Límite (topología)

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Todos los puntos no parte del interior de un subconjunto de un espacio topológico

Un conjunto (en azul claro) y su límite (en azul oscuro).

En topología y matemáticas en general, la frontera de un subconjunto $S$ de un espacio topológico $X$ es el conjunto de puntos en el cierre de $S$ no perteneciente al interior del $S$ . Un elemento de la frontera $S$ se llama punto límite de $S$ . El término operación fronteriza se refiere a encontrar o tomar el límite de un conjunto. Notas utilizadas para el límite de un conjunto $S$ incluir ${displaystyle operatorname {bd} (S),operatorname {fr} (S),}$ y $partial S$ . Algunos autores (por ejemplo Willard, en Topología general) utilizar el término frontera en lugar de límites en un intento de evitar confusión con una definición diferente utilizada en la topología algebraica y la teoría de los múltiples. A pesar de la aceptación generalizada del significado de los términos límite y frontera, a veces se han utilizado para referirse a otros conjuntos. Por ejemplo, Espacios métricos por E. T. Copson utiliza el límite del término para referirse a Hausdorff frontera, que se define como la intersección de un conjunto con su límite. Hausdorff también introdujo el término residuos, que se define como la intersección de un conjunto con el cierre de la frontera de su complemento.

Un componente conectado del límite de $S$ se denomina componente de límite de S.

Definiciones comunes

Hay varias definiciones equivalentes para los frontera de un subconjunto $Ssubseteq X$ de un espacio topológico $X,$ que será denotado ${displaystyle partial _{X}S,}$ ${displaystyle operatorname {Bd} _{X}S,}$ o simplemente $partial S$ si $X$ se entiende:

Es el cierre de $S$ menos el interior de $S$ dentro $X$ : ${displaystyle partial S~:=~{overline {S}}setminus operatorname {int} _{X}S}$ Donde ${displaystyle {overline {S}}=operatorname {cl} _{X}S}$ denota el cierre de $S$ dentro $X$ y ${displaystyle operatorname {int} _{X}S}$ denota el interior topológico de $S$ dentro $X.$
Es la intersección del cierre de $S$ con el cierre de su complemento: ${displaystyle partial S~:=~{overline {S}}cap {overline {(Xsetminus S)}}}$
Es el conjunto de puntos $pin X$ tal que cada barrio $p$ contiene al menos un punto $S$ y al menos un punto no $S$ : ${displaystyle partial S~:=~{pin X:{text{ for every neighborhood }}O{text{ of }}p, Ocap Sneq varnothing ,{text{ and }},Ocap (Xsetminus S)neq varnothing }.}$

A punto límite de un conjunto se refiere a cualquier elemento del límite de ese conjunto. El límite ${displaystyle partial _{X}S}$ definido arriba se llama a veces el conjunto frontera topológica para distinguirlo de otras nociones similares tales como el límite de un múltiples con el límite o el límite de un múltiples con esquinas, para nombrar sólo algunos ejemplos.

Propiedades

Cierre de un conjunto $S$ iguala la unión del conjunto con su límite:

{displaystyle {overline {S}}=Scup partial _{X}S}

{displaystyle {overline {S}}=operatorname {cl} _{X}S}

S

X.

{displaystyle partial _{X}S~:=~{overline {S}}cap {overline {(Xsetminus S)}},}

{displaystyle partial _{X}S}

X.

("Tricotomía") Dado cualquier subconjunto ${displaystyle Ssubseteq X,}$ cada punto $X$ mentiras en uno de los tres conjuntos ${displaystyle operatorname {int} _{X}S,partial _{X}S,}$ y ${displaystyle operatorname {int} _{X}(Xsetminus S).}$ Dicho de otra manera,

{displaystyle X~=~left(operatorname {int} _{X}Sright);cup ;left(partial _{X}Sright);cup ;left(operatorname {int} _{X}(Xsetminus S)right)}

X.

Un punto $pin X$ es un punto límite de un conjunto si y sólo si cada barrio de $p$ contiene al menos un punto en el conjunto y al menos un punto no en el conjunto. El límite del interior de un conjunto, así como el límite del cierre de un conjunto están ambos contenidos en el límite del conjunto.

Conceptual diagrama de Venn mostrando las relaciones entre diferentes puntos de un subconjunto $S$ de $mathbb{R} ^{n}.$ $A$ = conjunto de puntos límite de $S,$ $B=$ conjunto de puntos límite de $S,$ zona verde a la sombra = conjunto de puntos interiores de $S,$ zona amarilla a la sombra = conjunto de puntos aislados $S,$ áreas a la sombra negro = conjuntos vacíos. Cada punto $S$ es un punto interior o un punto límite. Además, cada punto de $S$ es un punto de acumulación o un punto aislado. Del mismo modo, cada punto límite de $S$ es un punto de acumulación o un punto aislado. Los puntos aislados son siempre puntos límite.

Ejemplos

Caracterizaciones y ejemplos generales

El límite de un conjunto es igual al límite del complemento del conjunto:

{displaystyle partial _{X}S=partial _{X}(Xsetminus S).}

Un juego $U$ es un subconjunto abierto denso $X$ si ${displaystyle partial _{X}U=Xsetminus U.}$

El interior de la frontera de un conjunto cerrado es el conjunto vacío. En consecuencia, el interior del límite del cierre de un conjunto es el conjunto vacío. El interior de la frontera de un conjunto abierto es también el conjunto vacío. En consecuencia, el interior de la frontera del interior de un conjunto es el conjunto vacío. En particular, si $Ssubseteq X$ es un subconjunto cerrado o abierto $X$ entonces no existe ningún subconjunto no vacío ${displaystyle Usubseteq partial _{X}S}$ tales que $U$ es también un subconjunto abierto de $X.$ Este hecho es importante para la definición y uso de subconjuntos densos, subconjuntos de meager y espacios de Baire.

Un conjunto es el límite de algún conjunto abierto si y solo si es cerrado y en ninguna parte denso. El límite de un conjunto está vacío si y solo si el conjunto es tanto cerrado como abierto (es decir, un conjunto cerrado).

Ejemplos concretos

Límite de componentes hiperbólicos del conjunto Mandelbrot

Considere la línea real $mathbb {R}$ con la topología habitual (es decir, la topología cuya base establece intervalos abiertos) y ${displaystyle mathbb {Q}}$ el subconjunto de números racionales (cuyo interior topológico en $mathbb {R}$ está vacío). Entonces...

${displaystyle partial (0,5)=partial [0,5)=partial (0,5]=partial [0,5]={0,5}}$
${displaystyle partial varnothing =varnothing }$
${displaystyle partial mathbb {Q} =mathbb {R} }$
${displaystyle partial (mathbb {Q} cap [0,1])=[0,1]}$

Estos dos últimos ejemplos ilustran el hecho de que el límite de un denso conjunto con el interior vacío es su cierre. También muestran que es posible para el límite $partial S$ de un subconjunto $S$ para contener un subconjunto abierto no vacío ${displaystyle X:=mathbb {R} }$ ; es decir, para el interior de $partial S$ dentro $X$ para ser no vacía. Sin embargo, a cerrado El límite del subconjunto siempre tiene un interior vacío.

En el espacio de números racionales con la topología habitual (la topología subespacial de $mathbb {R}$ ), el límite de ${displaystyle (-inftya),}$ Donde $a$ es irracional, está vacío.

El límite de un conjunto es una noción topológica y puede cambiar si uno cambia la topología. Por ejemplo, dada la topología habitual en ${displaystyle mathbb {R} ^{2},}$ el límite de un disco cerrado ${displaystyle Omega =left{(x,y):x^{2}+y^{2}leq 1right}}$ es el círculo circundante del disco: ${displaystyle partial Omega =left{(x,y):x^{2}+y^{2}=1right}.}$ Si el disco se ve como un conjunto $mathbb{R} ^{3}$ con su propia topología habitual, es decir, ${displaystyle Omega =left{(x,y,0):x^{2}+y^{2}leq 1right},}$ entonces el límite del disco es el disco mismo: ${displaystyle partial Omega =Omega.}$ Si el disco es visto como su propio espacio topológico (con la topología subespacial de $R^2$ ), entonces el límite del disco está vacío.

Límite de una bola abierta frente a su esfera circundante

Este ejemplo demuestra que el límite topológico de una bola abierta de radio $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ es no necesariamente igual a la esfera correspondiente del radio $r$ (centrado en el mismo punto); también muestra que el cierre de una bola abierta de radio $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ es no necesariamente igual a la bola cerrada del radio $r$ (de nuevo centrado en el mismo punto). Denota la métrica Euclideana habitual en $R^2$ por

{displaystyle d((a,b),(x,y)):={sqrt {(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}}}

R^2

{displaystyle Xsubseteq mathbb {R} ^{2}}

y

{displaystyle Y:={0}times mathbb {R} }

{displaystyle S^{1}:=left{pin mathbb {R} ^{2}:d(p,mathbf {0})=1right}=left{(x,y)in mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=1right}}

{displaystyle mathbf {0}:=(0,0)in mathbb {R} ^{2}}

{displaystyle X:=Ycup S^{1},}

R^2

d.

{displaystyle Y,S^{1},Ycap S^{1}={(0,pm 1)},}

{displaystyle {0}times [-1,1]}

R^2

X.

{displaystyle mathbf {0} =(0,0)}

(X,d)

{displaystyle (mathbb {R} ^{2},d)}

Denota la bola abierta del radio $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ dentro $(X,d)$ por $<math alttext="{displaystyle B_{r}:=left{pin X:d(p,mathbf {0})Br:={}p▪ ▪ X:d()p,0).r}{displaystyle B_{r}:=left{pin X:d(p,mathbf {0})<img alt="{displaystyle B_{r}:=left{pin X:d(p,mathbf {0})$ Así que cuando $r=1$ entonces

{displaystyle B_{1}={0}times (-1,1)}

y

{displaystyle y=-1}

{displaystyle y=1.}

(X,d)

r=1

{displaystyle left{pin X:d(p,mathbf {0})=1right}=S^{1}}

(X,d)

{displaystyle left{pin X:d(p,mathbf {0})leq 1right}=S^{1}cup left({0}times [-1,1]right).}

Sin embargo, la frontera topológica ${displaystyle partial _{X}B_{1}}$ y cierre topológico ${displaystyle operatorname {cl} _{X}B_{1}}$ dentro $X$ de la bola de unidad abierta $B_{1}$ son:

{displaystyle partial _{X}B_{1}={(0,1),(0,-1)}quad {text{ and }}quad operatorname {cl} _{X}B_{1}~=~B_{1}cup partial _{X}B_{1}~=~B_{1}cup {(0,1),(0,-1)}~=~{0}times [-1,1].}

{displaystyle partial _{X}B_{1}={(0,1),(0,-1)}}

apropiado

{displaystyle left{pin X:d(p,mathbf {0})=1right}=S^{1}}

{displaystyle (X,d).}

{displaystyle operatorname {cl} _{X}B_{1}=B_{1}cup {(0,1),(0,-1)}}

{displaystyle left{pin X:d(p,mathbf {0})leq 1right}=S^{1}cup left({0}times [-1,1]right)}

{displaystyle (X,d).}

{displaystyle (1,0)in X,}

{displaystyle operatorname {cl} _{X}B_{1}}

{displaystyle B_{1}={0}times (-1,1)}

X

{displaystyle {0}times [-1,1]}

{displaystyle operatorname {cl} _{X}B_{1}.}

B_{1}

B_{1}

{displaystyle partial _{X}B_{1}}

{displaystyle {0}times [-1,1].}

En cualquier espacio métrico ${displaystyle (M,rho),}$ el límite topológico $M$ de una bola abierta de radio $0}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">r■0{displaystyle r] 0" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23cbbcd53bd13620bc53490e3eec42790850b452" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.31ex; height:2.176ex;"/>$ centrado en un punto ${displaystyle cin M}$ es siempre un subconjunto de la esfera del radio $r$ centrado en ese mismo punto $c$ ; es decir,

<math alttext="{displaystyle partial _{M}left(left{min M:rho (m,c)∂ ∂ M(){}m▪ ▪ M:*** *** ()m,c).r})⊆ ⊆ {}m▪ ▪ M:*** *** ()m,c)=r}{displaystyle partial _{M}left(left{min M:rho (m,c) meantrright}right)~subseteq ~left {min M:rho (m,c)=rright}}}}<img alt="{displaystyle partial _{M}left(left{min M:rho (m,c)

Además, la esfera de unidad en $(X,d)$ contiene ${displaystyle Xsetminus Y=S^{1}setminus {(0,pm 1)},}$ que es un subconjunto abierto de $X.$ Esto demuestra, en particular, que la esfera de unidad ${displaystyle left{pin X:d(p,mathbf {0})=1right}}$ dentro $(X,d)$ contiene a no vacío abierto subconjunto $X.$

Límite de un límite

Para cualquier conjunto ${displaystyle S,partial Ssupseteq partial partial S,}$ Donde ${displaystyle ,supseteq ,}$ denota el superset con igualdad de tenencia si y sólo si el límite $S$ no tiene puntos interiores, que serán el caso por ejemplo si $S$ está cerrado o abierto. Puesto que el límite de un conjunto está cerrado, ${displaystyle partial partial S=partial partial partial S}$ para cualquier conjunto $S.$ El operador de límites satisface así un tipo debilitado de idempotencia.

Al discutir los límites de variedades o simples y sus complejos simpliciales, a menudo se encuentra con la afirmación de que el límite del límite siempre está vacío. De hecho, la construcción de la homología singular se basa críticamente en este hecho. La explicación de la aparente incongruencia es que el límite topológico (el tema de este artículo) es un concepto ligeramente diferente del límite de una variedad o de un complejo simplicial. Por ejemplo, el límite de un disco abierto visto como una variedad está vacío, al igual que su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto del plano real es el círculo que rodea al disco. Por el contrario, el límite de un disco cerrado visto como una variedad es el círculo delimitador, al igual que su límite topológico visto como un subconjunto del plano real, mientras que su límite topológico visto como un subconjunto de sí mismo está vacío. En particular, el límite topológico depende del espacio ambiental, mientras que el límite de una variedad es invariable.

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