyle Wtimes W} a los marcos. La relación de accesibilidad es necesaria para ser reflexiva y transitiva, para captar la idea de que el condicional de E tiene una necesidad S4. Las valoraciones entonces mapean triples de proposiciones atómicas, puntos y mundos a valores de verdad. La condición de verdad para el condicional se cambia a lo siguiente.

• M,a,w⊩ ⊩ A→ → B⟺ ⟺ О О b,О О w.≥ ≥ w()M,b,w.⊩ ⊩ A⇒ ⇒ M,a⋅ ⋅ b,w.⊩ ⊩ B){displaystyle M,a,wVdash Ato Biff forall b,forall w'geq w(M,b,w'Vdash ARightarrow M,acdot b,w'Vdash B)}

La semántica operativa se puede adaptar para modelar el condicional de T añadiendo una relación ≤ ≤ {displaystyle leq } on K× × K{displaystyle Ktimes K}. Se requiere la relación para obedecer las siguientes condiciones.

• 0≤ ≤ x{displaystyle 0leq x}
• Si x≤ ≤ Sí.{displaystyle xleq y} y Sí.≤ ≤ z{displaystyle yleq z}, entonces x≤ ≤ z{displaystyle xleq z}
• Si x≤ ≤ Sí.{displaystyle xleq y}, entonces x⋅ ⋅ z≤ ≤ Sí.⋅ ⋅ z{displaystyle xcdot zleq ycdot z}

La condición de verdad para el condicional se cambia a la siguiente.

• M,a⊩ ⊩ A→ → B⟺ ⟺ О О b()()a≤ ≤ b∧ ∧ M,b⊩ ⊩ A)⇒ ⇒ M,a⋅ ⋅ b⊩ ⊩ B){displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b(aleq bland M,bVdash A) Rightarrow M,acdot bVdash B)}

Hay dos maneras de modelar las lógicas de relevancia sin contracción TW y RW con los modelos operativos. La primera manera es dejar caer la condición de que x⋅ ⋅ x=x{displaystyle xcdot x=x}. La segunda manera es mantener las condiciones de semilattice en marcos y añadir una relación binaria, J{displaystyle J}, de descomunión al marco. Para estos modelos, las condiciones de verdad para el condicional se cambian a lo siguiente, con la adición de la orden en el caso de TW.

• M,a⊩ ⊩ A→ → B⟺ ⟺ О О b()()Jab∧ ∧ M,b⊩ ⊩ A)⇒ ⇒ M,a⋅ ⋅ b⊩ ⊩ B){displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b(Jabland M,bVdash A) Rightarrow M,acdot bVdash B)}

Modelos Humberstone

Urquhart demostró que la lógica semiretícula para R es propiamente más fuerte que el fragmento positivo de R. Lloyd Humberstone proporcionó un enriquecimiento de los modelos operativos que permitieron una condición de verdad diferente para la disyunción. La clase de modelos resultante genera exactamente el fragmento positivo de R.

Marco operacional F{displaystyle F} es un cuádruple ()K,⋅ ⋅ ,+,0){displaystyle (K,cdot+,0)}, donde K{displaystyle K} es un conjunto no vacío, 0▪ ▪ K{displaystyle 0in K}, y⋅ ⋅ {displaystyle cdot }, +{displaystyle +}} son operaciones binarias en K{displaystyle K}. Vamos a≤ ≤ b{displaystyle aleq b} se define como ∃ ∃ x()a+x=b){displaystyle exists x(a+x=b)}. Las condiciones del marco son las siguientes.

Modelo operacional M{displaystyle M} es un marco F{displaystyle F} con una valoración V{displaystyle V} que mapea pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, T o F. V{displaystyle V} se puede ampliar a una valoración ⊩ ⊩ {displaystyle "Vdash" sobre fórmulas complejas como sigue.

• M,a⊩ ⊩ p⟺ ⟺ V()a,p)=T{displaystyle M,aVdash piff V(a,p)=T}, para proposiciones atómicas
• M,a+b⊩ ⊩ p⟺ ⟺ M,a⊩ ⊩ p{displaystyle M,a+bVdash piff M,aVdash p} y M,b⊩ ⊩ p{displaystyle M,bVdash p}
• M,a⊩ ⊩ A∧ ∧ B⟺ ⟺ M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash Aland Biff M,aVdash A} y M,a⊩ ⊩ B{displaystyle M,aVdash B}
• M,a⊩ ⊩ AAlternativa Alternativa B⟺ ⟺ M,a⊩ ⊩ A{displaystyle M,aVdash Alor Biff M,aVdash A} o M,a⊩ ⊩ B{displaystyle M,aVdash B} o ∃ ∃ b,c()a=b+c{displaystyle exists b,c(a=b+c}; M,b⊩ ⊩ A{displaystyle M,bVdash A} y M,c⊩ ⊩ B){displaystyle M,cVdash B)}
• M,a⊩ ⊩ A→ → B⟺ ⟺ О О b()M,b⊩ ⊩ A⇒ ⇒ M,a⋅ ⋅ b⊩ ⊩ B){displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b(M,bVdash ARightarrow M,acdot bVdash B)}

Una fórmula A{displaystyle A} sostiene en un modelo M{displaystyle M} Sip M,0⊩ ⊩ A{displaystyle M,0Vdash A}. Una fórmula A{displaystyle A} es válido en una clase de modelos C{displaystyle C} si se mantiene en cada modelo M▪ ▪ C{displaystyle Min C}.

El fragmento positivo de R es sólido y completo con respecto a la clase de estos modelos. La semántica de Humberstone se puede adaptar para modelar diferentes lógicas eliminando o agregando condiciones de marco de la siguiente manera.

Modelos algebraicos

Algunas lógicas relevantes se pueden dar modelos algebraicos, como la lógica R. Las estructuras algebraicas para R son monoides de Morgan, que son sextuples ()D,∧ ∧ ,Alternativa Alternativa ,¬ ¬ ,∘ ∘ ,e){displaystyle (D,landlorlnotcirce)} Donde

• ()D,∧ ∧ ,Alternativa Alternativa ,¬ ¬ ){displaystyle (D,landlorlnot)} es una celosía distributiva con una operación inadvertida, ¬ ¬ {displaystyle lnot } obedeciendo las leyes ¬ ¬ ¬ ¬ x=x{displaystyle lnot lnot x=x} y si x≤ ≤ Sí.{displaystyle xleq y} entonces ¬ ¬ Sí.≤ ≤ ¬ ¬ x{displaystyle lnot yleqlnot x};
• e▪ ▪ D{displaystyle ein D}, la operación binaria ∘ ∘ {displaystyle circ } es conmutativo (x∘ ∘ Sí.=Sí.∘ ∘ x{displaystyle xcirc y=ycirco x}) y la asociación (()x∘ ∘ Sí.)∘ ∘ z=x∘ ∘ ()Sí.∘ ∘ z){displaystyle (xcirc y)circo z=xcirco (ycirc z)}), y e∘ ∘ x=x{displaystyle ecirc x=x}, es decir. ()D,∘ ∘ ,e){displaystyle (D,circe)} es un monoide abeliano con identidad e{displaystyle e};
• el monoide es ordenado por celosía y satisfechas x∘ ∘ ()Sí.Alternativa Alternativa z)=()x∘ ∘ Sí.)Alternativa Alternativa ()x∘ ∘ z){displaystyle xcirc (ylor z)=(xcirc y)lor (xcirc z)};
• x≤ ≤ x∘ ∘ x{displaystyle xleq xcirco x}; y
• si x∘ ∘ Sí.≤ ≤ z{displaystyle xcirc yleq z}, entonces x∘ ∘ ¬ ¬ z≤ ≤ ¬ ¬ Sí.{displaystyle xcirc lnot zleqlnot y}.

La operación x→ → Sí.{displaystyle xto y} interpretar el condicional de R se define como ¬ ¬ ()x∘ ∘ ¬ ¬ Sí.){displaystyle lnot (xcirc lnot y)}. Un monoide de Morgan es una celosía residual, obedeciendo la siguiente condición de residuación.

x∘ ∘ Sí.≤ ≤ z⟺ ⟺ x≤ ≤ Sí.→ → z{displaystyle xcirc yleq ziff xleq yto z}

Una interpretación v{displaystyle v} es un homomorfismo del lenguaje proposicional a un monoide de Morgan M{displaystyle M} tales que

• v()p)▪ ▪ D{displaystyle v(p)in D} para todas las proposiciones atómicas,
• v()¬ ¬ A)=¬ ¬ v()A){displaystyle v(lnot A)=lnot v(A)}
• v()AAlternativa Alternativa B)=v()A)Alternativa Alternativa v()B){displaystyle v(Alor B)=v(A)lor v(B)}
• v()A∧ ∧ B)=v()A)∧ ∧ v()B){displaystyle v(Aland B)=v(A)land v(B)}
• v()A→ → B)=v()A)→ → v()B){displaystyle v(Ato B)=v(A)to v(B)}

Dado un monoide de Morgan M{displaystyle M} y una interpretación v{displaystyle v}, uno puede decir que la fórmula A{displaystyle A} en espera v{displaystyle v} Por si acaso e≤ ≤ v()A){displaystyle eleq v(A)}. Una fórmula A{displaystyle A} es válido sólo en caso de que tenga en todas las interpretaciones de todos los monoides de Morgan. La lógica R es sólida y completa para los monoides de Morgan.