Límite unilateral

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Límite de una función acercando un punto de valor desde valores inferiores o superiores al punto de valor

La función ${displaystyle f(x)=x^{2}+operatorname {sign} (x),}$ Donde ${displaystyle operatorname {sign} (x)}$ denota la función de signo, tiene un límite izquierdo $-1,$ un límite derecho ${displaystyle +1,}$ y un valor de la función ${displaystyle 0}$ en el punto $x=0.$

En cálculo, un límite unilateral se refiere a uno de los dos límites de una función $f(x)$ de una variable real $x$ como $x$ aborda un punto especificado ya sea de la izquierda o de la derecha.

El límite como $x$ disminuciones del valor aproximado $a$ () $x$ enfoques $a$ "de la derecha" o "de arriba") se puede denotar:

{displaystyle lim _{xto a^{+}}f(x)quad {text{ or }}quad lim _{x,downarrow ,a},f(x)quad {text{ or }}quad lim _{xsearrow a},f(x)quad {text{ or }}quad f(x+)}

El límite como $x$ aumentos del valor $a$ () $x$ enfoques $a$ "de la izquierda" o "de abajo") se puede denotar:

{displaystyle lim _{xto a^{-}}f(x)quad {text{ or }}quad lim _{x,uparrow ,a},f(x)quad {text{ or }}quad lim _{xnearrow a},f(x)quad {text{ or }}quad f(x-)}

Si el límite $f(x)$ como $x$ enfoques $a$ existe entonces los límites de la izquierda y de la derecha existen y son iguales. En algunos casos en que el límite

{displaystyle lim _{xto a}f(x)}

x

a

Es posible que exista exactamente uno de los dos límites unilaterales (mientras que el otro no existe). También es posible que no exista ninguno de los dos límites unilaterales.

Definición formal

Definición

Si $I$ representa algún intervalo que está contenido en el dominio de $f$ y si $a$ es un punto en $I$ entonces el límite del lado derecho como $x$ enfoques $a$ puede definirse rigurosamente como el valor $R$ que satisface:

0;{text{ there exists some }}delta >0;{text{ such that for all }}xin I,{text{ if }};0<x-a<delta {text{ then }}|f(x)-R|para todosε ε ■0existeδ δ ■0tal que para todosx▪ ▪ I,si0.x- - a.δ δ entoncesSilenciof()x)- - RSilencio.ε ε ,{displaystyle {text{for all }}varepsilon œ0;{text{ there exists some }}delta \sqrt0;{text{ such that for all }}xin I,{text{ if }};0cantax-a il {delta {text{ then }}}} 0;{text{ there exists some }}delta >0;{text{ such that for all }}xin I,{text{ if }};0<x-a<delta {text{ then }}|f(x)-R|

x

a

L

0;{text{ there exists some }}delta >0;{text{ such that for all }}xin I,{text{ if }};0<a-x<delta {text{ then }}|f(x)-L|para todosε ε ■0existeδ δ ■0tal que para todosx▪ ▪ I,si0.a- - x.δ δ entoncesSilenciof()x)- - LSilencio.ε ε .{displaystyle {text{for all }}varepsilon \sqrt0;{text{ there exists some }}delta \sqrt0;{text{ such that for all }}xin I,{text{ if }};0cantadadelta {text{ then }}}}apreviaf(x)-L resististevarepsilon. 0;{text{ there exists some }}delta >0;{text{ such that for all }}xin I,{text{ if }};0<a-x<delta {text{ then }}|f(x)-L|

Podemos representar lo mismo de manera más simbólica, de la siguiente manera.

Vamos $I$ representar un intervalo, donde ${displaystyle Isubseteq mathrm {domain} (f)}$ , y ${displaystyle ain I}$ .

<math alttext="{displaystyle lim _{xto a^{+}}f(x)=R~~~iff ~~~(forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,(0<x-a<delta longrightarrow |f(x)-R|limx→ → a+f()x)=R⟺ ⟺ ()О О ε ε ▪ ▪ R+,∃ ∃ δ δ ▪ ▪ R+,О О x▪ ▪ I,()0.x− − a.δ δ restablecimiento restablecimiento Silenciof()x)− − RSilencio.ε ε )){displaystyle lim _{xto a^{+}f(x)=R~~iff ~~~(forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,(0 categorx-aorienteddelta longx<img alt="{displaystyle lim _{xto a^{+}}f(x)=R~~~iff ~~~(forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,(0<x-a<delta longrightarrow |f(x)-R|

<math alttext="{displaystyle lim _{xto a^{-}}f(x)=L~~~iff ~~~(forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,(0<a-x<delta longrightarrow |f(x)-L|limx→ → a− − f()x)=L⟺ ⟺ ()О О ε ε ▪ ▪ R+,∃ ∃ δ δ ▪ ▪ R+,О О x▪ ▪ I,()0.a− − x.δ δ restablecimiento restablecimiento Silenciof()x)− − LSilencio.ε ε )){displaystyle lim _{xto a^{-}f(x)=L~~iff ~~~(toall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,(0cantada)delta longx<img alt="{displaystyle lim _{xto a^{-}}f(x)=L~~~iff ~~~(forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,(0<a-x<delta longrightarrow |f(x)-L|

Intuición

En comparación con la definición formal del límite de una función en un punto, el límite unilateral (como sugiere el nombre) solo trata con valores de entrada a un lado del valor de entrada aproximado.

Como referencia, la definición formal del límite de una función en un punto es la siguiente:

<math alttext="{displaystyle lim _{xto a}f(x)=L~~~iff ~~~forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,0<|x-a|<delta implies |f(x)-L|limx→ → af()x)=L⟺ ⟺ О О ε ε ▪ ▪ R+,∃ ∃ δ δ ▪ ▪ R+,О О x▪ ▪ I,0.Silenciox− − aSilencio.δ δ ⟹ ⟹ Silenciof()x)− − LSilencio.ε ε {displaystyle lim _{xto a}f(x)=L~~iff ~~~forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,0 obedeció la respuesta a la respuesta hechadelta implies Silenciof(x)-L eterna realizadavarepsilon }<img alt="{displaystyle lim _{xto a}f(x)=L~~~iff ~~~forall varepsilon in mathbb {R} _{+},exists delta in mathbb {R} _{+},forall xin I,0<|x-a|<delta implies |f(x)-L|

Para definir un límite unilateral, debemos modificar esta desigualdad. Note que la distancia absoluta entre $x$ y $a$ es

{displaystyle |x-a|=|(-1)(-x+a)|=|(-1)(a-x)|=|(-1)||a-x|=|a-x|}

Para el límite de la derecha, queremos $x$ el derecho de $a$ , lo que significa que $<math alttext="{displaystyle aa.x{displaystyle a wonx} <img alt="{displaystyle a$ Así que ${displaystyle x-a}$ es positivo. De arriba, ${displaystyle x-a}$ es la distancia entre $x$ y $a$ . Queremos atar esta distancia por nuestro valor de $delta$ , dando la desigualdad $<math alttext="{displaystyle x-ax- - a.δ δ {displaystyle x-a meantdelta } <img alt="{displaystyle x-a$ . Reunir las desigualdades $<math alttext="{displaystyle 00.x- - a{displaystyle 0 madex-a} <img alt="{displaystyle 0$ y $<math alttext="{displaystyle x-ax- - a.δ δ {displaystyle x-a meantdelta } <img alt="{displaystyle x-a$ y el uso de la propiedad transitoria de las desigualdades, tenemos la desigualdad compuesta $<math alttext="{displaystyle 0<x-a0.x- - a.δ δ {displaystyle 0 wonx-a 0} <img alt="{displaystyle 0<x-a$ .

Del mismo modo, para el límite de la izquierda, queremos $x$ para ser a la izquierda $a$ , lo que significa que $<math alttext="{displaystyle x x.a{displaystyle x realizadasa} <img alt="x$ . En este caso, es ${displaystyle a-x}$ que es positivo y representa la distancia entre $x$ y $a$ . De nuevo, queremos atar esta distancia por nuestro valor de $delta$ , que conduce a la desigualdad compuesta $<math alttext="{displaystyle 0<a-x0.a- - x.δ δ {displaystyle 0 realizadasa-x } <img alt="{displaystyle 0<a-x$ .

Ahora, cuando nuestro valor $x$ es en su intervalo deseado, esperamos que el valor de $f(x)$ es también dentro de su intervalo deseado. La distancia entre $f(x)$ y $L$ , el valor límite del límite lateral izquierdo, es ${displaystyle |f(x)-L|}$ . Del mismo modo, la distancia entre $f(x)$ y $R$ , el valor límite del límite lateral derecho, es ${displaystyle |f(x)-R|}$ . En ambos casos, queremos limitar esta distancia $varepsilon$ , así que obtenemos lo siguiente: $<math alttext="{displaystyle |f(x)-L|Silenciof()x)- - LSilencio.ε ε {displaystyle Silenciof(x)-L invisiblevarepsilon } <img alt="|f(x) - L|$ para el límite lateral izquierdo, y $<math alttext="{displaystyle |f(x)-R|Silenciof()x)- - RSilencio.ε ε {displaystyle Silenciof(x)-R invisiblevarepsilon } <img alt="{displaystyle |f(x)-R|$ para el límite lateral derecho.

Ejemplos

Ejemplo 1: Los límites de la izquierda y de la derecha ${displaystyle g(x):=-{frac {1}{x}}}$ como $x$ enfoques ${displaystyle a:=0}$ son

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}{-1/x}=+infty qquad {text{ and }}qquad lim _{xto 0^{+}}{-1/x}=-infty }

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}{-1/x}=+infty }

x

{displaystyle xto 0^{-}}

x to 0

x

<math alttext="{displaystyle xx.0{displaystyle x realizadas0} <img alt="x

{displaystyle -1/x}

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}{-1/x}}

+infty

-infty

x

{displaystyle 0}

{displaystyle lim _{xto 0^{+}}{-1/x}=-infty }

x

0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">x■0{displaystyle x confianza0}0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80d24be5f0eb4a9173da6038badc8659546021d0" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.591ex; height:2.176ex;"/>

x

x

{displaystyle 0}

{displaystyle -1/x}

{displaystyle lim _{xto 0^{+}}{-1/x}}

{displaystyle -infty.}

Ejemplo 2: Un ejemplo de una función con diferentes límites unilaterales es ${displaystyle f(x)={frac {1}{1+2^{-1/x}}},}$ (cf. imagen) donde el límite de la izquierda es ${displaystyle lim _{xto 0^{-}}f(x)=0}$ y el límite de la derecha es ${displaystyle lim _{xto 0^{+}}f(x)=1.}$ Para calcular estos límites, primero mostrar que

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}2^{-1/x}=infty qquad {text{ and }}qquad lim _{xto 0^{+}}2^{-1/x}=0}

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}{-1/x}=+infty {text{ and }}lim _{xto 0^{+}}{-1/x}=-infty }

{displaystyle lim _{xto 0^{+}}{frac {1}{1+2^{-1/x}}}={frac {1}{1+displaystyle lim _{xto 0^{+}}2^{-1/x}}}={frac {1}{1+0}}=1}

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}{frac {1}{1+2^{-1/x}}}=0}

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}1+2^{-1/x}=infty.}

{displaystyle lim _{xto 0^{-}}f(x)neq lim _{xto 0^{+}}f(x),}

{displaystyle lim _{xto 0}f(x)}

Relación con la definición topológica de límite

El límite unilateral a un punto $p$ corresponde a la definición general de límite, con el dominio de la función restringida a un lado, ya sea permitiendo que el dominio de la función sea un subconjunto del espacio topológico, o considerando un subespacio unilateral, incluyendo $p.$ Alternativamente, se puede considerar el dominio con una topología de intervalo medio abierto.

Did you mean:

Abel 's theorem

Did you mean:

A noteworthy theorem treating one-sided limits of certain power series at the boundaries of their intervals of convergence is Abel 's theorem.

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