Lista de reglas de inferencia

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Esta es una lista de reglas de inferencia, leyes lógicas que se relacionan con fórmulas matemáticas.

Introducción

Las

reglas de inferencia son reglas de transformación sintácticas que se pueden utilizar para inferir una conclusión a partir de una premisa para crear un argumento. Se puede utilizar un conjunto de reglas para inferir cualquier conclusión válida si está completa, pero nunca se puede inferir una conclusión inválida si es sólida. Un conjunto de reglas sólido y completo no necesita incluir todas las reglas de la siguiente lista, ya que muchas de las reglas son redundantes y pueden probarse con las otras reglas.

Las

reglas de descarga permiten inferir a partir de una subderivación basada en un supuesto temporal. A continuación, la notación

φ φ ⊢ ⊢ ↑ ↑ {displaystyle varphi vdash psi }

indica tal subderivación de la hipótesis temporal φ φ {displaystyle varphi } a ↑ ↑ {displaystyle psi }.

Reglas para el cálculo proposicional

Reglas para las negaciones

Reductio ad absurdum (or Negación Introducción)
φ φ ⊢ ⊢ ↑ ↑ {displaystyle varphi vdash psi }
φ φ ⊢ ⊢ ¬ ¬ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi vdash lnot psi }
¬ ¬ φ φ {displaystyle lnot varphi }
Reductio ad absurdum (relacionado con la ley del medio excluido)
¬ ¬ φ φ ⊢ ⊢ ↑ ↑ {displaystyle lnot varphi vdash psi }
¬ ¬ φ φ ⊢ ⊢ ¬ ¬ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot varphi vdash lnot psi }
φ φ {displaystyle varphi }
Ex inconsistente quodlibet
φ φ {displaystyle varphi }
¬ ¬ φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot varphi }
↑ ↑ {displaystyle psi }

Reglas para condicionales

Teorema de deducción (o Introducción condicional)
φ φ ⊢ ⊢ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi vdash psi }
φ φ → → ↑ ↑ {displaystyle varphi rightarrow psi }
Modus ponens (o Eliminación condicional)
φ φ → → ↑ ↑ {displaystyle varphi rightarrow psi }
φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi quad quadquad}}}}
↑ ↑ {displaystyle psi }
Modus tollens
φ φ → → ↑ ↑ {displaystyle varphi rightarrow psi }
¬ ¬ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot psi quad quadquad}}}
¬ ¬ φ φ {displaystyle lnot varphi }

Reglas para las conjunciones

Adjunción (o Introducción)
φ φ {displaystyle varphi }
↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {psi quadquadquad}}}}
φ φ ∧ ∧ ↑ ↑ {displaystyle varphi land psi }
Simplificación (o Conjunción Eliminación)
φ φ ∧ ∧ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi land psi }
φ φ {displaystyle varphi }
φ φ ∧ ∧ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi land psi }
↑ ↑ {displaystyle psi }

Reglas para disyunciones

Adición (o Disjunción Introducción)
φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi quad quad }}}}
φ φ Alternativa Alternativa ↑ ↑ {displaystyle varphi lor psi }
↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {psi quadquadquad}}}}
φ φ Alternativa Alternativa ↑ ↑ {displaystyle varphi lor psi }
Análisis de casos (o Prueba de casos o Argument by Cases o Eliminación de la disyunción)
φ φ → → χ χ {displaystyle varphi rightarrow chi }
↑ ↑ → → χ χ {displaystyle psi rightarrow chi }
φ φ Alternativa Alternativa ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi lor psi }
χ χ {displaystyle chi }
Syllogismo disjuntivo
φ φ Alternativa Alternativa ↑ ↑ {displaystyle varphi lor psi }
¬ ¬ φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot varphi quadquad}}}}
↑ ↑ {displaystyle psi }
φ φ Alternativa Alternativa ↑ ↑ {displaystyle varphi lor psi }
¬ ¬ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot psi quadquad}}}
φ φ {displaystyle varphi }
dilema constructivo
φ φ → → χ χ {displaystyle varphi rightarrow chi }
↑ ↑ → → .. {displaystyle psi rightarrow xi }
φ φ Alternativa Alternativa ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi lor psi }
χ χ Alternativa Alternativa .. {displaystyle chi lor xi }

Reglas para bicondicionales

Introducción bicondicional
φ φ → → ↑ ↑ {displaystyle varphi rightarrow psi }
↑ ↑ → → φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {underline {psi rightarrow varphi }
φ φ Administración Administración ↑ ↑ {displaystyle varphi leftrightarrow psi }
Eliminación bicondicional
φ φ Administración Administración ↑ ↑ {displaystyle varphi leftrightarrow psi }
φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi quadquad}}}
↑ ↑ {displaystyle psi }
φ φ Administración Administración ↑ ↑ {displaystyle varphi leftrightarrow psi }
↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {psiquadquad}}}}
φ φ {displaystyle varphi }
φ φ Administración Administración ↑ ↑ {displaystyle varphi leftrightarrow psi }
¬ ¬ φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot varphi quadquad}}}}
¬ ¬ ↑ ↑ {displaystyle lnot psi }
φ φ Administración Administración ↑ ↑ {displaystyle varphi leftrightarrow psi }
¬ ¬ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot psi quadquad}}}
¬ ¬ φ φ {displaystyle lnot varphi }
φ φ Administración Administración ↑ ↑ {displaystyle varphi leftrightarrow psi }
↑ ↑ Alternativa Alternativa φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {psi lor varphi }
↑ ↑ ∧ ∧ φ φ {displaystyle psi land varphi }
φ φ Administración Administración ↑ ↑ {displaystyle varphi leftrightarrow psi }
¬ ¬ ↑ ↑ Alternativa Alternativa ¬ ¬ φ φ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {lnot psi lor lnot varphi }
¬ ¬ ↑ ↑ ∧ ∧ ¬ ¬ φ φ {displaystyle lnot psi land lnot varphi }

Reglas del cálculo de predicados clásico

En las reglas siguientes, φ φ ()β β /α α ){displaystyle varphi (beta /alpha)} es exactamente como φ φ {displaystyle varphi } excepto por tener el término β β {displaystyle beta } donde sea φ φ {displaystyle varphi } tiene la variable libre α α {displaystyle alpha }.

Generalización universal (o introducción universal)
φ φ ()β β /α α )¿Qué? ¿Qué? {fnMicrosoft Sans Serif}}}
О О α α φ φ {displaystyle forall alpha ,varphi }

Restricción 1: β β {displaystyle beta } es una variable que no ocurre en φ φ {displaystyle varphi }.
Restricción 2: β β {displaystyle beta } no se menciona en ninguna hipótesis o hipótesis no recargadas.

Instantiación universal (o eliminación universal)
О О α α φ φ {displaystyle forall alpha ,varphi }
φ φ ()β β /α α )̄ ̄ {fnMicrosoft Sans Serif}}}

Restricción: Ninguna ocurrencia libre α α {displaystyle alpha } dentro φ φ {displaystyle varphi } cae dentro del alcance de un cuantificador cuantificando una variable que ocurre en β β {displaystyle beta }.

Generalización existencial (o Introducción Existencial)
φ φ ()β β /α α )¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {varphi (beta /alpha)}}}
∃ ∃ α α φ φ {displaystyle exists alpha ,varphi }

Restricción: Ninguna ocurrencia libre α α {displaystyle alpha } dentro φ φ {displaystyle varphi } cae dentro del alcance de un cuantificador cuantificando una variable que ocurre en β β {displaystyle beta }.

Instantiación existencial (o eliminación existencial)
∃ ∃ α α φ φ {displaystyle exists alpha ,varphi }
φ φ ()β β /α α )⊢ ⊢ ↑ ↑ ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {underline {varphi (beta /alpha)vdash psi }
↑ ↑ {displaystyle psi }

Restricción 1: β β {displaystyle beta } es una variable que no ocurre en φ φ {displaystyle varphi }.
Restricción 2: No hay ocurrencia, libre o atada, de β β {displaystyle beta } dentro ↑ ↑ {displaystyle psi }.
Restricción 3: β β {displaystyle beta } no se menciona en ninguna hipótesis o hipótesis no recargadas.

Reglas de la lógica subestructural

Los siguientes son casos especiales de generalización universal y eliminación existencial; Estos ocurren en lógicas subestructurales, como la lógica lineal.

Regla de debilitamiento (o monotónica de la implicación) (llamado teorema sin cierre)
α α ⊢ ⊢ β β {displaystyle alpha vdash beta }
α α ,α α ⊢ ⊢ β β ̄ ̄ {displaystyle {overline {alphaalphavdash beta }
Estado de contracción (o idempotencia de la implicación) (también teorema que no elimina)
α α ,α α ,γ γ ⊢ ⊢ β β ¿Qué? ¿Qué? {displaystyle {compline {alphagammavdash beta }
α α ,γ γ ⊢ ⊢ β β {displaystyle alphagamma vdash beta }

Tabla: Reglas de Inferencia

Did you mean:

The rules above can be summed up in the following table. The "Tautology#34; column shows how to interpret the notation of a given rule.

Reglas de inferencia Tautology Nombre
pp→ → q▪ ▪ q̄ ̄ {displaystyle {begin{aligned}ppprightarrow q\\therefore {overline {qquad quadquad}\end{aligned}}}} {f}} {f}}}}\\f}f}\fnKf}}}}}}}}}}\()p∧ ∧ ()p→ → q))→ → q{displaystyle (pwedge (prightarrow q))rightarrow q}Modus ponens
¬ ¬ qp→ → q▪ ▪ ¬ ¬ p̄ ̄ {\fnK}\\p\p\\\fn}\\fn}\fn}}\end{aligned}}}}}\\fnK}}}}\\f}\fnKf}}}}\\\fnKfnK}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\f}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnMinMinMinK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}()¬ ¬ q∧ ∧ ()p→ → q))→ → ¬ ¬ p{displaystyle (neg qwedge (prightarrow q))rightarrow neg p}Modus tollens
p→ → qq→ → r▪ ▪ p→ → r̄ ̄ {\\\\\\\\\\fn}\\\\\\fn}\fn}\fn}}\\fn}}}\\fn}}}\\fnK}}\fn}\\fn}}}}}}\\\\\\\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\()()p→ → q)∧ ∧ ()q→ → r))→ → ()p→ → r){displaystyle (prightarrow q)wedge (qrightarrow r)rightarrow (prightarrow r)}Syllogismo hipotético
p→ → q▪ ▪ p→ → ()p∧ ∧ q)̄ ̄ {displaystyle {begin{aligned}prightarrow q\\ thererefore {overline {prightarrow (pwedge q)}}\end{aligned}}}}}\fnMicronom}}}\\fnMicrosoft}}}}}()p→ → q)→ → ()p→ → ()p∧ ∧ q)){displaystyle (prightarrow q)rightarrow (prightarrow (pwedge q)}Absorción
pq▪ ▪ p∧ ∧ q̄ ̄ {displaystyle {begin{aligned}pq\\\\\\\\\fnMientras {fnMicrosoft Sans Serif}}()()p)∧ ∧ ()q))→ → ()p∧ ∧ q){displaystyle ((p)wedge (q))rightarrow (pwedge q)}Introducción de la orden
p∧ ∧ q▪ ▪ p̄ ̄ {displaystyle {begin{aligned}pwedge q\\therefore {overline {pquad quadquad}}\end{aligned}}}}}\\\fnK}}\\\\\\fnK}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\()p∧ ∧ q)→ → p{displaystyle (pwedge q)rightarrow p}Eliminación de la conjunción
p▪ ▪ pAlternativa Alternativa q̄ ̄ {displaystyle {begin{aligned}p\\fnMientras {fnMicrosoft Sans}}p→ → ()pAlternativa Alternativa q){displaystyle prightarrow (pvee q)}Introducción a la disyunción
p→ → qr→ → qpAlternativa Alternativa r▪ ▪ q̄ ̄ {\\\\fn}\\\\\\\p\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH}\fn}fn}\fn}}\\fn}\fn}}\\\\fn}}}}}}\\fn}}}\\\\\fn}}}}\\\\\fn}}}}\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\()()p→ → q)∧ ∧ ()r→ → q)∧ ∧ ()pAlternativa Alternativa r))→ → q{displaystyle (prightarrow q)wedge (rrightarrow q)wedge (pvee r)rightarrow q}Eliminación de la disyunción
pAlternativa Alternativa q¬ ¬ p▪ ▪ q̄ ̄ {\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}\end{}}}}}}}\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\]}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}()()pAlternativa Alternativa q)∧ ∧ ¬ ¬ p)→ → q{displaystyle (pvee q)wedge neg p)rightarrow q}Syllogismo disjuntivo
pAlternativa Alternativa p▪ ▪ p̄ ̄ {displaystyle {begin{aligned}pvee p\\therefore {overline {pquad quadquad}}\end{aligned}}}}}\\\fnK}}\\\fnK}}}\\fn\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\()pAlternativa Alternativa p)→ → p{displaystyle (pvee p)rightarrow p}simplificación disjuntiva
pAlternativa Alternativa q¬ ¬ pAlternativa Alternativa r▪ ▪ qAlternativa Alternativa r̄ ̄ {\\fn}\\\\fneg pvee r\\\\\\fn}\fnse {\\fn}}\fn}}}}}}}\fn}\\fn}\\fnK\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\()()pAlternativa Alternativa q)∧ ∧ ()¬ ¬ pAlternativa Alternativa r))→ → ()qAlternativa Alternativa r){displaystyle (pvee q)wedge (neg pvee r)rightarrow (qvee r)}Resolución
p→ → qq→ → p▪ ▪ pAdministración Administración q̄ ̄ {\\\\fnK}\\\\\\\\\\\\\\fn}\\fn}}\fn}\\fn}}}}\\\fnK}}}}}}}}\()()p→ → q)∧ ∧ ()q→ → p))→ → ()pAdministración Administración q){displaystyle (prightarrow q)wedge (qrightarrow p))rightarrow (pleftrightarrow q)}Introducción bicondicional

Todas las reglas utilizan los operadores lógicos básicos. Una tabla completa de "operadores lógicos" se muestra mediante una tabla de verdad, que proporciona definiciones de todas las (16) funciones de verdad posibles de 2 variables booleanas (p, q):

pq01234567 89101112131415
TT FFFFFFFFTTTTTTTT
TF FFFFTTTTFFFFTTTT
FT FFTTFFTTFFTTFFTT
FF FTFTFTFTFTFTFTFT

donde T = verdadero y F = falso, y las columnas son los operadores lógicos:

  • 0, falsedad, contradicción;
  • 1, NOR, Lógica NOR (flecha de Pedro);
  • 2, Nonimplicación transversal;
  • 3, ¬, Negación;
  • 4, Nonimplicación material;
  • 5, ¬, Negación;
  • 6, XOR, Disyunción Exclusiva;
  • 7, NAND, Logical NAND (Sheffer traffic);
  • 8, Y, Conjunción lógica;
  • 9, XNOR, If and only if, Logical biconditional;
  • 10, q, Función de proyección;
  • 11, si/entonces, Material condicional;
  • 12, p, Función de proyección;
  • 13, entonces/si, implicación transversal;
  • 14, OR, Disjunción lógica;
  • 15, cierto, Tautología.

Cada operador lógico se puede utilizar en una afirmación sobre variables y operaciones, mostrando una regla básica de inferencia. Ejemplos:

  • El operador columna-14 (OR), muestra Regla de adicióncuando p=T (la hipótesis selecciona las dos primeras líneas de la tabla), vemos (en la columna-14) que pAlternativaq=T.
    También podemos ver que, con la misma premisa, otras conclusiones son válidas: las columnas 12, 14 y 15 son T.
  • El operador columna-8 (AND), muestra Regla de simplificacióncuando p∧q=T (primera línea de la tabla), vemos que p=T.
    Con esta premisa, también concluimos que q=T, pAlternativaq=T, etc. como se muestra en las columnas 9-15.
  • El operador de columna-11 (IF/THEN), muestra Regla de Modus ponenscuando p→q=T y p=T sólo una línea de la tabla de la verdad (el primero) satisface estas dos condiciones. En esta línea, q es también cierto. Por lo tanto, siempre que p → q es verdad y p es verdad, q también debe ser verdad.

Máquinas y personas bien entrenadas utilizan este método de mirar tablas para hacer inferencias básicas y comprobar si se pueden obtener otras inferencias (para las mismas premisas).

Ejemplo 1

Considerar las siguientes hipótesis: "Si llueve hoy, no vamos a ir a un canoe hoy. Si no vamos a un viaje de canoa hoy, iremos a un viaje de canoa mañana. Por lo tanto (símbolo matemático para "por lo tanto" es ▪ ▪ {displaystyle therefore }Si llueve hoy, iremos a un viaje de canoa mañana". Para hacer uso de las reglas de inferencia en la tabla anterior dejamos p{displaystyle p} ser la proposición "Si llueve hoy", q{displaystyle q} "No vamos a ir en canoa hoy" y dejar r{displaystyle r} "Vamos a hacer un viaje de canoa mañana". Entonces este argumento es de la forma:

p→ → qq→ → r▪ ▪ p→ → r̄ ̄ {\\\\\\\\\\fn}\\\\\\fn}\fn}\fn}}\\fn}}}\\fn}}}\\fnK}}\fn}\\fn}}}}}}\\\\\\\\\fn}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

Ejemplo 2

Considere un conjunto más complejo de supuestos: "No es soleado hoy y es más frío que ayer". "Vamos a nadar sólo si es soleado", "Si no vamos a nadar, entonces tendremos una barbacoa", y "Si vamos a tener una barbacoa, entonces estaremos en casa al atardecer" conduce a la conclusión "Estaremos en casa al atardecer". Prueba por reglas de inferencia: Vamos p{displaystyle p} ser la proposición "Es soleado hoy", q{displaystyle q} la proposición "Es más fría que ayer", r{displaystyle r} la propuesta "Vamos a nadar", s{displaystyle s} la propuesta "Tendremos una barbacoa", y t{displaystyle t} la proposición "Estaremos en casa al atardecer". Entonces las hipótesis se vuelven ¬ ¬ p∧ ∧ q,r→ → p,¬ ¬ r→ → s{displaystyle neg pwedge q,rrightarrow p,neg rrightarrow s} y s→ → t{displaystyle srightarrow t}. Usando nuestra intuición conjeturamos que la conclusión podría ser t{displaystyle t}. Utilizando las reglas de la tabla de referencia podemos probar la conjetura fácilmente:

Paso Razón
1.¬ ¬ p∧ ∧ q{displaystyle neg pwedge q}Hipótesis
2. ¬ ¬ p{displaystyle neg p}Simplificación mediante paso 1
3. r→ → p{displaystyle rrightarrow p}Hipótesis
4. ¬ ¬ r{displaystyle neg r}Modus tollens utilizando Paso 2 y 3
5. ¬ ¬ r→ → s{displaystyle neg rrightarrow s}Hipótesis
6. s{displaystyle s}Modus ponente usando Paso 4 y 5
7. s→ → t{displaystyle srightarrow t}Hipótesis
8. t{displaystyle t}Modus ponente usando Paso 6 y 7
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