Linealidad de diferenciación

En cálculo, la derivada de cualquier combinación lineal de funciones es igual a la misma combinación lineal de las derivadas de las funciones; esta propiedad se conoce como linealidad de la diferenciación, la regla de la linealidad o la regla de superposición para la diferenciación. Es una propiedad fundamental de la derivada que encapsula en una sola regla dos reglas de diferenciación más simples, la regla de la suma (la derivada de la suma de dos funciones es la suma de las derivadas) y la regla del factor constante (la derivada de una función constante). múltiplo de una función es el mismo múltiplo constante de la derivada). Por tanto, se puede decir que la diferenciación es lineal, o que el operador diferencial es un operador lineal.

Declaración y derivación

Sean funciones f y g, con α y β constantes. Ahora considera

ddx()α α ⋅ ⋅ f()x)+β β ⋅ ⋅ g()x)).{displaystyle {frac {mbox{}{mbox{d}x}(alpha cdot f(x)+beta cdot g(x)}}

Por la regla de la suma en la diferenciación, esto es

ddx()α α ⋅ ⋅ f()x))+ddx()β β ⋅ ⋅ g()x)),{displaystyle {frac {mbox{}{mbox{d}x}(alpha cdot f(x))+{frac {mbox{d}{mbox{d}x} {betacdot g(x)}}}}}}} {mbox{mbox{d}x}}} {betacdot}

y por la regla del factor constante en la diferenciación, esto se reduce a

α α ⋅ ⋅ f.()x)+β β ⋅ ⋅ g.()x).{displaystyle alpha cdot f'(x)+beta cdot g'(x). }

Por lo tanto,

ddx()α α ⋅ ⋅ f()x)+β β ⋅ ⋅ g()x))=α α ⋅ ⋅ f.()x)+β β ⋅ ⋅ g.()x).{displaystyle {frac {mbox{d}{mbox{d}x}(alpha cdot f(x)+beta cdot g(x))=alpha cdot f'(x)+beta cdot g'(x). }

Al omitir los corchetes, esto a menudo se escribe como:

()α α ⋅ ⋅ f+β β ⋅ ⋅ g).=α α ⋅ ⋅ f.+β β ⋅ ⋅ g..{displaystyle (alpha cdot f+beta cdot g)'=alpha cdot f'+beta cdot g'}

Pruebas detalladas/derivaciones de la definición

Podemos probar todo el principio de linealidad a la vez, o podemos probar los pasos individuales (de factor constante y suma) individualmente. Aquí, se mostrarán ambos.

Probar la linealidad también prueba directamente la regla del factor constante, la regla de la suma y la diferencia regla como casos especiales. La regla de la suma se obtiene estableciendo ambos coeficientes constantes a 1{displaystyle 1}. La regla de diferencia se obtiene estableciendo el primer coeficiente constante a 1{displaystyle 1} y el segundo coeficiente constante a − − 1{displaystyle -1}. La regla del factor constante se obtiene estableciendo el segundo coeficiente constante o la segunda función a 0{displaystyle 0}. (Desde un punto de vista técnico, se debe considerar también el dominio de la segunda función - una manera de evitar problemas es establecer la segunda función igual a la primera función y el segundo coeficiente constante igual a la 0{displaystyle 0}. También se podría definir el segundo coeficiente constante y la segunda función a ser 0, donde el dominio de la segunda función es un superset de la primera función, entre otras posibilidades.)

Por el contrario, si primero demostramos la regla del factor constante y la regla de la suma, podemos probar la linealidad y la regla de la diferencia. Probar la linealidad se hace definiendo las funciones primera y segunda como ser otras dos funciones que se multiplican por coeficientes constantes. Luego, como se muestra en la derivación de la sección anterior, podemos utilizar primero la ley suma mientras la diferenciación, y luego utilizar la regla factor constante, que alcanzará nuestra conclusión para la linealidad. Para demostrar la regla de la diferencia, la segunda función se puede redefinir como otra función multiplicada por el coeficiente constante de − − 1{displaystyle -1}. Esto, cuando se simplifica, nos daría la regla de diferencia para la diferenciación.

En las pruebas/derivaciones siguientes, los coeficientes a,b{displaystyle a,b} son utilizados; corresponden a los coeficientes α α ,β β {displaystyle alphabeta} arriba.

Linealidad (directamente)

Vamos a,b▪ ▪ R{displaystyle a,bin mathbb {R}. Vamos f,g{displaystyle f,g} ser funciones. Vamos j{displaystyle j} ser una función, donde j{displaystyle j} se define sólo cuando f{displaystyle f} y g{displaystyle g} ambos están definidos. (En otras palabras, el dominio de j{displaystyle j} es la intersección de los dominios de f{displaystyle f} y g{displaystyle g}.) Vamos x{displaystyle x} estar en el dominio de j{displaystyle j}. Vamos j()x)=af()x)+bg()x){displaystyle j(x)=af(x)+bg(x)}.

Queremos probarlo. j.. ()x)=af.. ()x)+bg.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=af^{prime }(x)+bg^{prime }(x)}.

Por definición, podemos ver que

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h=limh→ → 0()af()x+h)+bg()x+h))− − ()af()x)+bg()x))h=limh→ → 0af()x+h)+bg()x+h)− − af()x)− − bg()x)h=limh→ → 0af()x+h)− − af()x)+bg()x+h)− − bg()x)h=limh→ → 0()af()x+h)− − af()x))+()bg()x+h)− − bg()x))h=limh→ → 0()af()x+h)− − af()x)h+bg()x+h)− − bg()x)h)=limh→ → 0()a()f()x+h)− − f()x))h+b()g()x+h)− − g()x))h)=limh→ → 0()af()x+h)− − f()x)h+bg()x+h)− − g()x)h){fnMicrosoft} {fnMicrosoft} {fnMicrosoft} ¿Por qué?

Para utilizar la ley de límites para la suma de límites, necesitamos saber que limh→ → 0af()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hto 0}a{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} y limh→ → 0bg()x+h)− − g()x)h{textstyle lim _{hto 0}b{frac {g(x+h)-g(x)}{h}} Ambos existen individualmente. Para estos límites más pequeños, necesitamos saber que limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} y limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h{textstyle lim _{hto 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}} Ambos existen individualmente para utilizar la ley de coeficiente para los límites. Por definición, f.. ()x)=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle f^{prime }(x)=lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}} y g.. ()x)=limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h{textstyle g^{prime }(x)=lim _{hto 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}}. Entonces, si lo sabemos f.. ()x){displaystyle f^{prime }(x)} y g.. ()x){displaystyle g^{prime }(x)} ambos existen, sabremos que limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} y limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h{textstyle lim _{hto 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}} Ambos existen individualmente. Esto nos permite utilizar la ley de coeficiente para los límites a escribir

limh→ → 0af()x+h)− − f()x)h=alimh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{displaystyle lim _{hto 0}a{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=alim _{hto 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} {h}}

y

limh→ → 0bg()x+h)− − f()x)h=blimh→ → 0g()x+h)− − g()x)h.{displaystyle lim _{hto 0}b{frac {g(x+h)-f(x)}{h}=blim _{hto 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}}} {h}}

Con esto, podemos volver a aplicar la ley límite para la suma de límites, ya que sabemos que limh→ → 0af()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}a{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} y limh→ → 0bg()x+h)− − g()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}b{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}} Ambos existen individualmente. Desde aquí, podemos volver directamente al derivado en el que estábamos trabajando.

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h⋮ ⋮ =limh→ → 0()af()x+h)− − f()x)h+bg()x+h)− − g()x)h)=limh→ → 0()af()x+h)− − f()x)h)+limh→ → 0()bg()x+h)− − g()x)h)=alimh→ → 0()f()x+h)− − f()x)h)+blimh→ → 0()g()x+h)− − g()x)h)=af.. ()x)+bg.. ()x){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {cH} {cH} {cH} {g} {cH} {c}}gcHcH}} {gc}ccHc}}}}}}cHcccH00}ccccH00}cH00}cH00}cH00}cHcH00}cH00cH00}cH00}}cccH00}}}cH00}}cH00}ccH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}}}cH00} {hh}g}g}g}g}g}g}g}cH}g}cH}g} {cH}cH} {cH}cH} {cH} {cH}}g}g}g}g}g}g}cHcHcHcH}cH}cH}cHcH}cH}cH}cH}cH}cHcHcHcH}cHcHcHcHcHcHcHcHcH}cH}cHcH}cHcH}cHcH}cHcHcHcHcHcHcHcH}cHcHcHcHcHcHcHcHcH}cHcH

j.. ()x)=af.. ()x)+bg.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=af^{prime }(x)+bg^{prime }(x)}

Suma

Vamos f,g{displaystyle f,g} ser funciones. Vamos j{displaystyle j} ser una función, donde j{displaystyle j} se define sólo cuando f{displaystyle f} y g{displaystyle g} ambos están definidos. (En otras palabras, el dominio de j{displaystyle j} es la intersección de los dominios de f{displaystyle f} y g{displaystyle g}.) Vamos x{displaystyle x} estar en el dominio de j{displaystyle j}. Vamos j()x)=f()x)+g()x){displaystyle j(x)=f(x)+g(x)}.

Queremos probarlo. j.. ()x)=f.. ()x)+g.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=f^{prime }(x)+g^{prime }(x)}.

Por definición, podemos ver que

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h=limh→ → 0()f()x+h)+g()x+h))− − ()f()x)+g()x))h=limh→ → 0f()x+h)+g()x+h)− − f()x)− − g()x)h=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)+g()x+h)− − g()x)h=limh→ → 0()f()x+h)− − f()x))+()g()x+h)− − g()x))h=limh→ → 0()f()x+h)− − f()x)h+g()x+h)− − g()x)h){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f}f}cHcHg} {cH}gg}gcHcH0} {gcH0}cH00}}}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00cH00cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH00cH00cH00cH00}cH00}cH00}cH00}cH00cH00}cH00}cH00}cH {hf} {h} {h}g} {h}g} {h}g} {h}g}}f}} {h}}f}} {h}g} {h} {h} {h} {h}g}} {h} {h} {h}} {h} {h} {h}g} {h} {h} {h}}g}}g}}}} {h}g}g}}g}g}g}g}g}g}g}g} {h} {h}g}g}g}g}g}g}g}g}g}g}g}g}g}}}}}}}}}}}g}}}}}}ggggg}}}}}g}}}}g}g}gg}g}g}g}}}}}}}}}

limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}

f.. ()x)=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle f^{prime }(x)=lim _{hrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}}

g.. ()x)=limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h{textstyle g^{prime }(x)=lim _{hrightarrow 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}}

f.. ()x){displaystyle f^{prime }(x)}

g.. ()x){displaystyle g^{prime }(x)}

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h⋮ ⋮ =limh→ → 0()f()x+h)− − f()x)h+g()x+h)− − g()x)h)=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h+limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h=f.. ()x)+g.. ()x){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}} {f}f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}} { {fnhrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}+lim _{hrightarrow 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}\\=f^{prime }(x)+g^{prime }(x)end{aligned}}}}}}}}

Así, hemos demostrado lo que queríamos mostrar, que: j.. ()x)=f.. ()x)+g.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=f^{prime }(x)+g^{prime }(x)}.

Diferencia

Vamos f,g{displaystyle f,g} ser funciones. Vamos j{displaystyle j} ser una función, donde j{displaystyle j} se define sólo cuando f{displaystyle f} y g{displaystyle g} ambos están definidos. (En otras palabras, el dominio de j{displaystyle j} es la intersección de los dominios de f{displaystyle f} y g{displaystyle g}.) Vamos x{displaystyle x} estar en el dominio de j{displaystyle j}. Vamos j()x)=f()x)− − g()x){displaystyle j(x)=f(x)-g(x)}.

Queremos probarlo. j.. ()x)=f.. ()x)− − g.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=f^{prime }(x)-g^{prime }(x)}.

Por definición, podemos ver que:

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h=limh→ → 0()f()x+h)− − ()g()x+h))− − ()f()x)− − g()x))h=limh→ → 0f()x+h)− − g()x+h)− − f()x)+g()x)h=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)− − g()x+h)+g()x)h=limh→ → 0()f()x+h)− − f()x))+()− − g()x+h)+g()x))h=limh→ → 0()f()x+h)− − f()x))− − ()g()x+h)− − g()x))h=limh→ → 0()f()x+h)− − f()x)h− − g()x+h)− − g()x)h){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}f}}f}f}f}cHf}cHcHcH00} {hf} {h} {h} {h}g} {h}g} {h}g} {h}g} {h}g} {h}g}} {h}h} {h}h}h} {h}h} {h}h} {h}h}h} {h} {h}h}h}h}h}h}}h}

Para utilizar la ley para la diferencia de límites aquí, necesitamos demostrar que los límites individuales, limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}} y limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}} Ambos existen. Por definición, f.. ()x)=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle f^{prime }(x)=lim _{hrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}} y eso g.. ()x)=limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h{textstyle g^{prime }(x)=lim _{hrightarrow 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}}, por lo que estos límites existen cuando los derivados f.. ()x){displaystyle f^{prime }(x)} y g.. ()x){displaystyle g^{prime }(x)} existen. Así que, asumiendo que los derivados existen, podemos continuar la derivación anterior

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h⋮ ⋮ =limh→ → 0()f()x+h)− − f()x)h− − g()x+h)− − g()x)h)=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h− − limh→ → 0g()x+h)− − g()x)h=f.. ()x)− − g.. ()x){fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {f} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f}} {f} {f}}} {f}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {c}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}} {f} {f}} {f}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}} {fnhrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}lim _{hrightarrow 0}{frac {g(x+h)-g(x)}{h}\\=f^{prime }(x)-g^{end{aligned}}}}}} {}}}}} {

Así, hemos demostrado lo que queríamos mostrar, que: j.. ()x)=f.. ()x)− − g.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=f^{prime }(x)-g^{prime }(x)}.

Coeficiente constante

Vamos f{displaystyle f} ser una función. Vamos a▪ ▪ R{displaystyle ain mathbb {R}; a{displaystyle a} será el coeficiente constante. Vamos j{displaystyle j} ser una función, donde j se define solamente donde f{displaystyle f} se define. (En otras palabras, el dominio de j{displaystyle j} es igual al dominio de f{displaystyle f}.) Vamos x{displaystyle x} estar en el dominio de j{displaystyle j}. Vamos j()x)=af()x){displaystyle j(x)=af(x)}.

Queremos probarlo. j.. ()x)=af.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=af^{prime }(x)}.

Por definición, podemos ver que:

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h=limh→ → 0af()x+h)− − af()x)h=limh→ → 0a()f()x+h)− − f()x))h=limh→ → 0af()x+h)− − f()x)h{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

Ahora, para usar una ley límite para coeficientes constantes para mostrar que

limh→ → 0af()x+h)− − f()x)h=alimh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{displaystyle lim _{hrightarrow 0}a{frac {f(x+h)-f(x)}{h}=alim _{hrightarrow ¿Qué?

limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

f.. ()x)=limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle f^{prime }(x)=lim _{hrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}}

f.. ()x){displaystyle f^{prime }(x)}

limh→ → 0f()x+h)− − f()x)h{textstyle lim _{hrightarrow 0}{frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

Así, si asumimos que f.. ()x){displaystyle f^{prime }(x)} existe, podemos usar la ley límite y continuar nuestra prueba.

j.. ()x)=limh→ → 0j()x+h)− − j()x)h⋮ ⋮ =limh→ → 0af()x+h)− − f()x)h=alimh→ → 0f()x+h)− − f()x)h=af.. ()x){displaystyle {begin{aligned}j^{prime }(x) â=lim _{hrightarrow 0}{frac {j(x+h)-j(x)}{h}\\\;;vdots \lim _{hrightarrow 0}a{frac} {f} {h}}}} {f}}}}}}}}f}}}}}}}f}}cccccccccc] ¿Qué? {fnMicroc {f(x+h)-f(x)} {h}\\\fnMicrosoft {f}(x)\end{aligned}}}

Así, hemos demostrado que cuando j()x)=af()x){displaystyle j(x)=af(x)}, tenemos j.. ()x)=af.. ()x){displaystyle j^{prime }(x)=af^{prime }(x)}.