Lituus (matemáticas)

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La espiral lituus () es una espiral en la que el ángulo $θ$ es inversamente proporcional al cuadrado del radio $r$ .

Esta espiral, que tiene dos ramas según el signo de

r

, es asintótica respecto al eje

x

. Sus puntos de inflexión se encuentran en

(\thetar)=\left({\tfrac {1}{2}},\pm {\sqrt {2k}\right).

La curva recibió el nombre del antiguo lituus romano por Roger Cotes en una colección de artículos titulada Harmonia Mensurarum (1722), que se publicó seis años después de su muerte.

Representaciones coordinadas

Coordenadas polares

La representación de la espiral litua en coordenadas polares

(r, θ)

se da mediante la ecuación.

r={\frac {a}{\sqrt {\theta}}}

donde $θ \geq 0$ y $k \neq 0$ .

Coordenadas cartesianas

La espiral lituus con las coordenadas polares $r = ⁠ a / \sqrt θ ⁠$ se puede convertir a coordenadas cartesianas como cualquier otra espiral con las relaciones $x = r cos θ$ y $y = r sen θ$ . Con esta conversión, obtenemos las representaciones paramétricas de la curva:

{\fnMicrosoft Sans Serif}\cos \theta\\theta\\theta\\\\theta\\\\\\\\\fnMicroc {\\sqrt {\theta}\sin \theta.\\\end{aligned}}}}}}}} {\fnMicroc {\fnMicroc}}}}\fnMien

Estas ecuaciones pueden, a su vez, reorganizarse en una ecuación en $x$ e $y$ :

{\frac {y}=\tan \left({\frac {a^{2}}{x^{2}+y^{2}}}}\right).

Derivación de la ecuación en coordenadas cartesianas

Divide $y$ por $x$ : ${\frac {y}{x}={\frac} {\fnMicroc {\fn}\sin \theta {\fnMicroc {\fn}\cos \theta } Rightarrow {\frac {y}=\tan \theta.$
Resolver la ecuación de la espiral de lituo en coordenadas polares: $r={\frac {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fnMicrosoft} {\fn}} {\fnMicrosoft}} {\fnMicrosoft}}} {\f}\f}} {\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\fn\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\f}\fn\fn\f}\fn\f}\f}\f}\f}\fn\f}\f}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\f}\fn\f}\f}\f}}\f}\fn\ Leftrightarrow \theta ={\frac {a^{2} {r^{2}}}$
Substituto $\theta ={\frac {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ : ${\frac {y}=\tan \left({\frac {a^{2}} {r^{2}}}}\right).$
Substituto $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}$ : ${\frac {y}{x}=\tan \left({\frac {a^{2}{\left {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\derecha)}\derecha)\derecha)\ Rightarrow {\frac {\frac}=\tan \left({\frac {2}{x^{2}+y^{2}}}\right).$

Propiedades geométricas

Curvature

La curvatura de la espiral lituus se puede determinar mediante la fórmula.

\kappa =\left(8\theta ^{2}-2\right)\left({\frac {\theta }{1+4\theta ^{2}}\right)^{\frac {3}{2}

Longitud del arco

En general, la longitud del arco de la espiral lituus no puede expresarse como una expresión de forma cerrada, pero sí puede representarse como una fórmula utilizando la función hipergeométrica gaussiana:

{\displaystyle L=2{\sqrt {\theta }\cdot \ operadorname {_{2}F_{1}}\left(-{\frac {1}{2},-{\frac {1}{4}}}};{\frac {3}{4}}};-{\frac {1}{4\theta }}\right)-2{\sqrt {\thetatat] ### {0}\cdot \operatorname {_{2}F_{1}}\left(-{\frac {1}{2},-{\frac {1}{4}}}};{\frac {3}{4}}};-{\frac {1}{4\thetatat} - ¿Sí?

donde la longitud del arco se mide desde $θ = θ 0$ .

Ángulo Tangential

El ángulo tangencial de la espiral litua se puede determinar mediante la fórmula.

\phi =\theta -\arctan 2\theta.

Referencias

^ a b c Weisstein, Eric W. "Lituus". MathWorld. Retrieved 2023-02-04.

Enlaces externos

"Lituus", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994].
Weisstein, Eric W. "Lituus". MathWorld.
Ejemplo interactivo usando JSXGraph.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Lituus", MacTutor Historia del Archivo Matemático, Universidad de St Andrews.
https://hsm.stackexchange.com/a/3181 en la historia de la curva de lituo.

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