Lo que la tortuga le dijo a Aquiles

" Lo que la tortuga dijo a Aquiles ", escrito por Lewis Carroll en 1895 para la revista filosófica Mind , es un breve diálogo alegórico en Los cimientos de la lógica. El título alude a una de las paradojas de movimiento de Zeno, en las que Aquiles nunca podría superar a la tortuga en una carrera. En el diálogo de Carroll, la tortuga desafía a Aquiles a usar la fuerza de la lógica para que acepte la conclusión de un argumento deductivo simple. En última instancia, Aquiles falla, porque la tortuga inteligente lo lleva a una regresión infinita.

Resumen del diálogo

La discusión comienza considerando el siguiente argumento lógico:

• A: "Las cosas que son iguales a las mismas son iguales entre sí" (una relación euroclidiana)
• B: "Los dos lados de este triángulo son cosas iguales a las mismas"
• Por lo tanto, Z: "Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí"

La Tortuga le pregunta a Aquiles si la conclusión se sigue lógicamente de las premisas, y Aquiles responde que obviamente sí. Luego, la tortuga le pregunta a Aquiles si podría haber un lector de Euclides que conceda que el argumento es lógicamente válido, como una secuencia, mientras niega que A y B son verdaderas. Aquiles acepta que tal lector podría existir (es decir, un lector que niega las premisas), y que él sostendría que si A y B son verdaderos, entonces Z debe ser verdadero, sin aceptar todavía que A y B son verdaderos.

La Tortuga luego le pregunta a Aquiles si podría existir un segundo tipo de lector, que acepta que A y B son ciertas, pero que no > pero acepte el principio de que si A y B son verdaderos, entonces Z debe ser cierto. Aquiles le concede a la Tortuga que este segundo tipo de lector también podría existir. La Tortuga, entonces, le pide a Aquiles que trate a la Tortuga como un lector de este segundo tipo. Aquiles ahora debe obligar lógicamente a la Tortuga a aceptar que Z debe ser cierto. (La tortuga es un lector que niega la forma del argumento en sí mismo; la conclusión, estructura o validez del silogismo).

Después de escribir A, B y Z en su cuaderno, Aquiles le pide a la Tortuga que acepte la hipótesis:

• CSi A y B son verdad, Z debe ser verdad"

La tortuga acepta aceptar c , si Aquiles escribe lo que tiene que aceptar en su cuaderno, haciendo el nuevo argumento:

• A: "Las cosas que son iguales a las mismas son iguales entre sí"
• B: "Los dos lados de este triángulo son cosas iguales a las mismas"
• CSi A y B son verdad, Z debe ser verdad"
• Por lo tanto, Z: "Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí"

Pero ahora que la tortuga acepta la premisa c , todavía se niega a aceptar el argumento ampliado. Cuando Aquiles exige eso " si acepta a y b y c , debe aceptar z , " La tortuga comenta que eso ' s otra proposición hipotética, y sugiere incluso si acepta c , aún podría dejar de concluir z si No vio la verdad de:

• DSi A y B y C son verdad, Z debe ser verdad"

La tortuga continúa aceptando cada premisa hipotética una vez que Aquiles lo escribe, pero niega que la conclusión se siga necesariamente, ya que cada vez niega la hipotética que si todas las premisas escritas hasta ahora son verdaderas, z

"¡Y por fin tenemos que terminar este curso de carreras ideal! Ahora que aceptas A y B y C y D, Por supuesto. Usted acepta Z."

"¿Sí?" dijo el Tortoise inocentemente. "Dejemos eso claro. Acepto A y B y C y D. Supongamos que todavía se negó a aceptar Z¿?"

"Entonces Logic te llevaría por la garganta, y fuerza ¡para hacerlo!" Aquiles contestó triunfalmente. "Logic te diría que no puedes evitarlo. Ahora que has aceptado A y B y C y DDebes aceptar Z! Así que no tienes elección, ya ves."

"Todo lo que Logic es lo suficientemente bueno para decirme vale la pena escribiendo", dijo el Tortoise. "Así que entre en su cuaderno, por favor. Lo llamaremos

()E) Si A y B y C y D son verdad, Z Debe ser verdad.

Hasta que lo haya concedido, por supuesto que no necesito conceder Z. Así que es un paso bastante necesario, ¿ves?"

"Ya veo," dijo Aquiles; y había un toque de tristeza en su tono.

Por lo tanto, la lista de premisas continúa creciendo sin fin, dejando el argumento siempre en la forma:

• 1): "Las cosas que son iguales a las mismas son iguales entre sí"
• 2): "Los dos lados de este triángulo son cosas iguales a las mismas"
• 3): 1) y 2) ⇒ (Z)
• (4): (1) and (2) and (3) ⇒ (Z)
• ...
• ()n): (1), (2), (3) y (4) y...n ⇒Z)
• Por lo tanto,Z): "Los dos lados de este triángulo son iguales entre sí"

En cada paso, la Tortuga argumenta que aunque acepta todas las premisas que se han escrito, hay una premisa adicional (que si todo (1)–(n) es verdadero, entonces (Z) debe ser verdadero) que aún debe aceptar antes de verse obligado a aceptar que (Z) es verdadero.

Explicación

Lewis Carroll estaba mostrando que existe un problema regresivo que surge de las deducciones modus ponens.

${displaystyle {frac {fnMicroc}to P: Q}$

o, en palabras: proposición p (es verdadera) implica q (es verdadero), y dado p , por lo tanto Q .

El problema de la regresión surge porque se requiere un principio anterior para explicar los principios lógicos, aquí modus ponens , y una vez ese principio se explica, otro Se requiere principio para explicar que Principio. Por lo tanto, si la cadena causal continúa, el argumento cae en una regresión infinita. Sin embargo, si se introduce un sistema formal por el cual modus ponens es simplemente una regla de inferencia definida dentro del sistema, entonces se puede cumplir simplemente por razonamiento dentro del sistema. Eso no quiere decir que el razonamiento del usuario de acuerdo con este sistema formal esté de acuerdo con estas reglas (considere, por ejemplo, el rechazo de la ley de la ley de la ley de la ley de la ley de la ley no contradicción). De esta manera, formalizar la lógica como sistema puede considerarse como una respuesta al problema de la regresión infinita: modus pons se coloca como una regla dentro del sistema, la validez de modus ponens se evita sin el sistema.

En la lógica proposicional, la implicación lógica se define de la siguiente manera:

P implica Q si y solo si la proposición no p o q es una tautología.

Por lo tanto, modus ponens , [p ∧ (p → q)] ⇒ q, es una conclusión lógica válida de acuerdo con la definición de implicación lógica que acaba de establecer. Demostrar la implicación lógica simplemente se traduce en verificar que la tabla de verdad compuesta produce una tautología. Pero la tortuga no acepta sobre la fe las reglas de la lógica proposicional en las que se basa esta explicación. Él también pide que estas reglas estén sujetas a pruebas lógicas. La tortuga y Aquiles no están de acuerdo con ninguna definición de implicación lógica.

Además, la historia sugiere problemas con la solución proposicional. Dentro del sistema de lógica proposicional, ninguna proposición o variable lleva ningún contenido semántico. En el momento en que cualquier propuesta o variable adquiere contenido semántico, el problema surge nuevamente porque el contenido semántico se encuentra fuera del sistema. Por lo tanto, si se dice que la solución funciona, entonces se dice que funciona únicamente dentro del sistema formal dado, y no de otra manera.

Algunos lógicos (Kenneth Ross, Charles Wright) dibujan una distinción firme entre el conectivo condicional y la relación implicación. Estos lógicos usan la frase no P o Q para el conectivo condicional y el término implica para una relación de implicación afirmada.

discusión

Varios filósofos han tratado de resolver la paradoja de Carroll. Bertrand Russell discutió brevemente la paradoja en § 38 de los Principios de Matemáticas (1903), distinguiendo entre implicación (asociado con la forma " If p , entonces Q "), que él consideró una relación entre sin ascenso proposiciones e inferencia (asociada con la forma " p , por lo tanto q "), que él consideró una relación entre afirmado proposiciones; Habiendo hecho esta distinción, Russell podría negar que el intento de tortoise de tratar inferir z de a y b como equivalente o dependiente de, de acuerdo con los hipotéticos " if a y b son verdaderos, entonces Z es verdad. "

Peter Winch, un filósofo de Wittgensteinian, discutió la paradoja en la idea de una ciencia social y su relación con la filosofía (1958), donde argumentó que la paradoja mostró que "la referencia es la real El proceso de dibujar una inferencia, que, después de todo, está en el corazón de la lógica, es algo que no puede representarse como una fórmula lógica... aprender a inferir no es solo una cuestión de ser enseñado sobre relaciones lógicas explícitas entre proposiciones; está aprendiendo hacer algo " (p. 57). El cabrestante continúa sugiriendo que la moraleja del diálogo es un caso particular de una lección general, en el sentido de que la aplicación adecuada de las reglas que rigen una forma de actividad humana no se puede resumir con un conjunto de más de reglas, y de modo que " una forma de actividad humana nunca se puede resumir en un conjunto de preceptos explícitos " (p. 53).