Lógica de la relevancia

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La lógica de la relevancia, también llamada lógica relevante, es un tipo de lógica no clásica que requiere que el antecedente y el consecuente de las implicaciones estén relacionados de manera relevante. Pueden verse como una familia de lógicas subestructurales o modales. Es generalmente, pero no universalmente, llamada lógica relevante por lógicos británicos y, especialmente, australianos, y lógica relevante por lógicos estadounidenses.

La lógica de relevancia tiene como objetivo capturar aspectos de la implicación que son ignorados por el operador de "implicación material" en la lógica funcional de verdad clásica, a saber, la noción de relevancia entre el antecedente y el condicional de una implicación verdadera. Esta idea no es nueva: CI Lewis fue llevado a inventar la lógica modal, y específicamente la implicación estricta, sobre la base de que la lógica clásica otorga paradojas de implicación material como el principio de que una falsedad implica cualquier proposición. Por lo tanto, "si soy un burro, entonces dos y dos son cuatro" es verdadero cuando se traduce como una implicación material, pero parece intuitivamente falso ya que una implicación verdadera debe unir el antecedente y el consecuente por alguna noción de relevancia. Y si el hablante es o no un burro, no parece relevante en absoluto si dos y dos son cuatro.

¿Cómo capta formalmente la lógica de la relevancia una noción de relevancia? En términos de una restricción sintáctica para un cálculo proposicional, es necesario, pero no suficiente, que las premisas y la conclusión compartan fórmulas atómicas (fórmulas que no contienen conectores lógicos). En un cálculo de predicados, la relevancia requiere compartir variables y constantes entre las premisas y la conclusión. Esto se puede asegurar (junto con condiciones más estrictas), por ejemplo, imponiendo ciertas restricciones a las reglas de un sistema de deducción natural. En particular, una deducción natural al estilo de Fitch se puede adaptar para acomodar la relevancia mediante la introducción de etiquetas al final de cada línea de una aplicación de una inferencia que indique las premisas relevantes para la conclusión de la inferencia.

Una característica notable de las lógicas de relevancia es que son lógicas paraconsistentes: la existencia de una contradicción no provocará una "explosión". Esto se sigue del hecho de que un condicional con un antecedente contradictorio que no comparte ninguna letra proposicional o predicativa con el consecuente no puede ser verdadero (o derivable).

Historia

La lógica de la relevancia fue propuesta en 1928 por el filósofo soviético Ivan E. Orlov (1886 - alrededor de 1936) en su artículo estrictamente matemático "La lógica de la compatibilidad de las proposiciones" publicado en Matematicheskii Sbornik. La idea básica de implicación relevante aparece en la lógica medieval, y Ackermann, Moh y Church realizaron algunos trabajos pioneros en la década de 1950. Basándose en ellos, Nuel Belnap y Alan Ross Anderson (con otros) escribieron la obra magna del tema, Entailment: The Logic of Relevance and Necessity en la década de 1970 (el segundo volumen se publicó en la década de 1990). Se centraron tanto en los sistemas de vinculación como en los sistemas de relevancia, en los que se supone que las implicaciones de los primeros tipos son tanto relevantes como necesarias.

Axiomas

Los primeros desarrollos en la lógica de relevancia se centraron en los sistemas más fuertes. El desarrollo de la semántica de Routley-Meyer trajo consigo una gama de lógicas más débiles. La más débil de estas lógicas es la lógica de relevancia B. Se axiomatiza con los siguientes axiomas y reglas.

$A a A$
${displaystyle Aland Bto A}$
${displaystyle Aland Bto B}$
${displaystyle (Ato B)land (Ato C)to (Ato Bland C)}$
${displaystyle Ato Alor B}$
${displaystyle Bto Alor B}$
${displaystyle (Ato C)land (Bto C)to (Alor Bto C)}$
${displaystyle Aland (Blor C)to (Aland B)lor (Aland C)}$
${displaystyle lnot lnot Ato A}$

Las reglas son las siguientes.

${displaystyle A,Ato Bvdash B}$
${displaystyle A,Bvdash Aland B}$
${displaystyle Aa Bvdash (Ca A)a (Ca B)}$
${displaystyle Aa Bvdash (Ba C)a (Aa C)}$
${displaystyle Ato Bvdash lnot Bto lnot A}$

Se pueden obtener lógicas más fuertes agregando cualquiera de los siguientes axiomas.

${displaystyle (Ato B)to (lnot Bto lnot A)}$
${ estilo de visualización (A a B) tierra (B a C) a (A a C)}$
$(Aa B)a ((Ba C)a (Aa C))$
${ estilo de visualización (A a B) a ((C a A) a (C a B))}$
$(Aa (Aa B))a (Aa B)$
${displaystyle (Atierra (Aa B))a B}$
${displaystyle (Ato lnot A)to lnot A}$
${ estilo de visualización (A a (B a C)) a (B a (A a C))}$
${ estilo de visualización A a ((A a B) a B)}$
${ estilo de visualización ((A a A) a B) a B}$
${displaystyle Alorlnot A}$
${ estilo de visualización A a (A a A)}$

Hay algunas lógicas notables más fuertes que B que se pueden obtener agregando axiomas a B de la siguiente manera.

Para DW, agregue el axioma 1.
Para DJ, agregue los axiomas 1, 2.
Para TW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4.
Para RW, agregue los axiomas 1, 2, 3, 4, 8, 9.
Para T, suma los axiomas 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
Para R, agregue los axiomas 1-11.
Para E, agregue los axiomas 1-7, 10, 11, ${ estilo de visualización ((A a A) tierra (B a B) a C) a C}$ y ${displaystyle Box Aland Box Bto Box (Aland B)}$ , donde $Cuadro A$ se define como ${ estilo de visualización (A a A) a A}$ .
Para RM, agregue todos los axiomas adicionales.

Modelos

Modelos de Routley-Meyer

La teoría del modelo estándar para la lógica de relevancia es la semántica relacional ternaria de Routley-Meyer desarrollada por Richard Routley y Robert Meyer. Un marco F de Routley-Meyer para un lenguaje proposicional es un cuádruple (W,R,*,0), donde W es un conjunto no vacío, R es una relación ternaria en W y * es una función de W a W, y ${ estilo de visualización 0 en W}$ . Un modelo de Routley-Meyer M es un marco de Routley-Meyer F junto con una valoración, $Vdash$ , que asigna un valor de verdad a cada proposición atómica relativa a cada punto ${ estilo de visualización a en W}$ . Hay algunas condiciones impuestas a los marcos de Routley-Meyer. Definir $a leq b$ como ${displaystyle R0ab}$ .

${displaystyle aleq a}$ .
Si $a leq b$ y ${ estilo de visualización b leq c}$ , entonces ${displaystyle aleq c}$ .
Si ${displaystyle dleq a}$ y ${ Displaystyle Rabc}$ , entonces ${displaystyle Rdbc}$ .
${displaystyle a^{**}=a}$ .
Si $a leq b$ , entonces ${displaystyle b^{*}leq a^{*}}$ .

Escribe ${displaystyle M,aVdash A}$ y ${displaystyle M,anVdash A}$ para indicar que la fórmula $UN$ es verdadera o no, respectivamente, en el $un$ punto $METRO$ . Una condición final en los modelos de Routley-Meyer es la condición de herencia.

Si ${displaystyle M,aVdash p}$ y $a leq b$ , entonces ${ estilo de visualización M, b Vdash p}$ , para todas las proposiciones atómicas $pag$ .

Mediante un argumento inductivo, se puede demostrar que la herencia se extiende a fórmulas complejas, utilizando las siguientes condiciones de verdad.

Si ${displaystyle M,aVdash A}$ y $a leq b$ , entonces ${displaystyle M,bVdash A}$ , para todas las fórmulas $UN$ .

Las condiciones de verdad para fórmulas complejas son las siguientes.

${displaystyle M,aVdash Aland Biff M,aVdash A}$ y ${displaystyle M,aVdash B}$
${displaystyle M,aVdash Alor Biff M,aVdash A}$ o ${displaystyle M,aVdash B}$
${displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b,c((Rabcland M,bVdash A)Rightarrow M,cVdash B)}$
${displaystyle M,aVdash lnot Aiff M,a^{*}nVdash A}$

Una fórmula $UN$ se mantiene en un modelo $METRO$ por si acaso ${displaystyle M,0Vdash A}$ . Una fórmula $UN$ se cumple en un marco $F$ si y solo si A se cumple en todos los modelos ${ estilo de visualización (F, Vdash)}$ . Una fórmula $UN$ es válida en una clase de fotogramas si y solo si A se cumple en todos los fotogramas de esa clase. La clase de todos los marcos de Routley-Meyer que satisfacen las condiciones anteriores valida esa lógica de relevancia B. Se pueden obtener marcos de Routley-Meyer para otras lógicas de relevancia colocando las restricciones apropiadas en R y en *. Estas condiciones son más fáciles de establecer usando algunas definiciones estándar. Que ${displaystyle Rabcd}$ se defina como ${displaystyle existe x(Rabxland Rxcd)}$ , y que ${ Displaystyle Ra (bc) d}$ se defina como ${displaystyle existe x(Rbcxland Raxd)}$ . Algunas de las condiciones del marco y los axiomas que validan son los siguientes.

Nombre	Condición del marco	Axioma
Pseudo-modus ponens	${displaystyle Raaa}$	${displaystyle (Atierra (Aa B))a B}$
prefijo	${displaystyle RabcdRightarrow Ra(bc)d}$	${ estilo de visualización (A a B) a ((C a A) a (C a B))}$
sufijo	${displaystyle RabcdRightarrow Rb(ac)d}$	$(Aa B)a ((Ba C)a (Aa C))$
Contracción	${ Displaystyle Rabc Rightarrow Rabbc}$	$(Aa (Aa B))a (Aa B)$
silogismo conjuntivo	${ Displaystyle Rabc Rightarrow Ra (ab) c}$	${ estilo de visualización (A a B) tierra (B a C) a (A a C)}$
Afirmación	${displaystyle RabcRightarrow Rbac}$	${ estilo de visualización A a ((A a B) a B)}$
axioma E	${ Displaystyle Ra0a}$	${ estilo de visualización ((A a A) a B) a B}$
axioma de mezcla	${displaystyle RabcRightarrow aleq c}$ o ${ estilo de visualización b leq c}$	${ estilo de visualización A a (A a A)}$
reducción	${displaystyle Raa^{*}a}$	${displaystyle (Ato lnot A)to lnot A}$
Contraposición	${displaystyle RabcRightarrow Rac^{}b^{}}$	${displaystyle (Ato B)to (lnot Bto lnot A)}$
Medio excluido	${displaystyle 0^{*}leq 0}$	${displaystyle Alorlnot A}$
Debilitamiento de implicación estricta	${ estilo de visualización 0 leq a}$	${ estilo de visualización A a (B a B)}$
Debilitamiento	${displaystyle RabcRightarrow bleq c}$	$Aa (Ba A)$

Las dos últimas condiciones validan formas de debilitamiento que originalmente se desarrollaron para evitar las lógicas de relevancia. Se incluyen para mostrar la flexibilidad de los modelos de Routley-Meyer.

Modelos operativos

Modelos Urquhart

Alasdair Urquhart desarrolló modelos operativos para fragmentos libres de negación de lógicas de relevancia en su tesis doctoral y en trabajos posteriores. La idea intuitiva detrás de los modelos operativos es que los puntos en un modelo son piezas de información, y la combinación de información que respalda un condicional con la información que respalda su antecedente produce información que respalda el consecuente. Dado que los modelos operativos generalmente no interpretan la negación, esta sección considerará solo los lenguajes con condicional, conjunción y disyunción.

Un marco operacional $F$ es un triple ${ estilo de visualización (K, cdot, 0)}$ , donde $k$ es un conjunto no vacío ${ estilo de visualización 0 en K}$ , y $cdot$ es una operación binaria en $k$ . Los marcos tienen condiciones, algunas de las cuales pueden eliminarse para modelar diferentes lógicas. Las condiciones que propuso Urquhart para modelar el condicional de la lógica de relevancia R son las siguientes.

${displaystyle xcdot x=x}$
${displaystyle (xcdot y)cdot z=xcdot (ycdot z)}$
${displaystyle xcdot y=ycdot x}$
${displaystyle 0cdot x=x}$

En estas condiciones, el marco operativo es un semirretículo de unión.

Un modelo operativo $METRO$ es un marco $F$ con una valoración $V$ que asigna pares de puntos y proposiciones atómicas a valores de verdad, V o F. $V$ Se puede extender a una valoración $Vdash$ de fórmulas complejas de la siguiente manera.

${displaystyle M,aVdash piff V(a,p)=T}$ , para proposiciones atómicas
${displaystyle M,aVdash Aland Biff M,aVdash A}$ y ${displaystyle M,aVdash B}$
${displaystyle M,aVdash Alor Biff M,aVdash A}$ o ${displaystyle M,aVdash B}$
${displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b(M,bVdash ARightarrow M,acdot bVdash B)}$

Una fórmula $UN$ se cumple en un modelo $METRO$ iff ${displaystyle M,0Vdash A}$ . Una fórmula $UN$ es válida en una clase de modelos $C$ si y solo si se cumple en cada modelo ${ estilo de visualización M en C}$ .

El fragmento condicional de R es sólido y completo con respecto a la clase de modelos semiretículos. La lógica con conjunción y disyunción es propiamente más fuerte que el fragmento condicional de conjunción y disyunción de R. En particular, la fórmula ${ estilo de visualización (A a (B o C)) tierra (B a C) a (A a C)}$ es válida para los modelos operativos pero no es válida en R. La lógica generada por los modelos operativos para R tiene una lógica completa. sistema de prueba axiomática, debido a Kit Fine y Gerald Charlwood. Charlwood también proporcionó un sistema de deducción natural para la lógica, que demostró ser equivalente al sistema axiomático. Charlwood demostró que su sistema de deducción natural es equivalente a un sistema proporcionado por Dag Prawitz.

La semántica operativa se puede adaptar para modelar el condicional de E agregando un conjunto no vacío de mundos y una relación de $W$ accesibilidad a los marcos. Se requiere que la relación de accesibilidad sea reflexiva y transitiva, para capturar la idea de que el condicional de E tiene una necesidad S4. Las valoraciones luego asignan triples de proposiciones atómicas, puntos y mundos a valores de verdad. La condición de verdad para el condicional se cambia a la siguiente. $leq$ ${ estilo de visualización W veces W}$

${displaystyle M,a,wVdash Ato Biff forall b,forall w'geq w(M,b,w'Vdash ARightarrow M,acdot b,w'Vdash B)}$

La semántica operativa se puede adaptar para modelar el condicional de T agregando una relación $leq$ en $Kveces K$ . Se requiere que la relación obedezca las siguientes condiciones.

$0leq x$
Si $xleq y$ y ${ estilo de visualización y leq z}$ , entonces ${ estilo de visualización x leq z}$
si $xleq y$ , entonces ${displaystyle xcdot zleq ycdot z}$

La condición de verdad para el condicional se cambia a la siguiente.

${displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b((aleq bland M,bVdash A)Rightarrow M,acdot bVdash B)}$

Hay dos formas de modelar las lógicas de relevancia sin contracción TW y RW con los modelos operativos. La primera forma es descartar la condición de que ${displaystyle xcdot x=x}$ . La segunda forma es mantener las condiciones de semirretículo en los marcos y agregar una relación binaria, $j$ , de disyunción al marco. Para estos modelos, las condiciones de verdad del condicional se cambian a las siguientes, con la adición del ordenamiento en el caso de TW.

${displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b((Jabland M,bVdash A)Rightarrow M,acdot bVdash B)}$

Modelos humberstone

Urquhart demostró que la lógica semiretícula para R es propiamente más fuerte que el fragmento positivo de R. Lloyd Humberstone proporcionó un enriquecimiento de los modelos operativos que permitieron una condición de verdad diferente para la disyunción. La clase de modelos resultante genera exactamente el fragmento positivo de R.

Un marco operacional $F$ es un cuádruple ${ estilo de visualización (K, cdot, +, 0)}$ , donde $k$ es un conjunto no vacío ${ estilo de visualización 0 en K}$ , y { $cdot$ , $+$ } son operaciones binarias en $k$ . Que $a leq b$ se defina como ${displaystyle existe x(a+x=b)}$ . Las condiciones del cuadro son las siguientes.

${displaystyle 0cdot x=x}$
${displaystyle xcdot y=ycdot x}$
${displaystyle (xcdot y)cdot z=xcdot (ycdot z)}$
${displaystyle xleq xcdot x}$
$x+y=y+x$
$(x+y)+z=x+(y+z)$
${ estilo de visualización x+x=x}$
${displaystyle xcdot (y+z)=xcdot y+xcdot z}$
${displaystyle xleq y+zRightarrow existe y',z'in K(y'leq y}$ , ${displaystyle z'leq z}$ y ${ estilo de visualización x = y'+z')}$

${displaystyle M,aVdash piff V(a,p)=T}$ , para proposiciones atómicas
${displaystyle METRO,a+bVdash piff METRO,aVdash p}$ y ${ estilo de visualización M, b Vdash p}$
${displaystyle M,aVdash Aland Biff M,aVdash A}$ y ${displaystyle M,aVdash B}$
${displaystyle M,aVdash Alor Biff M,aVdash A}$ o ${displaystyle M,aVdash B}$ o ${displaystyle existe b,c(a=b+c}$ ; ${displaystyle M,bVdash A}$ y ${ estilo de visualización M, c Vdash B)}$
${displaystyle M,aVdash Ato Biff forall b(M,bVdash ARightarrow M,acdot bVdash B)}$

El fragmento positivo de R es sólido y completo con respecto a la clase de estos modelos. La semántica de Humberstone se puede adaptar para modelar diferentes lógicas eliminando o agregando condiciones de marco de la siguiente manera.

{displaystyle (xcdot y)cdot zleq ycdot (xcdot z)}

Sistema	Condiciones del marco
B	1, 5-9, 14	${displaystyle xleq xcdot 0}$ ${displaystyle (xcdot y)cdot zleq ycdot (xcdot z)}$ ${displaystyle (xcdot y)cdot zleq xcdot (ycdot z)}$ ${displaystyle xcdot yleq (xcdot y)cdot y}$ ${displaystyle (y+z)cdot x=ycdot x+zcdot x}$ ${displaystyle xcdot x=x}$
TW	1, 11, 12, 5-9, 14
EW	1, 10, 11, 5-9, 14
RW	1-3, 5-9
T	1, 11, 12, 13, 5-9, 14
mi	1, 10, 11, 13, 5-9, 14
R	1-9
RM	1-3, 5-9, 15

Modelos algebraicos

A algunas lógicas de relevancia se les pueden dar modelos algebraicos, como la lógica R. Las estructuras algebraicas para R son los monoides de Morgan, que son séxtuples ${displaystyle (D,land,lor,lnot,circ,e)}$ donde

${displaystyle (D,land,lor,lnot)}$ es un retículo distributivo con operación unaria, $lno$ obedeciendo las leyes ${ estilo de visualización lnot lnot x = x}$ y si $xleq y$ entonces ${displaystyle lnot yleq lnot x}$ ;
${ estilo de visualización e en D}$ , la operación binaria $circ$ es conmutativa ( ${displaystyle xcirc y=ycirc x}$ ) y asociativa ( ${displaystyle (xcirc y)circ z=xcirc (ycirc z)}$ ), y ${displaystyle ecirc x=x}$ , es decir, ${ estilo de visualización (D, circ, e)}$ es un monoide abeliano con identidad $mi$ ;
el monoide está ordenado en celosía y satisface ${displaystyle xcirc (ylor z)=(xcirc y)lor (xcirc z)}$ ;
${displaystyle xleq xcirc x}$ ; y
si ${displaystyle xcirc yleq z}$ , entonces ${displaystyle xcirc lnot zleq lnot y}$ .

La operación que ${ estilo de visualización x a y}$ interpreta el condicional de R se define como ${displaystyle lnot (xcirc lnot y)}$ . Un monoide de de Morgan es una red residual, que obedece a la siguiente condición de residuación. ${displaystyle xcirc yleq ziff xleq yto z}$

Una interpretación $v$ es un homomorfismo del lenguaje proposicional a un monoide de Morgan $METRO$ tal que

${ estilo de visualización v (p) en D}$ para todas las proposiciones atómicas,
${displaystyle v(lnot A)=lnot v(A)}$
${displaystyle v(Alor B)=v(A)lor v(B)}$
${displaystyle v(Aland B)=v(A)land v(B)}$
${ Displaystyle v (A a B) = v (A) a v (B)}$

Dado un monoide de Morgan $METRO$ y una interpretación $v$ , se puede decir que la fórmula $UN$ se mantiene por $v$ si acaso ${displaystyle eleqv(A)}$ . Una fórmula $UN$ es válida en caso de que se cumpla en todas las interpretaciones de todos los monoides de De Morgan. La lógica R es sólida y completa para los monoides de Morgan.