Lógica algebraica

En lógica matemática, la lógica algebraica es el razonamiento obtenido mediante la manipulación de ecuaciones con variables libres.

Lo que hoy se suele denominar lógica algebraica clásica se centra en la identificación y descripción algebraica de modelos apropiados para el estudio de diversas lógicas (en forma de clases de álgebras que constituyen la semántica algebraica de estos sistemas deductivos) y problemas relacionados como la representación y la dualidad. Resultados bien conocidos como el teorema de representación para las álgebras de Boole y la dualidad de Stone se incluyen en el ámbito de la lógica algebraica clásica (Czelakowski 2003).

Los trabajos más recientes de lógica algebraica abstracta (ALA) se centran en el proceso de algebraización en sí, como la clasificación de diversas formas de algebraización utilizando el operador de Leibniz (Czelakowski 2003).

En el conjunto potencia de X × X se encuentra una relación binaria homogénea para algún conjunto X, mientras que en el conjunto potencia de X × Y se encuentra una relación heterogénea, donde X ≠ Y. El hecho de que una relación dada se cumpla para dos individuos es un dato, por lo que las relaciones se estudian con aritmética booleana. Los elementos del conjunto potencia están parcialmente ordenados por inclusión, y la red de estos conjuntos se convierte en un álgebra a través de la multiplicación relativa o la composición de relaciones.

"Las operaciones básicas son la unión, intersección y complementación de conjuntos, la multiplicación relativa y la conversión."

La conversión se refiere a la relación inversa que siempre existe, contrariamente a la teoría de funciones. Una relación dada puede representarse mediante una matriz lógica; entonces, la relación inversa se representa mediante la matriz transpuesta. Una relación obtenida como composición de otras dos se representa entonces mediante la matriz lógica obtenida por multiplicación de matrices utilizando aritmética booleana.

Un ejemplo de cálculo de relaciones surge en la erotética, la teoría de las preguntas. En el universo de los enunciados hay enunciados S y preguntas Q. Hay dos relaciones π y α de Q a S: q α a se cumple cuando a es una respuesta directa a la pregunta q. La otra relación, q π p se cumple cuando p es una presuposición de la pregunta q. La relación inversa π^T va de S a Q, de modo que la composición π^Tα es una relación homogénea en S. El arte de plantear la pregunta correcta para obtener una respuesta suficiente se reconoce en el diálogo del método socrático.

La descripción de las propiedades clave de relación binaria se ha formulado con el cálculo de las relaciones. La propiedad univalence de las funciones describe una relación R que satisface la fórmula ${\displaystyle R-subseteq Yo...$ Donde I es la relación de identidad en el rango de R. La propiedad inyectable corresponde a la univalence de ${\displaystyle R^{T}$, o la fórmula ${\displaystyle RR^{T}\subseteq Yo...$ donde esta vez I es la identidad en el dominio de R.

Pero una relación univalenta es sólo una función parcial, mientras que una relación total univalenta es una función. La fórmula para la totalidad es ${\displaystyle I 'subseteq RR^{T}$ Charles Loewner y Gunther Schmidt usan el término Cartografía por una relación total, univalenta.

Las instalaciones de relaciones complementarias inspiraron a Augustus De Morgan y Ernst Schröder para introducir equivalencias utilizando ${\displaystyle {\bar {R}}}$ para el complemento de la relación R. Estas equivalencias proporcionan fórmulas alternativas para las relaciones univales (${\displaystyle R{\bar}\subseteq {R}}$), y relaciones totales (${\displaystyle {\bar {R}\subseteq R{\bar}}}$). Por lo tanto, los mapas satisfacen la fórmula ${\displaystyle {\bar}=R{\bar} {I}}$ Schmidt utiliza este principio como "slipping por debajo de la negación de la izquierda". Para una asignación f, ${\displaystyle f{\bar}={\overline {\fA}}}$

La estructura del álgebra relacional, basada en la teoría de conjuntos, fue superada por Tarski con axiomas que la describían. Luego se preguntó si cada álgebra que satisficiera los axiomas podría ser representada por una relación de conjuntos. La respuesta negativa abrió la frontera de la lógica algebraica abstracta.

La lógica algebraica trata las estructuras algebraicas, a menudo redes acotadas, como modelos (interpretaciones) de ciertas lógicas, lo que convierte a la lógica en una rama de la teoría del orden.

En lógica algebraica:

• Las variables se cuantifican tácitamente universalmente sobre algún universo del discurso. No existen variables cuantificadas existencialmente ni fórmulas abiertas;
• Los términos se construyen a partir de variables que utilizan operaciones primitivas y definidas. No hay conexiones;
• Las fórmulas, construidas a partir de términos de la manera habitual, pueden equipararse si son lógicamente equivalentes. Expresar una tautología, equiparar una fórmula con un valor de verdad;
• Las reglas de la prueba son la sustitución de iguales por iguales y la sustitución uniforme. Modus ponens sigue siendo válido, pero rara vez está empleado.

En la tabla que aparece a continuación, la columna de la izquierda contiene uno o más sistemas lógicos o matemáticos, y las estructuras algebraicas que son sus modelos se muestran a la derecha en la misma fila. Algunas de estas estructuras son álgebras de Boole o extensiones propias de ellas. Las lógicas modales y otras lógicas no clásicas suelen modelarse mediante lo que se denominan "álgebras de Boole con operadores".

Los formalismos algebraicos que van más allá de la lógica de primer orden al menos en algunos aspectos incluyen:

• Lógica combinada, con el poder expresivo de la teoría del conjunto;
• Álgebra de Relación, argumentablemente la lógica algebraica paradigmática, puede expresar Peano aritmética y las teorías más axiomáticas del conjunto, incluyendo el ZFC canónico.

La lógica algebraica es, quizás, el enfoque más antiguo de la lógica formal, y podría decirse que comienza con una serie de memorandos que Leibniz escribió en la década de 1680, algunos de los cuales se publicaron en el siglo XIX y fueron traducidos al inglés por Clarence Lewis en 1918. Pero casi todo el trabajo conocido de Leibniz sobre lógica algebraica se publicó recién en 1903, después de que Louis Couturat lo descubriera en el Nachlass de Leibniz. Parkinson (1966) y Loemker (1969) tradujeron selecciones del volumen de Couturat al inglés.

La lógica matemática moderna comenzó en 1847, con dos panfletos cuyos respectivos autores fueron George Boole y Augustus De Morgan. En 1870 Charles Sanders Peirce publicó el primero de varios trabajos sobre la lógica de relativos. Alexander Macfarlane publicó sus Principios del álgebra de la lógica en 1879, y en 1883, Christine Ladd, una estudiante de Peirce en la Universidad Johns Hopkins, publicó "Sobre el álgebra de la lógica". La lógica se volvió más algebraica cuando las relaciones binarias se combinaron con la composición de relaciones. Para los conjuntos A y B, una relación sobre A y B se representa como un miembro del conjunto potencia de A×B con propiedades descritas por el álgebra de Boole. El "cálculo de relaciones" Se podría decir que es la culminación del enfoque de Leibniz sobre la lógica. En la Hochschule Karlsruhe, Ernst Schröder describió el cálculo de relaciones. En particular, formuló las reglas de Schröder, aunque De Morgan las había anticipado con su Teorema K.

En 1903, Bertrand Russell desarrolló el cálculo de relaciones y el logicismo como su versión de las matemáticas puras basada en las operaciones del cálculo como nociones primitivas. El "álgebra de lógica de Boole-Schröder" fue desarrollado en la Universidad de California, Berkeley en un libro de texto por Clarence Lewis en 1918. Trató la lógica de las relaciones como derivada de las funciones proposicionales de dos o más variables.

Hugh MacColl, Gottlob Frege, Giuseppe Peano y A. N. Whitehead compartían el sueño de Leibniz de combinar la lógica simbólica, las matemáticas y la filosofía.

Algunos escritos de Leopold Löwenheim y Thoralf Skolem sobre lógica algebraica aparecieron después de la publicación de Principia Mathematica entre 1910 y 1913, y Tarski reavivó el interés por las relaciones con su ensayo de 1941 "Sobre el cálculo de las relaciones".

Según Helena Rasiowa, "En los años 1920-1940, sobre todo en la escuela de lógica polaca, se llevaron a cabo investigaciones sobre cálculos proposicionales no clásicos mediante el llamado método de matrices lógicas. Como las matrices lógicas son ciertas álgebras abstractas, esto condujo al uso de un método algebraico en lógica".

Brady (2000) analiza las ricas conexiones históricas entre la lógica algebraica y la teoría de modelos. Los fundadores de la teoría de modelos, Ernst Schröder y Leopold Loewenheim, fueron lógicos de la tradición algebraica. Alfred Tarski, el fundador de la teoría de modelos de la teoría de conjuntos como una rama importante de la lógica matemática contemporánea, también:

• Iniciada lógica algebraica abstracta con álgebras de relación
• Álgebra cilíndrica inventada
• Co-descubierta Álgebra Lindenbaum-Tarski.

En la práctica del cálculo de relaciones, Jacques Riguet utilizó la lógica algebraica para proponer conceptos útiles: extendió el concepto de relación de equivalencia (en un conjunto) al caso heterogéneo con la noción de relación difuncional. Riguet también extendió el ordenamiento al contexto heterogéneo con su observación de que una matriz lógica en escalera tiene un complemento que también es una escalera, y que el teorema de N. M. Ferrers se deduce de la interpretación de la transpuesta de una escalera. Riguet generó relaciones rectangulares tomando el producto externo de vectores lógicos; estos contribuyen a los rectángulos no ampliables del análisis de conceptos formales.

Leibniz no tuvo influencia en el surgimiento de la lógica algebraica porque sus escritos lógicos fueron poco estudiados antes de las traducciones de Parkinson y Loemker. Nuestra comprensión actual de Leibniz como lógico se deriva principalmente del trabajo de Wolfgang Lenzen, resumido en Lenzen (2004). Para ver cómo el trabajo actual en lógica y metafísica puede inspirarse en el pensamiento de Leibniz y arrojar luz sobre él, véase Zalta (2000).

• Álgebra booleana
• Teorema de Codd
• Álgebra informática
• Álgebra universal

• Brady, Geraldine (2000). De Peirce a Skolem: Un capítulo abandonado en la historia de la lógica. Amsterdam, Países Bajos: North-Holland/Elsevier Science BV. Archivado desde el original en 2009-04-02. Retrieved 2009-05-15.
• Czelakowski, Janusz (2003). "Revista: Métodos algebraicos en Lógica Filosófica por J. Michael Dunn y Gary M. Hardegree". El Boletín de Lógica Simbólica. 9. Association for Symbolic Logic, Cambridge University Press. ISSN 1079-8986. JSTOR 3094793.
• Lenzen, Wolfgang, 2004, "Leibniz's Logic" en Gabbay, D., y Woods, J., eds., Handbook of the History of Logic, Vol. 3: The Rise of Modern Logic from Leibniz to Frege. North-Holland: 1-84.
• Loemker, Leroy (1969) [Primera edición 1956], Leibniz: Documentos y cartas filosóficas (2a edición), Reidel.
• Parkinson, G.H.R (1966). Leibniz: Documentos lógicos. Oxford University Press.
• Zalta, E. N., 2000, "A (Leibnizian) Teoría de los conceptos", Philosophiegeschichte und logische Analyse / Análisis lógico e historia de la filosofía 3: 137-183.

• J. Michael Dunn; Gary M. Hardegree (2001). Métodos algebraicos en Lógica Filosófica. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853192-0. Buena introducción para los lectores con exposición previa a lógicas no clásicas pero sin mucho fondo en la teoría del orden y / o álgebra universal; el libro cubre estos requisitos de longitud. Este libro, sin embargo, ha sido criticado por la mala y a veces incorrecta presentación de los resultados de AAL. Comentario de Janusz Czelakowski
• Hajnal Andréka, István Németi e Ildikó Sain (2001). "Lógica algebraica". En Dov M. Gabbay, Franz Guenthner (ed.). Handbook of Philosophical Logic, vol 2 (2a edición). Springer. ISBN 978-0-7923-7126-7. Borrador.
• Ramon Jansana (2011), "Propositional Consequence Relations and Algebraic Logic". Enciclopedia de Filosofía Stanford. Principalmente sobre la lógica algebraica abstracta.
• Stanley Burris (2015), "El Álgebra de Tradición Lógica". Enciclopedia de Filosofía Stanford.
• Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" páginas 283 a 307 en Las formas de paradoja, Harvard University Press.

Perspectiva histórica

• Ivor Grattan-Guinness, 2000. La búsqueda de raíces matemáticas. Princeton University Press.
• Irving Anellis > N. Houser (1991) "Nineteenth Century Roots of Algebraic Logic and Universal Algebra", páginas 1–36 en Algebraic Logic, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai # 54, János Bolyai Mathematical Society & Elsevier ISBN 0444885439

• Lógica algebraica en PhilPapers