Línea (geometría)

En geometría, una línea recta, generalmente abreviada como línea, es un objeto infinitamente largo sin ancho, profundidad o curvatura, una idealización de objetos físicos como un una regla, una cuerda tensa o un rayo de luz. Las líneas son espacios de dimensión uno, que pueden estar incrustados en espacios de dimensión dos, tres o superior. La palabra línea también puede referirse, en la vida cotidiana, a un segmento de línea, que es parte de una línea delimitada por dos puntos (sus puntos finales).

Los Elementos de Euclides definen una línea recta como una "longitud sin anchura" que "se encuentra uniformemente con respecto a los puntos sobre sí mismo", e introdujo varios postulados como propiedades básicas no demostrables sobre las que se estableció el resto de la geometría. Línea euclidiana y Geometría euclidiana son términos introducidos para evitar confusión con generalizaciones introducidas desde finales del siglo XIX, como no euclidiana y proyectiva. y geometría afín.

Propiedades

En la geometría deductiva griega de los Elementos de Euclides, una línea general (ahora llamada curva) se define como una "longitud sin anchura&# 34;, y una línea recta (ahora llamada segmento de línea) se definió como una línea "que se encuentra uniformemente con los puntos sobre sí misma". Estas definiciones atraen a los lectores. experiencia física, basándose en términos que no están definidos en sí mismos, y nunca se hace referencia explícita a las definiciones en el resto del texto. En la geometría moderna, una línea suele tomarse como una noción primitiva con propiedades dadas por axiomas, o bien se define como un conjunto de puntos que obedecen a una relación lineal, por ejemplo cuando los números reales se consideran primitivos y la geometría se establece analíticamente en términos de coordenadas numéricas.

En una formulación axiomática de la geometría euclidiana, como la de Hilbert (los matemáticos modernos añadieron los axiomas originales de Euclides para llenar los vacíos lógicos percibidos), se afirma que una línea tiene ciertas propiedades que la relacionan con otras líneas y puntos. Por ejemplo, para dos puntos distintos, hay una línea única que los contiene y dos líneas distintas se cruzan como máximo en un punto. En dos dimensiones (es decir, el plano euclidiano), dos líneas que no se cruzan se llaman paralelas. En dimensiones superiores, dos líneas que no se cruzan son paralelas si están contenidas en un plano, o sesgadas si no lo están.

En un plano euclidiano, una línea se puede representar como un límite entre dos regiones. Cualquier colección de un número finito de líneas divide el plano en polígonos convexos (posiblemente ilimitados); esta partición se conoce como disposición de líneas.

En dimensiones superiores

En el espacio tridimensional, una ecuación de primer grado en las variables x, y y z define un plano, por lo que dos de esas variables Las ecuaciones, siempre que los planos a los que dan lugar no sean paralelos, definen una recta que es la intersección de los planos. De manera más general, en el espacio n-dimensional n-1, las ecuaciones de primer grado en las variables de coordenadas n definen una línea en condiciones adecuadas.

En el espacio euclidiano más general, Rⁿ (y de manera análoga en cualquier otro espacio afín), la línea L pasando por dos puntos diferentes a y b es el subconjunto

$${displaystyle L=left{(1-t),a+tbmid tin mathbb {R} right}$$

Puntos colineales

Se dice que tres puntos son colineales si se encuentran en la misma recta. Tres puntos normalmente determinan un plano, pero en el caso de tres puntos colineales esto no sucede.

En coordenadas afines, en un espacio n-dimensional, los puntos X = (x₁, x₂,..., x_n), Y = (y₁, y₂,..., y _n), y Z = (z₁, z₂,..., z_n) son colineales si la matriz

$${displaystyle {begin{bmatrix}1 limitx_{1} limitx_{2} ¿Qué? Y...$$

Equivalentemente, para tres puntos en un plano, los puntos son colineales si y sólo si la pendiente entre un par de puntos es igual a la pendiente entre cualquier otro par de puntos (en cuyo caso la pendiente entre el par de puntos restantes será igual a la otras pendientes). Por extensión, los puntos k en un plano son colineales si y sólo si cualquier (k–1) par de puntos tiene las mismas pendientes por pares.

En geometría euclidiana, la distancia euclidiana d(a,b) entre dos puntos a y < i>b se puede utilizar para expresar la colinealidad entre tres puntos mediante:

Los puntos a, b y c son collinear si y sólo si d()x,a) d()c,a) y d()x,b) d()c,b) implica x = c.

Sin embargo, existen otras nociones de distancia (como la distancia de Manhattan) para las cuales esta propiedad no es cierta.

En las geometrías donde el concepto de línea es una noción primitiva, como puede ser el caso en algunas geometrías sintéticas, se necesitan otros métodos para determinar la colinealidad.

Tipos

En cierto sentido, todas las líneas en la geometría euclidiana son iguales, en el sentido de que, sin coordenadas, no se pueden distinguir unas de otras. Sin embargo, las líneas pueden desempeñar funciones especiales con respecto a otros objetos de la geometría y dividirse en tipos según esa relación. Por ejemplo, con respecto a una cónica (un círculo, elipse, parábola o hipérbola), las líneas pueden ser:

• líneas tangentes, que tocan el cónico en un solo punto;
• líneas secant, que intersectan el cónico en dos puntos y pasan por su interior;
• líneas exteriores, que no se encuentran con el cónico en cualquier punto del plano euclidiano; o
• a directrix, cuya distancia desde un punto ayuda a determinar si el punto está en el cónico.
• una línea de coordenadas, una dimensión lineal de coordenadas

En el contexto de determinar el paralelismo en la geometría euclidiana, una transversal es una línea que cruza otras dos líneas que pueden o no ser paralelas entre sí.

Para curvas algebraicas más generales, las líneas también podrían ser:

• i- líneas de consagración, reuniendo la curva en i puntos contados sin multiplicidad, o
• asintotes, que una curva se acerca arbitrariamente sin tocarla.

Con respecto a los triángulos tenemos:

• la línea Euler,
• las líneas Simson, y
• líneas centrales.

Para un cuadrilátero convexo con como máximo dos lados paralelos, la línea de Newton es la línea que conecta los puntos medios de las dos diagonales.

Para un hexágono con vértices sobre una cónica tenemos la línea de Pascal y, en el caso especial donde la cónica es un par de líneas, tenemos la línea de Pappus.

Las líneas paralelas son líneas en el mismo plano que nunca se cruzan. Las líneas que se cruzan tienen un único punto en común. Las líneas coincidentes coinciden entre sí: cada punto que está en una de ellas también está en la otra.

Las líneas perpendiculares son líneas que se cruzan en ángulos rectos.

En el espacio tridimensional, las líneas oblicuas son líneas que no están en el mismo plano y, por lo tanto, no se cruzan entre sí.

En sistemas axiomáticos

El concepto de línea a menudo se considera en geometría como una noción primitiva en los sistemas axiomáticos, lo que significa que no está definida por otros conceptos. En aquellas situaciones en las que una línea es un concepto definido, como en la geometría de coordenadas, algunas otras ideas fundamentales se toman como primitivas. Cuando el concepto de línea es primitivo, las propiedades de las líneas están dictadas por los axiomas que deben satisfacer.

En un tratamiento no axiomático o axiomático simplificado de la geometría, el concepto de una noción primitiva puede ser demasiado abstracto para abordarlo. En esta circunstancia, es posible proporcionar una descripción o imagen mental de una noción primitiva, para dar una base sobre la cual construir la noción sobre la cual se basaría formalmente la (axiomas no declarados. Algunos autores pueden referirse a descripciones de este tipo como definiciones en este estilo informal de presentación. Estas no son definiciones verdaderas y no podrían usarse en pruebas formales de declaraciones. La "definición" La línea de los Elementos de Euclides entra en esta categoría. Incluso en el caso de que se esté considerando una geometría específica (por ejemplo, la geometría euclidiana), no existe un acuerdo generalmente aceptado entre los autores sobre cuál debería ser una descripción informal de una línea cuando el tema no se trata formalmente.

Definición

Ecuación lineal

Las líneas en un plano cartesiano o, más generalmente, en coordenadas affine, se caracterizan por ecuaciones lineales. Más precisamente, cada línea ${displaystyle L.$ (incluyendo líneas verticales) es el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas (x, Sí.) satisfacer una ecuación lineal; es decir,

$${displaystyle L={(x,y)mid ax+by=c}$$

Se puede suponer además que c = 1 o c = 0< /span>, dividiendo todo por c si no es cero.

Hay muchas formas variantes de escribir la ecuación de una línea y todas pueden convertirse de una a otra mediante manipulación algebraica. El formulario anterior a veces se denomina formulario estándar. Si el término constante se coloca a la izquierda, la ecuación queda

$${displaystyle ax+by-c=0,}$$

Estos formularios generalmente se nombran por el tipo de información (datos) sobre la línea que se necesita para escribir el formulario. Algunos de los datos importantes de una línea son su pendiente, la intersección con el eje x, los puntos conocidos en la línea y la intersección con el eje y.

La ecuación de la línea pasando por dos puntos diferentes ${displaystyle P_{0}(x_{0},y_{0}}$ y ${displaystyle P_{1}(x_{1},y_{1}}$ puede ser escrito como

$${displaystyle (y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0}). }$$

$${displaystyle y=(x-x_{0}),{frac {y_{1}-y_{0} {x_{1}-x_{0}}+y_{0}}$$

$${displaystyle y=x,{frac {y_{1}-y_{0} {x_{1}-x_{0}}+{frac} {x_{1}-x_{0}},}$$

$${displaystyle Y=mx+b}$$

• m es la pendiente o gradiente de la línea.
• b es el intercepto y de la línea.
• x es la variable independiente de la función Sí. = f()x).

La pendiente de la línea por puntos ${displaystyle A(x_{a},y_{a}}$ y ${displaystyle B(x_{b},y_{b}}$, cuando ${displaystyle x_{a}neq x_{b}$, se da por ${displaystyle m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a}) }$ y la ecuación de esta línea se puede escribir ${displaystyle y=m(x-x_{a})+y_{a}$.

Como nota, las líneas en tres dimensiones también pueden describirse como soluciones simultáneas de dos ecuaciones lineales.

$${displaystyle a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0}$$

$${displaystyle a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0}$$

${displaystyle (a_{1},b_{1},c_{1}}$

${displaystyle (a_{2},b_{2},c_{2}}$

${displaystyle a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}$

${displaystyle t=0}$

Ecuación paramétrica

Las ecuaciones paramétricas también se utilizan para especificar líneas, particularmente en aquellas en tres dimensiones o más porque en más de dos dimensiones las líneas no pueden describirse mediante una sola ecuación lineal.

En tres dimensiones, las líneas se describen frecuentemente mediante ecuaciones paramétricas:

$${displaystyle {begin{aligned}x limit=x_{0}+at\y simultáneamente=y_{0}+bt\\z pulmonar=z_{0}+ctend{aligned}}$$

• x, Sí., y z son todas las funciones de la variable independiente t que va más allá de los números reales.
• ()x₀, Sí.₀, z₀) es cualquier punto en la línea.
• a, b, y c están relacionados con la pendiente de la línea, tal que el vector de dirección (a, b, c) es paralelo a la línea.

Las ecuaciones paramétricas para líneas de dimensiones superiores son similares en que se basan en la especificación de un punto en la línea y un vector de dirección.

Forma normal de Hesse

La forma normal (también llamada forma normal de Hesse, en honor al matemático alemán Ludwig Otto Hesse), se basa en el segmento normal para una recta dada, que se define como el segmento de recta trazado desde el origen perpendicular a la recta. Este segmento une el origen con el punto más cercano de la recta al origen. La forma normal de la ecuación de una recta en el plano viene dada por:

$${displaystyle xcos varphi +ysin varphi -p=0,}$$

${displaystyle varphi }$

${displaystyle ax+by=c}$

$${displaystyle {frac {c} {fnh00}{sqrt {a^{2}+b^{2}}}$$

A diferencia de las formas de intercepción de pendiente e interceptación, esta forma puede representar cualquier línea, pero también requiere sólo dos parámetros finitos, ${displaystyle varphi }$ y p, para ser especificado. Si p ■ 0Entonces ${displaystyle varphi }$ es un modulo único 2π. Por otro lado, si la línea es a través del origen (c = p = 0), una gota el c/ TorturacSilencio término a cargo ${displaystyle sin varphi }$ y ${displaystyle cos varphi }$, y sigue que ${displaystyle varphi }$ sólo se define modulo π.

Otras representaciones

Vectores

La ecuación vectorial de la línea a través de los puntos A y B es dada por ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {OA} +lambda ,mathbf {AB}$ (donde λ es un escalar).

Si a vector OA y b vector OB, entonces la ecuación de la línea se puede escribir: ${displaystyle mathbf {r} =mathbf {a} "Lambda"$.

Un rayo que comienza en el punto A se describe limitando λ. Un rayo se obtiene si λ ≥ 0, y el rayo opuesto proviene de λ ≤ 0.

Coordenadas polares

En un plano cartesiano, coordenadas polares ()r, Silencio) están relacionados con las coordenadas cartesianas por las ecuaciones paramétricas:

$${displaystyle x=rcos thetaquad y=rsin theta.}$$

En coordenadas polares, la ecuación de una línea que no pasa por el origen (el punto con coordenadas (0, 0)) se puede escribir

$${displaystyle r={frac {cos(theta -varphi)}}}$$

${displaystyle varphi -pi /2 significadotheta se hizo varphi +pi /2.}$

${displaystyle varphi }$

Puede ser útil para expresar la ecuación en términos del ángulo ${displaystyle alpha =varphi +pi /2}$ entre x- el eje y la línea. En este caso, la ecuación se convierte

$${displaystyle r={frac {fnMicrosoft Sans Serif}}}$$

${displaystyle 0 realizadasthetaalpha +pi}$

Estas ecuaciones pueden derivarse de la forma normal de la ecuación de línea estableciendo ${displaystyle x=rcos theta}$ y ${displaystyle y=rsin theta}$ y luego aplicar la diferencia de ángulo de identidad para seno o cosino.

Estas ecuaciones también se pueden probar geométricamente aplicando definiciones de seno y coseno de triángulo rectángulo al triángulo rectángulo que tiene un punto de la línea y el origen como vértices, y la línea y su perpendicular que pasa por el origen como lados.

Las formas anteriores no se aplican para una línea que pasa por el origen, pero se puede escribir una fórmula más simple: las coordenadas polares ${displaystyle (r,theta)}$ de los puntos de una línea pasando por el origen y haciendo un ángulo ${displaystyle alpha }$ con el x-Eje, son los pares ${displaystyle (r,theta)}$ tales que

$${displaystyle rgeq 0,qquad {text{and}quad theta =alpha quad {text{or}quad theta =alpha +pi}$$

Generalizaciones de la línea euclidiana

En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente ligado a la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada, pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto de el conjunto de puntos que se encuentran sobre él.

Cuando una geometría se describe mediante un conjunto de axiomas, la noción de línea generalmente queda sin definir (lo que se denomina objeto primitivo). Las propiedades de las líneas están entonces determinadas por los axiomas que se refieren a ellas. Una ventaja de este enfoque es la flexibilidad que brinda a los usuarios de la geometría. Así, en geometría diferencial, una línea puede interpretarse como una geodésica (el camino más corto entre puntos), mientras que en algunas geometrías proyectivas, una línea es un espacio vectorial bidimensional (todas las combinaciones lineales de dos vectores independientes). Esta flexibilidad también se extiende más allá de las matemáticas y, por ejemplo, permite a los físicos pensar que la trayectoria de un rayo de luz es una línea.

Geometría proyectiva

En muchos modelos de geometría proyectiva, la representación de una línea rara vez se ajusta a la noción de "curva recta" como se visualiza en la geometría euclidiana. En la geometría elíptica vemos un ejemplo típico de esto. En la representación esférica de la geometría elíptica, las líneas están representadas por grandes círculos de una esfera con puntos diametralmente opuestos identificados. En un modelo diferente de geometría elíptica, las líneas están representadas por planos euclidianos que pasan por el origen. Aunque estas representaciones son visualmente distintas, satisfacen todas las propiedades (como dos puntos que determinan una línea única) que las convierten en representaciones adecuadas para líneas en esta geometría.

La "brevez" y "rectitud" de una línea, interpretada como la propiedad de que la distancia a lo largo de la línea entre dos de sus puntos cualesquiera se minimiza (ver desigualdad del triángulo), puede generalizarse y conduce al concepto de geodésicas en espacios métricos.

Extensiones

Rayo

Dada una línea y cualquier punto A en ella, podemos considerar que A descompone esta línea en dos partes. Cada una de estas partes se llama rayo y el punto A se llama punto inicial. También se le conoce como media línea, un semiespacio unidimensional. El punto A se considera miembro del rayo. Intuitivamente, un rayo consta de aquellos puntos en una línea que pasa por A y continúa indefinidamente, comenzando en A, en una sola dirección a lo largo de la línea. Sin embargo, para utilizar este concepto de rayo en pruebas se requiere una definición más precisa.

Dados los puntos distintos A y B, determinan un rayo único con el punto inicial A. Como dos puntos definen una línea única, este rayo consta de todos los puntos entre A y B (incluidos A y B). i>) y todos los puntos C en la recta que pasa por A y B de modo que B esté entre A y C. Esto, a veces, también se expresa como el conjunto de todos los puntos C en la recta determinada por A y B tales que A no está entre B y C. Un punto D, en la recta determinada por A y B pero no en el rayo con punto inicial A determinado por B, determinará otro rayo con punto inicial A. Con respecto al rayo AB, el rayo AD se denomina rayo opuesto.

Así, diríamos que dos puntos diferentes, A y B, definen una recta y una descomposición de esta recta en la unión disjunta de un segmento abierto (A, B) y dos rayos, BC y AD (el punto D no está dibujado en el diagrama, sino que está a la izquierda de A en la recta AB). Estos no son rayos opuestos ya que tienen puntos iniciales diferentes.

En la geometría euclidiana, dos rayos con un extremo común forman un ángulo.

La definición de un rayo depende de la noción de intermediación de puntos en una línea. De ello se deduce que los rayos existen sólo para geometrías para las que existe esta noción, típicamente geometría euclidiana o geometría afín sobre un campo ordenado. Por otra parte, los rayos no existen en la geometría proyectiva ni en una geometría sobre un campo no ordenado, como los números complejos o cualquier campo finito.

Segmento de línea

Un segmento de línea es una parte de una línea que está limitada por dos puntos finales distintos y contiene cada punto de la línea entre sus puntos finales. Dependiendo de cómo se defina el segmento de línea, cualquiera de los dos puntos finales puede o no ser parte del segmento de línea. Dos o más segmentos de línea pueden tener algunas de las mismas relaciones que las líneas, como ser paralelos, intersecarse o sesgarse, pero a diferencia de las líneas, pueden no ser ninguna de estas relaciones, si son coplanares y no se cruzan o son colineales.

Recta numérica

Un punto en la recta numérica corresponde a un número real y viceversa. Por lo general, los números enteros están espaciados uniformemente en la línea, con los números positivos a la derecha y los números negativos a la izquierda. Como extensión del concepto, se puede dibujar una línea imaginaria que represente números imaginarios perpendicular a la recta numérica en el cero. Las dos líneas forman el plano complejo, una representación geométrica del conjunto de números complejos.