Lista de transformadas relacionadas con Fourier

Esta es una lista de transformaciones lineales de funciones relacionadas con el análisis de Fourier. Tales transformaciones asignan una función a un conjunto de coeficientes de funciones de base, donde las funciones de base son sinusoidales y, por lo tanto, están fuertemente localizadas en el espectro de frecuencia. (Estas transformadas generalmente están diseñadas para ser invertibles). En el caso de la transformada de Fourier, cada función base corresponde a un solo componente de frecuencia.

Transformadas continuas

Aplicadas a funciones de argumentos continuos, las transformaciones relacionadas con Fourier incluyen:

• Laplace de dos caras transforma
• Mellin transform, otro transformado integral estrechamente relacionado
• Laplace transform
• Transformación de Fourier, con casos especiales:
  • Serie Fourier
    • Cuando la función de entrada/forma de onda es periódica, la salida de transformación Fourier es una función de comb Dirac, modulada por una secuencia discreta de coeficientes de valor finito que son de valor complejo en general. Estos se llaman Coeficientes de serie Fourier. El término Serie Fourier en realidad se refiere a la inversa transformación Fourier, que es una suma de sinusoides en frecuencias discretas, ponderada por los coeficientes de la serie Fourier.
    • Cuando la parte no cero de la función de entrada tiene una duración finita, la transformación Fourier es continua y finita. Pero un subconjunto discreto de sus valores es suficiente para reconstruir/representar la porción que se analizó. El mismo conjunto discreto se obtiene al tratar la duración del segmento como un período de una función periódica y computar los coeficientes de la serie Fourier.
  • Sine y cosine transforma: Cuando la función de entrada tiene una simetría extraña o incluso alrededor del origen, la transformación Fourier reduce a una transformación sine o cosina.
• Hartley transform
• Transformación de Fourier a corto plazo (o transformación de Fourier a corto plazo) (STFT)
  • Máscara rectangular de corto tiempo Fourier transforma
• Chirplet transform
• Transformación Fraccional Fourier (FRFT)
• Hankel transformado: relacionado con la transformación Fourier de funciones radiales.
• Transformador de Fourier-Bros-Iagolnitzer
• Transformación canónica lineal

Transformadas discretas

Para el uso en computadoras, teoría de números y álgebra, los argumentos discretos (por ejemplo, funciones de una serie de muestras discretas) suelen ser más apropiados y se manejan mediante transformadas (análogas a los casos continuos anteriores):

• Transformación de Fourier de tiempo discreto (DTFT): Equivalente a la transformación Fourier de una función "continua" que se construye a partir de la función discreta de entrada utilizando los valores de muestra para modular un peine Dirac. Cuando los valores de la muestra se derivan por muestrear una función en la línea real, Ã(x), el DTFT es equivalente a un resumen periódico de la transformación Fourier .. La salida DTFT es siempre periódica (cíclica). Un punto de vista alternativo es que el DTFT es una transformación a un dominio de frecuencia que está atado (o finito), la longitud de un ciclo.
  • discreta Fourier transform (DFT):
    • Cuando la secuencia de entrada es periódica, la salida DTFT también es una función de peine Dirac, modulada por los coeficientes de una serie Fourier que puede ser calculada como un DFT de un ciclo de la secuencia de entrada. El número de valores discretos en un ciclo del DFT es el mismo que en un ciclo de la secuencia de entrada.
    • Cuando la porción no cero de la secuencia de entrada tiene duración finita, el DTFT es continuo y valorado finito. Pero un subconjunto discreto de sus valores es suficiente para reconstruir/representar la porción que se analizó. El mismo conjunto discreto se obtiene al tratar la duración del segmento como un ciclo de una función periódica y computar el DFT.
  • Discreta sine y transformaciones cosinas: Cuando la secuencia de entrada tiene una simetría extraña o incluso alrededor del origen, el DTFT se reduce a una transformación discreta de seno (DST) o una transformación cosina discreta (DCT).
    • Regresivo discreto Serie Fourier, en la que el período está determinado por los datos en lugar de fijarse por adelantado.
  • Discreta Chebyshev transforma (en la rejilla 'roots' y la rejilla 'extrema' de los polinomios Chebyshev del primer tipo). Esta transformación es de mucha importancia en el campo de los métodos espectrales para resolver ecuaciones diferenciales porque se puede utilizar para ir rápidamente y eficientemente de los valores de punto de rejilla a los coeficientes de la serie Chebyshev.
• DFT generalizado (GDFT), una generalización del DFT y módulo constante se transforma en donde las funciones de fase pueden ser lineales con pendientes enteros y de valor real, o incluso fase no lineal que trae flexibilidades para diseños óptimos de diversas métricas, por ejemplo auto- y cruza-correlación.
• Transformación de Fourier de espacio discreto (DSFT) es la generalización de la DTFT de señales 1D a señales 2D. Se llama "descrete-space" en lugar de "discreto-time" porque la aplicación más frecuente es el procesamiento de imágenes y imágenes donde los argumentos de la función de entrada son muestras igualmente espaciadas de coordenadas espaciales ()x,Sí.){displaystyle (x,y)}. La salida DSFT es periódica en ambas variables.
• Z-transform, una generalización del DTFT a todo el plano complejo
• Transformación de cosina discreta modificada (MDCT)
• Discreta Hartley transform (DHT)
• También el STFT discretizado (ver arriba).
• Transformación Hadamard (función Walsh).
• Fourier se transforma en grupos finitos.
• Discreta Fourier transform (general).

El uso de todas estas transformadas se ve facilitado en gran medida por la existencia de algoritmos eficientes basados en una transformada rápida de Fourier (FFT). El teorema de muestreo de Nyquist-Shannon es fundamental para comprender el resultado de tales transformadas discretas.