Linea secante

En geometría, una secante es una línea que corta una curva en un mínimo de dos puntos distintos. La palabra secante proviene de la palabra latina secare, que significa cortar. En el caso de un círculo, una secante corta al círculo exactamente en dos puntos. Una cuerda es el segmento de recta determinado por los dos puntos, es decir, el intervalo sobre la secante cuyos extremos son los dos puntos.

Círculos

Líneas comunes y segmentos de línea en un círculo, incluyendo un secant

Una línea recta puede intersecar un círculo en cero, uno o dos puntos. Una línea con intersecciones en dos puntos se llama línea secante, en un punto línea tangente y en ningún punto una línea exterior. Una cuerda es el segmento de línea que une dos puntos distintos de un círculo. Por tanto, una cuerda está contenida en una única línea secante y cada línea secante determina una única cuerda.

En los rigurosos tratamientos modernos de la geometría plana, los resultados que parecen obvios y fueron asumidos (sin declaraciones) por Euclides en su tratamiento, generalmente se prueban.

Por ejemplo, Theorem (Elementary Circular Continuity)Si C{displaystyle {fnMithcal}} es un círculo y l l {displaystyle ell } una línea que contiene un punto A que está dentro C{displaystyle {fnMithcal}} y un punto B que está fuera de C{displaystyle {fnMithcal}} entonces l l {displaystyle ell } es una línea de secant C{displaystyle {fnMithcal}}.

En algunas situaciones, expresar los resultados en términos de líneas secantes en lugar de acordes puede ayudar a unificar las declaraciones. Como ejemplo de esto considere el resultado:

Si dos líneas de secant contienen acordes AB y CD en un círculo e intersecta en un punto P que no está en el círculo, entonces las longitudes del segmento de línea satisfacen AP⋅PB = CP⋅PD.

Si el punto P está dentro del círculo, esto es Euclid III.35, pero si el punto está fuera del círculo, el resultado no está contenido en los Elementos. Sin embargo, Robert Simson, siguiendo a Christopher Clavius, demostró este resultado, a veces llamado teorema de las secantes que se cruzan, en sus comentarios sobre Euclides.

Curvas

Para curvas más complicadas que simples círculos, surge la posibilidad de que una línea que interseque una curva en más de dos puntos distintos. Algunos autores definen una recta secante a una curva como una recta que corta a la curva en dos puntos distintos. Esta definición deja abierta la posibilidad de que la línea pueda tener otros puntos de intersección con la curva. Cuando se expresa de esta manera, las definiciones de una línea secante para círculos y curvas son idénticas y la posibilidad de puntos de intersección adicionales simplemente no ocurre para un círculo.

Secantes y tangentes

Las secantes se pueden usar para aproximar la línea tangente a una curva, en algún punto P, si existe. Defina una secante para una curva por dos puntos, P y Q, con P fija y Q variable. A medida que Q se acerca a P a lo largo de la curva, si la pendiente de la secante se acerca a un valor límite, entonces ese límite define la pendiente de la línea tangente en P. Las líneas secantes PQ son las aproximaciones a la línea tangente. En cálculo, esta idea es la definición geométrica de la derivada.

La línea tangente en el punto P es una línea secant de la curva

Una línea tangente a una curva en un punto P puede ser una línea secante a esa curva si interseca la curva en al menos un punto que no sea P. Otra forma de ver esto es darse cuenta de que ser una línea tangente en un punto P es una propiedad local, dependiendo solo en la curva en la vecindad inmediata de P, mientras que ser una línea secante es una propiedad global ya que todo el dominio de la función que produce la curva necesita ser examinada.

Conjuntos y n-secantes

El concepto de línea secante se puede aplicar en un entorno más general que el espacio euclidiano. Sea K un conjunto finito de k puntos en algún entorno geométrico. Una línea se denominará n-secante de K si contiene exactamente n puntos de K. Por ejemplo, si K es un conjunto de 50 puntos dispuestos en un círculo en el plano euclidiano, una línea que une dos de ellos sería ser de 2 secantes (o bisecantes) y una recta que pase por uno solo de ellos sería de 1 secante (o unisecante). Una unisecante en este ejemplo no necesita ser una línea tangente al círculo.

Esta terminología se usa a menudo en geometría de incidencia y geometría discreta. Por ejemplo, el teorema de la geometría de incidencia de Sylvester-Gallai establece que si n puntos de la geometría euclidiana no son colineales, entonces debe existir un 2-secante de ellos. Y el problema original de plantación de huertos de geometría discreta pide un límite en el número de 3-secantes de un conjunto finito de puntos.

La finitud del conjunto de puntos no es esencial en esta definición, siempre que cada línea pueda intersecar al conjunto solo en un número finito de puntos.