Lista de ecuaciones en mecánica clásica

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La mecánica clásica es la rama de la física utilizada para describir el movimiento de objetos macroscópicos. Es la más familiar de las teorías de la física. Los conceptos que cubre, como masa, aceleración y fuerza, son de uso común y conocidos. El tema se basa en un espacio euclidiano tridimensional con ejes fijos, llamado marco de referencia. El punto de concurrencia de los tres ejes se conoce como el origen del espacio particular.

La mecánica clásica utiliza muchas ecuaciones, así como otros conceptos matemáticos, que relacionan varias cantidades físicas entre sí. Estos incluyen ecuaciones diferenciales, variedades, grupos de Lie y teoría ergódica. Este artículo ofrece un resumen de los más importantes.

Este artículo enumera las ecuaciones de la mecánica newtoniana; consulte mecánica analítica para obtener una formulación más general de la mecánica clásica (que incluye la mecánica lagrangiana y la hamiltoniana).

Mecánica clásica

Masa e inercia

Cantidad (nombre común/s)	(Common) símbolo/s	Definición de la ecuación	Unidades SI	Dimensión
Densidad lineal, superficial, volumétrica	λ o μ (especialmente en acústica, ver abajo) para Linear, σ para superficie, *** para el volumen.	$m=int lambda {mathrm {d}}ell$ $m=iint sigma {mathrm {d}}S$ ${displaystyle m=iiint rho mathrm {d} V}$	kg⁻ⁿ, n = 1, 2, 3	[M][L]⁻ⁿ
Momento de masa	m (Sin símbolo común)	Masa de punto: ${displaystyle mathbf {m} =mathbf {r} m}$ Discreta a las masas sobre un eje $x_{i}$ : ${displaystyle mathbf {m} =sum _{i=1}^{N}mathbf {r} _{mathrm {i} }m_{i}}$ Continuum of mass about an axis $x_{i}$ : ${displaystyle mathbf {m} =int rho left(mathbf {r} right)x_{i}mathrm {d} mathbf {r} }$	kg	[M][L]
Centro de masas	r_com (Los símbolos varían)	i^T momento de la masa ${displaystyle mathbf {m} _{mathrm {i} }=mathbf {r} _{mathrm {i} }m_{i}}$ Discrepar a las masas: ${displaystyle mathbf {r} _{mathrm {com} }={frac {1}{M}}sum _{i}mathbf {r} _{mathrm {i} }m_{i}={frac {1}{M}}sum _{i}mathbf {m} _{mathrm {i} }}$ Continuum de masas: ${displaystyle mathbf {r} _{mathrm {com} }={frac {1}{M}}int mathrm {d} mathbf {m} ={frac {1}{M}}int mathbf {r} mathrm {d} m={frac {1}{M}}int mathbf {r} rho mathrm {d} V}$	m	[L]
2-Body reducida masa	m₁₂, μ Pareja de masas = m₁ y m₂	${displaystyle mu =left(m_{1}m_{2}right)/left(m_{1}+m_{2}right)}$	kg	[M]
Momento de inercia (MOI)	I	Divulgar misas: ${displaystyle I=sum _{i}mathbf {m} _{mathrm {i} }cdot mathbf {r} _{mathrm {i} }=sum _{i}left\|mathbf {r} _{mathrm {i} }right\|^{2}m}$ Continuum de masas: ${displaystyle I=int left\|mathbf {r} right\|^{2}mathrm {d} m=int mathbf {r} cdot mathrm {d} mathbf {m} =int left\|mathbf {r} right\|^{2}rho mathrm {d} V}$	kg²	[M][L]²

Cantidades cinemáticas derivadas

Cantidades cinemáticas de una partícula clásica: masa m, posición r, velocidad v, aceleración a.

Cantidad (nombre común/s)	(Common) símbolo/s	Definición de la ecuación	Unidades SI	Dimensión
Velocity	v	${displaystyle mathbf {v} =mathrm {d} mathbf {r} /mathrm {d} t}$	m s⁻¹	[L][T]⁻¹
Aceleración	a	${displaystyle mathbf {a} =mathrm {d} mathbf {v} /mathrm {d} t=mathrm {d} ^{2}mathbf {r} /mathrm {d} t^{2}}$	m s⁻²	[L][T]⁻²
Jerk	j	${displaystyle mathbf {j} =mathrm {d} mathbf {a} /mathrm {d} t=mathrm {d} ^{3}mathbf {r} /mathrm {d} t^{3}}$	m s⁻³	[L][T]⁻³
Jounce	s	${displaystyle mathbf {s} =mathrm {d} mathbf {j} /mathrm {d} t=mathrm {d} ^{4}mathbf {r} /mathrm {d} t^{4}}$	m s⁻⁴	[L][T]⁻⁴
Velocidad angular	⋅	${displaystyle {boldsymbol {omega }}=mathbf {hat {n}} left(mathrm {d} theta /mathrm {d} tright)}$	rad s⁻¹	[T]⁻¹
Aceleración angular	α	${displaystyle {boldsymbol {alpha }}=mathrm {d} {boldsymbol {omega }}/mathrm {d} t=mathbf {hat {n}} left(mathrm {d} ^{2}theta /mathrm {d} t^{2}right)}$	rad s⁻²	[T]⁻²
Tonto anular	Especificaciones	${displaystyle {boldsymbol {zeta }}=mathrm {d} {boldsymbol {alpha }}/mathrm {d} t=mathbf {hat {n}} left(mathrm {d} ^{3}theta /mathrm {d} t^{3}right)}$	rad s⁻³	[T]⁻³

Cantidades dinámicas derivadas

Momento angular de un objeto clásico.

Izquierda: intrínseco "spin" impulso angular S es realmente el impulso angular orbital del objeto en cada punto,

Bien. impulso angular orbital extrínseco L sobre un eje,

arriba: el momento de inercia tensor I y velocidad angular ⋅ ()L no siempre es paralelo a ⋅)

abajo: impulso p y su posición radial r del eje.

El impulso angular total (spin + orbital) es J.

Cantidad (nombre común/s)	(Common) símbolo/s	Definición de la ecuación	Unidades SI	Dimensión
Momentum	p	${displaystyle mathbf {p} =mmathbf {v} }$	kg s⁻¹	[M][L][T]⁻¹
Fuerza	F	${displaystyle mathbf {F} =mathrm {d} mathbf {p} /mathrm {d} t}$	N = kg s⁻²	[M][L][T]⁻²
Impulso	J, Δp, I	${displaystyle mathbf {J} =Delta mathbf {p} =int _{t_{1}}^{t_{2}}mathbf {F} mathrm {d} t}$	kg s⁻¹	[M][L][T]⁻¹
Momento angular sobre un punto de posición r₀,	L, J, S	${displaystyle mathbf {L} =left(mathbf {r} -mathbf {r} _{0}right)times mathbf {p} }$ La mayor parte del tiempo que podemos establecer r₀ = 0 si las partículas están orbitando alrededor de ejes intersectando en un punto común.	kg² s⁻¹	[M][L]²[T]⁻¹
Momento de una fuerza sobre un punto de posición r₀, Torque	τ, M	${displaystyle {boldsymbol {tau }}=left(mathbf {r} -mathbf {r} _{0}right)times mathbf {F} =mathrm {d} mathbf {L} /mathrm {d} t}$	N m = kg m² s⁻²	[M][L]²[T]⁻²
Impulso angular	ΔL (sin símbolo común)	${displaystyle Delta mathbf {L} =int _{t_{1}}^{t_{2}}{boldsymbol {tau }}mathrm {d} t}$	kg² s⁻¹	[M][L]²[T]⁻¹

Definiciones generales de energía

Cantidad (nombre común/s)	(Common) símbolo/s	Definición de la ecuación	Unidades SI	Dimensión
Trabajo mecánico debido a una fuerza resultante	W	${displaystyle W=int _{C}mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r} }$	J = N m = kg m² s⁻²	[M][L]²[T]⁻²
Trabajo realizado en el sistema mecánico, trabajo realizado por	W_ON, W_BY	${displaystyle Delta W_{mathrm {ON} }=-Delta W_{mathrm {BY} }}$	J = N m = kg m² s⁻²	[M][L]²[T]⁻²
Energía potencial	φ, ⋅, U, V, E_p	${displaystyle Delta W=-Delta V}$	J = N m = kg m² s⁻²	[M][L]²[T]⁻²
Poder mecánico	P	${displaystyle P=mathrm {d} E/mathrm {d} t}$	W = J s⁻¹	[M][L]²[T]⁻³

Toda fuerza conservativa tiene una energía potencial. Siguiendo dos principios, uno puede asignar consistentemente un valor no relativo a U:

Dondequiera que la fuerza sea cero, su energía potencial también se define como cero.
Cuando la fuerza funciona, se pierde energía potencial.

Mecánica generalizada

Cantidad (nombre común/s)	(Common) símbolo/s	Definición de la ecuación	Unidades SI	Dimensión
Coordinaciones generalizadas	q, Q		varies con opción	varies con opción
Velocidades generalizadas	${displaystyle {dot {q}},{dot {Q}}}$	${displaystyle {dot {q}}equiv mathrm {d} q/mathrm {d} t}$	varies con opción	varies con opción
Momento generalizadoa	p, P	${displaystyle p=partial L/partial {dot {q}}}$	varies con opción	varies con opción
Lagrangian	L	${displaystyle L(mathbf {q}mathbf {dot {q}}t)=T(mathbf {dot {q}})-V(mathbf {q}mathbf {dot {q}}t)}$ Donde ${displaystyle mathbf {q} =mathbf {q} (t)}$ y p = p()t) son vectores de los coords generalizados y momenta, como funciones del tiempo	J	[M][L]²[T]⁻²
Hamiltonian	H	${displaystyle H(mathbf {p}mathbf {q}t)=mathbf {p} cdot mathbf {dot {q}} -L(mathbf {q}mathbf {dot {q}}t)}$	J	[M][L]²[T]⁻²
Acción, la función principal de Hamilton	S, ${displaystyle scriptstyle {mathcal {S}}}$	${displaystyle {mathcal {S}}=int _{t_{1}}^{t_{2}}L(mathbf {q}mathbf {dot {q}}t)mathrm {d} t}$	J.	[M][L]²[T]⁻¹

Cinemática

En las siguientes definiciones de rotación, el ángulo puede ser cualquier ángulo sobre el eje de rotación especificado. Se acostumbra usar θ, pero este no tiene que ser el ángulo polar usado en los sistemas de coordenadas polares. El vector axial unitario

{displaystyle mathbf {hat {n}} =mathbf {hat {e}} _{r}times mathbf {hat {e}} _{theta }}

define el eje de rotación, ${displaystyle scriptstyle mathbf {hat {e}} _{r}}$ = vector de unidad en dirección r, ${displaystyle scriptstyle mathbf {hat {e}} _{theta }}$ = vector de unidad tangencial al ángulo.

	Traducción	Rotación
Velocity	Promedio: ${mathbf {v}}_{{{mathrm {average}}}}={Delta {mathbf {r}} over Delta t}$ Instantánea: ${mathbf {v}}={d{mathbf {r}} over dt}$	Velocidad angular ${displaystyle {boldsymbol {omega }}=mathbf {hat {n}} {frac {{rm {d}}theta }{{rm {d}}t}}}$ Cuerpo rígido rotativo: ${displaystyle mathbf {v} ={boldsymbol {omega }}times mathbf {r} }$
Aceleración	Promedio: ${mathbf {a}}_{{{mathrm {average}}}}={frac {Delta {mathbf {v}}}{Delta t}}$ Instantánea: ${mathbf {a}}={frac {d{mathbf {v}}}{dt}}={frac {d^{2}{mathbf {r}}}{dt^{2}}}$	Aceleración angular ${displaystyle {boldsymbol {alpha }}={frac {{rm {d}}{boldsymbol {omega }}}{{rm {d}}t}}=mathbf {hat {n}} {frac {{rm {d}}^{2}theta }{{rm {d}}t^{2}}}}$ Cuerpo rígido rotativo: ${displaystyle mathbf {a} ={boldsymbol {alpha }}times mathbf {r} +{boldsymbol {omega }}times mathbf {v} }$
Jerk	Promedio: ${mathbf {j}}_{{{mathrm {average}}}}={frac {Delta {mathbf {a}}}{Delta t}}$ Instantánea: ${mathbf {j}}={frac {d{mathbf {a}}}{dt}}={frac {d^{2}{mathbf {v}}}{dt^{2}}}={frac {d^{3}{mathbf {r}}}{dt^{3}}}$	Tonto anular ${displaystyle {boldsymbol {zeta }}={frac {{rm {d}}{boldsymbol {alpha }}}{{rm {d}}t}}=mathbf {hat {n}} {frac {{rm {d}}^{2}omega }{{rm {d}}t^{2}}}=mathbf {hat {n}} {frac {{rm {d}}^{3}theta }{{rm {d}}t^{3}}}}$ Cuerpo rígido rotativo: ${displaystyle mathbf {j} ={boldsymbol {zeta }}times mathbf {r} +{boldsymbol {alpha }}times mathbf {a} }$

Dinámica

	Traducción	Rotación
Momentum	Momentum es el "número de traducción" ${mathbf {p}}=m{mathbf {v}}$ Para un cuerpo rígido rotativo: ${displaystyle mathbf {p} ={boldsymbol {omega }}times mathbf {m} }$	Momento angular El impulso angular es el "número de rotación": ${mathbf {L}}={mathbf {r}}times {mathbf {p}}={mathbf {I}}cdot {boldsymbol {omega }}$ y el producto cruzado es un pseudovector i.e. si r y p se invierte en dirección (negativa), L No lo es. En general I es un tensor orden-2, ver arriba por sus componentes. El punto · indica contracción de tensor.
Fuerza y la segunda ley de Newton	La fuerza resultante actúa en un sistema en el centro de la masa, igual a la tasa de cambio de impulso: ${displaystyle {begin{aligned}mathbf {F} &={frac {dmathbf {p} }{dt}}={frac {d(mmathbf {v})}{dt}}\&=mmathbf {a} +mathbf {v} {frac {{rm {d}}m}{{rm {d}}t}}\end{aligned}}}$ Para una serie de partículas, la ecuación de movimiento para una partícula i es: ${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {p} _{i}}{mathrm {d} t}}=mathbf {F} _{E}+sum _{ineq j}mathbf {F} _{ij}}$ Donde p_i = impulso de la partícula i, F_ij = fuerza on partícula i por partícula j, y F_E = fuerza externa resultante (debido a cualquier agente que no sea parte del sistema). Partícula i no ejerce una fuerza sobre sí mismo.	Torque Torque τ también se llama momento de una fuerza, porque es el análogo rotacional a la fuerza: ${displaystyle {boldsymbol {tau }}={frac {{rm {d}}mathbf {L} }{{rm {d}}t}}=mathbf {r} times mathbf {F} ={frac {{rm {d}}(mathbf {I} cdot {boldsymbol {omega }})}{{rm {d}}t}}}$ Para los cuerpos rígidos, la segunda ley de Newton para la rotación toma el mismo formulario que para la traducción: ${displaystyle {begin{aligned}{boldsymbol {tau }}&={frac {{rm {d}}mathbf {L} }{{rm {d}}t}}={frac {{rm {d}}(mathbf {I} cdot {boldsymbol {omega }})}{{rm {d}}t}}\&={frac {{rm {d}}mathbf {I} }{{rm {d}}t}}cdot {boldsymbol {omega }}+mathbf {I} cdot {boldsymbol {alpha }}\end{aligned}}}$ Asimismo, para una serie de partículas, la ecuación de movimiento para una partícula i es: ${displaystyle {frac {mathrm {d} mathbf {L} _{i}}{mathrm {d} t}}={boldsymbol {tau }}_{E}+sum _{ineq j}{boldsymbol {tau }}_{ij}}$
Yank	Yank es la tasa de cambio de fuerza: ${displaystyle {begin{aligned}mathbf {Y} &={frac {dmathbf {F} }{dt}}={frac {d^{2}mathbf {p} }{dt^{2}}}={frac {d^{2}(mmathbf {v})}{dt^{2}}}\&=mmathbf {j} +mathbf {2a} {frac {{rm {d}}m}{{rm {d}}t}}+mathbf {v} {frac {{rm {d^{2}}}m}{{rm {d}}t^{2}}}\end{aligned}}}$ Para la masa constante, se convierte; ${mathbf {Y}}=m{mathbf {j}}$	Rotatum Rotatum Ρ también se llama momento de un yanqui, porque es el análogo rotacional para tirar: ${displaystyle {boldsymbol {mathrm {P} }}={frac {{rm {d}}mathbf {tau } }{{rm {d}}t}}=mathbf {r} times mathbf {Y} ={frac {{rm {d}}(mathbf {I} cdot {boldsymbol {alpha }})}{{rm {d}}t}}}$
Impulso	La impulsión es el cambio de impulso: $Delta {mathbf {p}}=int {mathbf {F}}dt$ Para fuerza constante F: $Delta {mathbf {p}}={mathbf {F}}Delta t$	El impulso giratorio/angular es el cambio de impulso angular: $Delta {mathbf {L}}=int {boldsymbol {tau }}dt$ Para un par constante τ: $Delta {mathbf {L}}={boldsymbol {tau }}Delta t$

Precesión

La velocidad angular de precesión de un trompo viene dada por:

{boldsymbol {Omega }}={frac {wr}{I{boldsymbol {omega }}}}

donde w es el peso del volante giratorio.

Energía

El trabajo mecánico realizado por un agente externo sobre un sistema es igual al cambio en la energía cinética del sistema:

Teorema general del trabajo-energía (traducción y rotación)

El trabajo realizado W por un agente externo que ejerce una fuerza F (en r) y un par τ en un objeto a lo largo de una trayectoria curva C es:

{displaystyle W=Delta T=int _{C}left(mathbf {F} cdot mathrm {d} mathbf {r} +{boldsymbol {tau }}cdot mathbf {n} {mathrm {d} theta }right)}

donde θ es el ángulo de rotación alrededor de un eje definido por un vector unitario n.

Energía cinética

Delta E_{k}=W={frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})

Energía potencial elástica

Para un resorte estirado fijo en un extremo que obedece la ley de Hooke:

{displaystyle Delta E_{p}={frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}}

donde r₂ y r₁ son coordenadas colineales del extremo libre del resorte, en el dirección de la extensión/compresión, y k es la constante del resorte.

Ecuaciones de Euler para la dinámica de cuerpos rígidos

Euler también elaboró leyes de movimiento análogas a las de Newton, consulte las leyes de movimiento de Euler. Estas amplían el alcance de las leyes de Newton a los cuerpos rígidos, pero son esencialmente las mismas que las anteriores. Una nueva ecuación formulada por Euler es:

{displaystyle mathbf {I} cdot {boldsymbol {alpha }}+{boldsymbol {omega }}times left(mathbf {I} cdot {boldsymbol {omega }}right)={boldsymbol {tau }}}

donde I es el tensor del momento de inercia.

Movimiento plano general

Las ecuaciones anteriores para el movimiento plano se pueden usar aquí: los corolarios de momento, momento angular, etc. pueden seguir inmediatamente aplicando las definiciones anteriores. Para cualquier objeto que se mueva en cualquier trayectoria en un plano,

{displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} (t)=rmathbf {hat {e}} _{r}}

Los siguientes resultados generales se aplican a la partícula.

Kinematics	Dinámica
Posición ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {r} left(r,thetatright)=rmathbf {hat {e}} _{r}}$
Velocity ${displaystyle mathbf {v} =mathbf {hat {e}} _{r}{frac {mathrm {d} r}{mathrm {d} t}}+romega mathbf {hat {e}} _{theta }}$	Momentum ${displaystyle mathbf {p} =mleft(mathbf {hat {e}} _{r}{frac {mathrm {d} r}{mathrm {d} t}}+romega mathbf {hat {e}} _{theta }right)}$ Momento angulara ${displaystyle mathbf {L} =mmathbf {r} times left(mathbf {hat {e}} _{r}{frac {mathrm {d} r}{mathrm {d} t}}+romega mathbf {hat {e}} _{theta }right)}$
Aceleración ${displaystyle mathbf {a} =left({frac {mathrm {d} ^{2}r}{mathrm {d} t^{2}}}-romega ^{2}right)mathbf {hat {e}} _{r}+left(ralpha +2omega {frac {mathrm {d} r}{{rm {d}}t}}right)mathbf {hat {e}} _{theta }}$	La fuerza centrípeta es ${displaystyle mathbf {F} _{bot }=-momega ^{2}Rmathbf {hat {e}} _{r}=-omega ^{2}mathbf {m} }$ donde de nuevo m es el momento de la masa, y la fuerza coriolis es ${displaystyle mathbf {F} _{c}=2omega m{frac {{rm {d}}r}{{rm {d}}t}}mathbf {hat {e}} _{theta }=2omega mvmathbf {hat {e}} _{theta }}$ La aceleración y fuerza Coriolis también se pueden escribir: ${mathbf {F}}_{c}=m{mathbf {a}}_{c}=-2m{boldsymbol {omega times v}}$

Movimiento de fuerza central

Para un cuerpo masivo que se mueve en un potencial central debido a otro objeto, que depende solo de la separación radial entre los centros de masas de los dos objetos, la ecuación de movimiento es:

{frac {d^{2}}{dtheta ^{2}}}left({frac {1}{{mathbf {r}}}}right)+{frac {1}{{mathbf {r}}}}=-{frac {mu {mathbf {r}}^{2}}{{mathbf {l}}^{2}}}{mathbf {F}}({mathbf {r}})

Ecuaciones de movimiento (aceleración constante)

Estas ecuaciones solo se pueden usar cuando la aceleración es constante. Si la aceleración no es constante, entonces se deben usar las ecuaciones generales de cálculo anteriores, que se encuentran integrando las definiciones de posición, velocidad y aceleración (ver arriba).

Movimiento lineal	Movimiento anular
${displaystyle v=v_{0}+at}$	${displaystyle omega _{1}=omega _{0}+alpha t}$
$s={frac {1}{2}}(v_{0}+v)t$	$theta ={frac {1}{2}}(omega _{0}+omega _{1})t$
$s=v_{0}t+{frac {1}{2}}at^{2}$	$theta =omega _{0}t+{frac {1}{2}}alpha t^{2}$
${displaystyle v^{2}=v_{0}^{2}+2as}$	$omega _{1}^{2}=omega _{0}^{2}+2alpha theta$
$s=vt-{frac {1}{2}}at^{2}$	$theta =omega _{1}t-{frac {1}{2}}alpha t^{2}$

Transformadas de marco galileano

Para la mecánica clásica (Galileo-Newtoniana), la ley de transformación de un marco inercial o de aceleración (incluida la rotación) (marco de referencia que viaja a velocidad constante, incluido el cero) a otro es la transformada de Galileo.

Las cantidades no primadas se refieren a la posición, la velocidad y la aceleración en un cuadro F; las cantidades con prima se refieren a la posición, la velocidad y la aceleración en otro cuadro F' moviéndose a velocidad de traslación V o velocidad angular Ω con respecto a F. Por el contrario, F se mueve a velocidad (—V o —Ω) relativo a F'. La situación es similar para las aceleraciones relativas.

Moción de entidades	Marcos inerciales	Marcos de aceleración
Traducción V = Velocidad relativa constante entre dos marcos inerciales F y F'. A = (Variable) aceleración relativa entre dos marcos de aceleración F y F'.	Posición relativa ${displaystyle mathbf {r} '=mathbf {r} +mathbf {V} t}$ Velocidad relativa ${displaystyle mathbf {v} '=mathbf {v} +mathbf {V} }$ Aceleraciones equitativas ${mathbf {a}}'={mathbf {a}}$	Aceleraciones relativas ${mathbf {a}}'={mathbf {a}}+{mathbf {A}}$ Fuerzas aparentes y ficticias ${mathbf {F}}'={mathbf {F}}-{mathbf {F}}_{{mathrm {app}}}$
Rotación Ω = Velocidad angular relativa constante entre dos marcos F y F'. ▪ = (Variable) aceleración angular relativa entre dos marcos de aceleración F y F'.	Posición angular relativa ${displaystyle theta '=theta +Omega t}$ Velocidad relativa ${displaystyle {boldsymbol {omega }}'={boldsymbol {omega }}+{boldsymbol {Omega }}}$ Aceleraciones equitativas ${boldsymbol {alpha }}'={boldsymbol {alpha }}$	Aceleraciones relativas ${boldsymbol {alpha }}'={boldsymbol {alpha }}+{boldsymbol {Lambda }}$ pares aparentes y ficticios ${boldsymbol {tau }}'={boldsymbol {tau }}-{boldsymbol {tau }}_{{mathrm {app}}}$
	Transformación de cualquier vector T a un marco giratorio ${frac {{{rm {d}}}{mathbf {T}}'}{{{rm {d}}}t}}={frac {{{rm {d}}}{mathbf {T}}}{{{rm {d}}}t}}-{boldsymbol {Omega }}times {mathbf {T}}$

Osciladores mecánicos

SHM, DHM, SHO y DHO se refieren a movimiento armónico simple, movimiento armónico amortiguado, oscilador armónico simple y oscilador armónico amortiguado respectivamente.

Ecuaciones de movimiento
Situación física	Nomenclature	Ecuaciones de traducción	Ecuaciones angulares
SHM	x Desplazamiento transversal Silencio = Desplazamiento angular A = Ampliación transversal Despierta = amplitud angular	${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}=-omega ^{2}x}$ Solución: ${displaystyle x=Asin left(omega t+phi right)}$	${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}theta }{mathrm {d} t^{2}}}=-omega ^{2}theta }$ Solución: ${displaystyle theta =Theta sin left(omega t+phi right)}$
DHM no reforzado	b = constante de amortiguación κ = torsión constante	${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}x}{mathrm {d} t^{2}}}+b{frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}+omega ^{2}x=0}$ Solución (ver abajo para ⋅ '): ${displaystyle x=Ae^{-bt/2m}cos left(omega 'right)}$ Frecuencia resonante: ${displaystyle omega _{mathrm {res} }={sqrt {omega ^{2}-left({frac {b}{4m}}right)^{2}}}}$ Tasa de deterioro: ${displaystyle gamma =b/m}$ Vida esperada de excitación: ${displaystyle tau =1/gamma }$	${displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}theta }{mathrm {d} t^{2}}}+b{frac {mathrm {d} theta }{mathrm {d} t}}+omega ^{2}theta =0}$ Solución: ${displaystyle theta =Theta e^{-kappa t/2m}cos left(omega right)}$ Frecuencia resonante: ${displaystyle omega _{mathrm {res} }={sqrt {omega ^{2}-left({frac {kappa }{4m}}right)^{2}}}}$ Tasa de deterioro: ${displaystyle gamma =kappa /m}$ Vida esperada de excitación: ${displaystyle tau =1/gamma }$

Frecuencias angulares
Situación física	Nomenclature	Ecuaciones
Linear undamped unforced SHO	k = constante de primavera m = masa de bob oscilante	${displaystyle omega ={sqrt {frac {k}{m}}}}$
Linear unforced DHO	k = constante de primavera b = Coeficiente por daños	${displaystyle omega '={sqrt {{frac {k}{m}}-left({frac {b}{2m}}right)^{2}}}}$
Baja amplitud angular SHO	I = Momento de inercia sobre el eje oscilante κ = torsión constante	${displaystyle omega ={sqrt {frac {kappa }{I}}}}$
Baja amplitud simple péndulo	L = Longitud del péndulo g = aceleración gravitacional Despierta = amplitud angular	Valor aproximado ${displaystyle omega ={sqrt {frac {g}{L}}}}$ Se puede demostrar que el valor exacto es: ${displaystyle omega ={sqrt {frac {g}{L}}}left[1+sum _{k=1}^{infty }{frac {prod _{n=1}^{k}left(2n-1right)}{prod _{n=1}^{m}left(2nright)}}sin ^{2n}Theta right]}$

Energía en oscilaciones mecánicas
Situación física	Nomenclature	Ecuaciones
SHM energy	T = energía cinética U = energía potencial E = energía total	Energía potencial ${displaystyle U={frac {m}{2}}left(xright)^{2}={frac {mleft(omega Aright)^{2}}{2}}cos ^{2}(omega t+phi)}$ Valor máximo en x = A: ${displaystyle U_{mathrm {max} }{frac {m}{2}}left(omega Aright)^{2}}$ Energía cinética ${displaystyle T={frac {omega ^{2}m}{2}}left({frac {mathrm {d} x}{mathrm {d} t}}right)^{2}={frac {mleft(omega Aright)^{2}}{2}}sin ^{2}left(omega t+phi right)}$ Total de energía ${displaystyle E=T+U}$
Energía DHM		${displaystyle E={frac {mleft(omega Aright)^{2}}{2}}e^{-bt/m}}$

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