Logaritmo complejo

En matemáticas, un logaritmo complejo es una generalización del logaritmo natural a números complejos distintos de cero. El término se refiere a uno de los siguientes, que están estrechamente relacionados:

• Un logaritmo complejo de un número no cero complejo ${\displaystyle z}$, definido como cualquier número complejo ${\displaystyle w}$ para la cual ${\displaystyle e^{w}=z}$. Tal número ${\displaystyle w}$ es denotado por ${\displaystyle \log z}$. Si ${\displaystyle z}$ se da en forma polar como ${\displaystyle z=re^{i\theta }$, donde ${\displaystyle r}$ y ${\displaystyle \theta }$ son números reales con ${\displaystyle r]$Entonces ${\displaystyle \ln r+i\theta }$ es un logaritmo de ${\displaystyle z}$, y todos los logaritmos complejos ${\displaystyle z}$ son exactamente los números de la forma ${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$ para enteros ${\displaystyle k}$. Estos logaritmos están igualmente espaciados a lo largo de una línea vertical en el plano complejo.
• Una función de valor complejo ${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C}$, definido en algún subconjunto ${\displaystyle U}$ del conjunto ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$ de números no cero complejos, satisfactoria ${\displaystyle e^{\log z}=z}$ para todos ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$. Tales funciones complejas de logaritmo son análogas a la función real de logaritmo ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{}0}\to \mathbb {R}$, que es el inverso de la función exponencial real y por lo tanto satisfies e^{In x} = x para todos los números reales positivos x. Funciones de logaritmo complejas pueden ser construidas por fórmulas explícitas que implican funciones de valor real, mediante la integración de ${\displaystyle 1/z}$, o por el proceso de continuación analítica.

No hay una función de logaritmo complejo continuo definida en todo ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$. Las formas de lidiar con esto incluyen ramas, la superficie Riemann asociada, e inversas parciales de la compleja función exponencial. El valor principal define una función de logaritmo complejo particular ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C}$ que es continuo excepto a lo largo del eje real negativo; en el plano complejo con los números reales negativos y 0 eliminados, es la continuación analítica del logaritmo natural (real).

Para que una función tenga un inverso, debe mapear valores distintos a valores distintos; es decir, debe ser inyectable. Pero la compleja función exponencial no es inyectable, porque ${\displaystyle e^{w+2\pi ik=e^{w}$ para cualquier número complejo ${\displaystyle w}$ y entero ${\displaystyle k}$, desde la adición ${\displaystyle i\theta}$ a ${\displaystyle z}$ tiene el efecto de rotación ${\displaystyle e^{w}$ contra reloj ${\displaystyle \theta }$ radians. Así que los puntos

${\displaystyle \ldots\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots}$

igualmente espaciados a lo largo de una línea vertical, todos se asignan al mismo número mediante la función exponencial. Esto significa que la función exponencial no tiene una función inversa en el sentido estándar. Hay dos soluciones para este problema.

Una es restringir el dominio de la función exponencial a una región que no contenga dos números diferentes por un número entero de ${\displaystyle 2{\s\\fnMitit {\fnMitit {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\\\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft {\\\fnMicrosoft {\\\\\\\\\\fnMicrosoft}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinMinMin - Sí.$: esto conduce naturalmente a la definición de ramas ${\displaystyle \log z}$, que son ciertas funciones que distinguen un logaritmo de cada número en sus dominios. Esto es análogo a la definición de ${\displaystyle \arcsin x}$ on ${\displaystyle [-1,1]}$ como inverso de la restricción ${\displaystyle \sin \theta }$ al intervalo ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]$: hay infinitamente muchos números reales ${\displaystyle \theta }$ con ${\displaystyle \sin \theta =x}$, pero uno elige arbitrariamente el uno en ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]$.

Otra forma de resolver la indeterminación es considerar el logaritmo como una función cuyo dominio no es una región en el plano complejo, sino una superficie de Riemann que cubre el plano complejo perforado de manera infinita a 1.

Las ramas tienen la ventaja de que se pueden evaluar en números complejos. Por otra parte, la función en la superficie de Riemann es elegante porque reúne todas las ramas del logaritmo y no requiere una elección arbitraria como parte de su definición.

Para cada número complejo no cero ${\displaystyle z}$, el valor principal ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ es el logaritmo cuya parte imaginaria se encuentra en el intervalo ${\displaystyle (-\pi\pi}$. La expresión ${\displaystyle \operatorname Log.$ se deja sin definir ya que no hay número complejo ${\displaystyle w}$ satisfacción ${\displaystyle e^{w}=0}$.

Cuando la notación ${\displaystyle \log z}$ aparece sin que se haya especificado un logaritmo en particular, generalmente es mejor asumir que el valor principal está destinado. En particular, esto da un valor consistente con el valor real de ${\displaystyle \ln z}$ cuando ${\displaystyle z}$ es un número real positivo. La capitalización en la notación ${\displaystyle {\text{Log}}$ es utilizado por algunos autores para distinguir el valor principal de otros logaritmos de ${\displaystyle z.}$

La forma polar de un número complejo no cero ${\displaystyle z=x+yi}$ es ${\displaystyle z=re^{i\theta }$, donde ${\textstyle r= habitz habit={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ es el valor absoluto de ${\displaystyle z}$, y ${\displaystyle \theta }$ es su argumento. El valor absoluto es real y positivo. El argumento se define hasta la adición de un número entero de 2π. Su valor principal es el valor que pertenece al intervalo ${\displaystyle (-\pi\pi}$, que se expresa como ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$.

Esto nos lleva a la siguiente fórmula para el valor principal del logaritmo complejo:

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln Нивывывывых\i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

Por ejemplo, ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$, y ${\displaystyle \operatorname {Log}=\ln 3+\pi i}$.

Otra manera de describir ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ es como la inversa de una restricción de la función exponencial compleja, como en la sección anterior. La tira horizontal ${\displaystyle S.$ consistente en números complejos ${\displaystyle w=x+yi}$ tales que ${\displaystyle - 'pi' significa 'leq \pi }$ es un ejemplo de una región que no contiene dos números diferentes por un número entero de ${\displaystyle 2\pi i}$, por lo que la restricción de la función exponencial a ${\displaystyle S.$ tiene un inverso. De hecho, los mapas de funciones exponenciales ${\displaystyle S.$ bijetivo al plano complejo pinchado ${\displaystyle \mathbb {} {\fnMitbb} {C} \setminus \{0}$, y el inverso de esta restricción es ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C}\to S}$. La sección de mapeo conformado a continuación explica las propiedades geométricas de este mapa con más detalle.

En la región ${\displaystyle \mathbb - Mathbb {R} _{\leq .$ consiste en números complejos que no son números reales negativos o 0, la función ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ es la continuación analítica del logaritmo natural. Los valores de la línea real negativa se pueden obtener como límites de valores en números complejos cercanos con partes imaginarias positivas.

No todas las identidades satisfechas ${\displaystyle \ln }$ extender a números complejos. Es verdad que ${\displaystyle e^{\fnMimbre de operador {Log} z}=z}$ para todos ${\displaystyle z\not =0}$ (esto es lo que significa para ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ser un logaritmo ${\displaystyle z}$), pero la identidad ${\displaystyle \operatorname {Log} (e^{z}=z}$ fallas por ${\displaystyle z}$ fuera de la tira ${\displaystyle S.$. Por esta razón, no siempre se puede aplicar ${\displaystyle {\text{Log}}$ a ambos lados de una identidad ${\displaystyle e^{z}=e^{w}$ para deducir ${\displaystyle z=w}$. Además, la identidad ${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1}z_{2}=\operatorname {Log} z_{1}+\ {Log} z_{2}$ puede fallar: los dos lados pueden diferir por un número entero de ${\displaystyle 2\pi i}$; por ejemplo,

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi) {\fnMicroc} {\fnK}}$

pero

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}\right)={\frac {3\pic {3\pic} ## {2}\neq - ¿Qué? - Sí.$

La función ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ es discontinua en cada número real negativo, pero continua en todas partes ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$. Para explicar la discontinuidad, considere lo que sucede ${\displaystyle \arg z}$ como ${\displaystyle z}$ se acerca a un número real negativo ${\displaystyle a}$. Si ${\displaystyle z}$ enfoques ${\displaystyle a}$ de arriba, entonces ${\displaystyle \arg z}$ enfoques ${\displaystyle \pi}$ que es también el valor ${\displaystyle \arg a}$ en sí mismo. Pero si ${\displaystyle z}$ enfoques ${\displaystyle a}$ de abajo, entonces ${\displaystyle \arg z}$ enfoques ${\displaystyle - 'pi.'$ Así que... ${\displaystyle \arg z}$ "golpes" por ${\displaystyle 2\pi}$ como ${\displaystyle z}$ cruza el eje real negativo, y de forma similar ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ saltos por ${\displaystyle 2\pi i}$

¿Hay una manera diferente de elegir un logaritmo de cada número complejo no cero para hacer una función ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ que es continuo en todo ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$? La respuesta es no. Para ver por qué, imagine rastrear tal función de logaritmo a lo largo del círculo de la unidad, evaluando ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)}$ como ${\displaystyle \theta }$ aumentos ${\displaystyle 0}$ a ${\displaystyle 2\pi}$. Si ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ es continuo, entonces lo es ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)-i\theta }$, pero este último es una diferencia de dos logaritmos de ${\displaystyle e^{i\theta},}$ así que toma valores en el conjunto discreto ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z}$ Así que es constante. En particular, ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi i=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$, que contradice ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi =\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$.

Para obtener un logaritmo continuo definido en números complejos, es necesario restringir el dominio a un subconjunto menor ${\displaystyle U}$ del plano complejo. Debido a que uno de los objetivos es poder diferenciar la función, es razonable asumir que la función se define en un barrio de cada punto de su dominio; en otras palabras, ${\displaystyle U}$ Debería ser un juego abierto. Además, es razonable suponer que ${\displaystyle U}$ está conectado, ya que de lo contrario los valores de función en diferentes componentes ${\displaystyle U}$ podría no estar relacionado entre sí. Todo esto motiva la siguiente definición:

A rama de ${\displaystyle \log z}$ es una función continua ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ definido en un subconjunto abierto conectado ${\displaystyle U}$ del plano complejo tal que ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ es un logaritmo de ${\displaystyle z}$ para cada uno ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$.

Por ejemplo, el valor principal define una rama en el conjunto abierto donde es continuo, que es el conjunto ${\displaystyle \mathbb - Mathbb {R} _{\leq .$ obtenido mediante la eliminación de 0 y todos los números reales negativos del plano complejo.

Otro ejemplo: La serie Mercator

${\displaystyle \ln(1+u)=\sum _{n=1}{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{n}}u}=u-{n}=u-{\frac {\fnMicroc} {\fnMicroc} {u}{3} {3}\cdots }$

converge localmente uniforme para ${\displaystyle Новованывыванный ]$, así que ajuste ${\displaystyle z=1+u}$ define una rama de ${\displaystyle \log z}$ en el disco abierto del radio 1 centrado en 1. (En realidad, esto es sólo una restricción de ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$, como se puede demostrar diferenciando la diferencia y comparando valores a 1.)

Una vez que se fija una rama, se puede denotar ${\displaystyle \log z}$ si no hay confusión puede resultar. Diferentes ramas pueden dar diferentes valores para el logaritmo de un número complejo particular, sin embargo, por lo que una rama debe ser fijada de antemano (o de lo contrario la rama principal debe entenderse) para "${\displaystyle \log z}$"para tener un significado preciso e inequívoco.

El argumento anterior que implica el círculo de unidad generaliza para demostrar que ninguna rama de ${\displaystyle \log z}$ existe en un conjunto abierto ${\displaystyle U}$ que contiene una curva cerrada que serpentea alrededor de 0. Uno dice que "${\displaystyle \log z}$"tiene un punto de rama a 0". Para evitar contener curvas cerradas enrollando alrededor de 0, ${\displaystyle U}$ es elegido típicamente como el complemento de un rayo o curva en el plano complejo que va de 0 (inclusive) a la infinidad en alguna dirección. En este caso, la curva se conoce como corte de rama. Por ejemplo, la rama principal tiene una rama cortada a lo largo del eje real negativo.

Si la función ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ se extiende para ser definido en un punto de la rama cortada, que necesariamente será discontinua allí; en el mejor de los casos será continuo "en un lado", como ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ en un número real negativo.

Cada rama ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ de ${\displaystyle \log z}$ en un set abierto ${\displaystyle U}$ es la inversa de una restricción de la función exponencial, a saber, la restricción a la imagen ${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$. Puesto que la función exponencial es holomorfa (es decir, compleja diferenciable) con derivación no-vanishing, se aplica el complejo análogo del teorema de función inversa. Muestra que ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ es holomorfo en ${\displaystyle U}$, y ${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$ para cada uno ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$. Otra manera de probar esto es comprobar las ecuaciones Cauchy-Riemann en coordenadas polares.

La función ${\displaystyle \ln(x)}$ de verdad ${\displaystyle x confianza0}$ puede ser construido por la fórmula $${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}{x}{\frac {du}{u}}$$Si el alcance de la integración comenzó en un número positivo ${\displaystyle a}$ aparte de 1, la fórmula tendría que ser $${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}{x}{\frac {du}}}}$$en lugar de eso.

En el desarrollo de la analogía complejo logaritmo, hay una complicación adicional: la definición de la integral compleja requiere una elección de camino. Afortunadamente, si el integrado es holomorfo, entonces el valor de la integral no se cambia deformando el camino (a la vez que se fijan los puntos finales), y en una región simplemente conectada ${\displaystyle U}$ (una región con "sin agujeros"), cualquiera del camino ${\displaystyle a}$ a ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$ se puede deformar continuamente dentro ${\displaystyle U}$ en cualquier otro. Todo esto conduce a lo siguiente:

Si ${\displaystyle U}$ es un subconjunto abierto simplemente conectado ${\displaystyle \mathbb}$ no contiene 0, entonces una rama de ${\displaystyle \log z}$ definidas ${\displaystyle U}$ se puede construir eligiendo un punto de partida ${\displaystyle a}$ dentro ${\displaystyle U}$, elegir un logaritmo ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle a}$, y definición $${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}{z}{\frac {dw} {w}}}$$ para cada uno ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$.

Cualquier mapa holomorfo ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C}$ satisfacción ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ para todos ${\displaystyle z\in U}$ es un mapa conformado, lo que significa que si dos curvas pasan por un punto ${\displaystyle a}$ de ${\displaystyle U}$ forma un ángulo ${\displaystyle \alpha }$ (en el sentido de que las líneas tangentes a las curvas a ${\displaystyle a}$ forma un ángulo ${\displaystyle \alpha }$), entonces las imágenes de las dos curvas forman las igual ángulo ${\displaystyle \alpha }$ a ${\displaystyle f(a)}$. Desde una rama ${\displaystyle \log z}$ es holomorfo, y desde su derivación ${\displaystyle 1/z}$ es nunca 0, define un mapa conformado.

Por ejemplo, la rama principal ${\displaystyle w=\ {Log} z}$, visto como una asignación ${\displaystyle \mathbb - Mathbb {R} _{\leq .$ a la tira horizontal definida por ${\displaystyle \left durable\operatorname {\fnMicrosoft Sans Serif}$, tiene las siguientes propiedades, que son consecuencias directas de la fórmula en términos de forma polar:

• Círculos en los z-plano centrado en 0 son mapeados a segmentos verticales en los w- conexión de avión ${\displaystyle a-\pi i}$ a ${\displaystyle a+\pi i}$, donde ${\displaystyle a}$ es el verdadero tronco del radio del círculo.
• Rayos que emanan de 0 en el z-plano se mapean a líneas horizontales en el w- Avión.

Cada círculo y rayo en el plano z, como se muestra arriba, se encuentran en un ángulo recto. Sus imágenes bajo Log son un segmento vertical y una línea horizontal (respectivamente) en el plano w, y estos también se encuentran en un ángulo recto. Esto es una ilustración de la propiedad conforme de Log.

Las diversas ramas de ${\displaystyle \log z}$ no se puede pegar para dar una sola función continua ${\displaystyle \log \colon \mathbb {C}\to \mathbb {C}$ porque dos ramas pueden dar diferentes valores en un punto en el que ambos se definen. Compare, por ejemplo, la rama principal ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ on ${\displaystyle \mathbb - Mathbb {R} _{\leq .$ con parte imaginaria ${\displaystyle \theta }$ dentro ${\displaystyle (-\pi\pi\pi)}$ y la rama ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ on ${\displaystyle \mathbb - Mathbb {R} _{\geq .$ cuya parte imaginaria ${\displaystyle \theta }$ mentiras ${\displaystyle (0,2\pi)}$. Están de acuerdo en el medio plano superior, pero no en el medio plano inferior. Así que tiene sentido pegar los dominios de estas ramas sólo a lo largo de las copias del medio plano superior. El dominio pegado resultante está conectado, pero tiene dos copias del medio plano inferior. Estas dos copias se pueden visualizar como dos niveles de un garaje de estacionamiento, y una puede obtener de la ${\displaystyle {\text{Log}}$ nivel del medio plano inferior hasta el ${\displaystyle {\text{L}}}$ nivel del medio plano inferior yendo ${\displaystyle 2\pi}$ radios en sentido contrario alrededor 0, primero cruzando el eje real positivo (del ${\displaystyle {\text{Log}}$ nivel) en la copia compartida del medio plano superior y luego cruzar el eje real negativo (del ${\displaystyle {\text{L}}}$ nivel) en el ${\displaystyle {\text{L}}}$ nivel del medio plano inferior.

Uno puede continuar pegando ramas con parte imaginaria ${\displaystyle \theta }$ dentro ${\displaystyle (\pi3\pi)}$, dentro ${\displaystyle (2\pi4\pi4\pi)}$, y así sucesivamente, y en la otra dirección, ramas con parte imaginaria ${\displaystyle \theta }$ dentro ${\displaystyle (-2\pi0)}$, dentro ${\displaystyle (-3\pi-\pi)}$Y así. El resultado final es una superficie conectada que se puede ver como un garaje de estacionamiento en espiral con infinitamente muchos niveles que se extienden tanto hacia arriba como hacia abajo. Esta es la superficie Riemann ${\displaystyle R.$ asociados ${\displaystyle \log z}$.

Un punto ${\displaystyle R.$ puede ser pensado como un par ${\displaystyle (z,\theta)}$ Donde ${\displaystyle \theta }$ es un posible valor del argumento ${\displaystyle z}$. De esta manera, R puede ser incrustado en ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}$.

Debido a que los dominios de las ramas se pegaron sólo a lo largo de conjuntos abiertos donde sus valores acordaron, las ramas pegan para dar una sola función bien definida ${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C}$. mapea cada punto ${\displaystyle (z,\theta)}$ on ${\displaystyle R.$ a ${\displaystyle \ln Новывывывые }$. Este proceso de ampliación de la rama original ${\displaystyle {\text{Log}}$ al pegar funciones holomorfos compatibles se conoce como continuación analítica.

Hay un "mapa de proyección" de ${\displaystyle R.$ abajo ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$ que "flattens" la espiral, enviando ${\displaystyle (z,\theta)}$ a ${\displaystyle z}$. Para cualquier ${\displaystyle z\in \mathbb {C}$, si uno toma todos los puntos ${\displaystyle (z,\theta)}$ de ${\displaystyle R.$ mentir "directamente arriba" ${\displaystyle z}$ y evaluaciones ${\displaystyle \log _{R}}$ en todos estos puntos, uno consigue todos los logaritmos de ${\displaystyle z}$.

En lugar de pegar sólo las ramas elegidas arriba, se puede comenzar con Todos ramas de ${\displaystyle \log z}$, y pegamento simultáneamente cada uno par de ramas ${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C}$ y ${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C}$ en el subconjunto abierto más grande ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}$ sobre la cual ${\displaystyle L_{1}$ y ${\displaystyle L_{2}$ De acuerdo. Esto produce la misma superficie Riemann ${\displaystyle R.$ y función ${\displaystyle \log _{R}}$ como antes. Este enfoque, aunque ligeramente más difícil de visualizar, es más natural ya que no requiere seleccionar ninguna rama en particular.

Si ${\displaystyle U'}$ es un subconjunto abierto de ${\displaystyle R.$ proyectando bijetivamente a su imagen ${\displaystyle U}$ dentro ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$, entonces la restricción ${\displaystyle \log _{R}}$ a ${\displaystyle U'}$ corresponde a una rama de ${\displaystyle \log z}$ definidas ${\displaystyle U}$. Cada rama de ${\displaystyle \log z}$ surge de esta manera.

El mapa de la proyección ${\displaystyle R\to \mathbb {C}$ se da cuenta ${\displaystyle R.$ como espacio de cobertura ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$. De hecho, es un Galois cubriendo con grupo de transformación de la cubierta isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {Z}$, generado por el envío de homeomorfismo ${\displaystyle (z,\theta)}$ a ${\displaystyle (z,\theta +2\pi)}$.

Como un manifold complejo, ${\displaystyle R.$ es biholomorfo con ${\displaystyle \mathbb}$ via ${\displaystyle \log _{R}}$. (El mapa inverso envía ${\displaystyle z}$ a ${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$) Esto demuestra que ${\displaystyle R.$ es simplemente conectado, así que ${\displaystyle R.$ es la cubierta universal ${\displaystyle \mathbb {} {} {}}}}$.

• El logaritmo complejo es necesario para definir la exponenciación en la que la base es un número complejo. Es decir, si ${\displaystyle a}$ y ${\displaystyle b}$ son números complejos con ${\displaystyle a\not =0}$, se puede utilizar el valor principal para definir ${\displaystyle a^{b}=e^{b\operatorname {Log} a}$. Uno también puede reemplazar ${\displaystyle \operatorname {Log} a}$ por otros logaritmos de ${\displaystyle a}$ para obtener otros valores ${\displaystyle a^{b}$, diferente por factores de la forma ${\displaystyle e^{2\pi inb}$. La expresión ${\displaystyle a^{b}$ tiene un valor único si y sólo si ${\displaystyle b}$ es un entero.
• Porque las funciones trigonométricas se pueden expresar como funciones racionales ${\displaystyle e^{iz}$, las funciones trigonométricas inversas se pueden expresar en términos de logaritmos complejos.
• En la ingeniería eléctrica, la constante de propagación implica un logaritmo complejo.

Como en números reales, uno puede definir para números complejos ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}}}$

con la única caveat que su valor depende de la elección de una rama de tronco definida en ${\displaystyle b}$ y ${\displaystyle x}$ (con ${\displaystyle \log b\not =0}$). Por ejemplo, el uso del valor principal da

${\displaystyle \log ¿Qué? {Log} i}={\frac} {1}{\pi} i/2}=-{\frac {2i}{\pi} }}$

Si f es una función holomorfa en un subconjunto abierto conectado ${\displaystyle U}$ de ${\displaystyle \mathbb}$, entonces una rama ${\displaystyle \log f}$ on ${\displaystyle U}$ es una función continua ${\displaystyle g}$ on ${\displaystyle U}$ tales que ${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$ para todos ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$. Tal función ${\displaystyle g}$ es necesariamente holomorfa con ${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$ para todos ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$.

Si ${\displaystyle U}$ es un subconjunto abierto simplemente conectado ${\displaystyle \mathbb}$, y ${\displaystyle f}$ es una función holomorfa en la nada ${\displaystyle U}$, entonces una rama ${\displaystyle \log f}$ definidas ${\displaystyle U}$ se puede construir eligiendo un punto de partida a dentro ${\displaystyle U}$, elegir un logaritmo ${\displaystyle b}$ de ${\displaystyle f(a)}$, y definición

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

para cada uno ${\displaystyle z}$ dentro ${\displaystyle U}$.

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