Límite (teoría de categorías)

En la teoría de categorías, una rama de las matemáticas, la noción abstracta de un límite captura las propiedades esenciales de construcciones universales como productos, pullbacks y límites inversos. La noción dual de un colímite generaliza construcciones tales como uniones disjuntas, sumas directas, coproductos, expulsiones y límites directos.

Los límites y colímites, al igual que las nociones fuertemente relacionadas de propiedades universales y funtores adjuntos, existen en un alto nivel de abstracción. Para comprenderlos, es útil estudiar primero los ejemplos específicos que estos conceptos pretenden generalizar.

Definición

Límites y límites en una categoría ${displaystyle C}$ se definen por medio de diagramas en ${displaystyle C}$. Formally, a diagrama de forma ${displaystyle J}$ dentro ${displaystyle C}$ es un functor de ${displaystyle J}$ a ${displaystyle C}$:

${displaystyle F:Jto C.}$

La categoría ${displaystyle J}$ se piensa como una categoría índice, y el diagrama ${displaystyle F}$ se piensa como indexar una colección de objetos y morfismos en ${displaystyle C}$ patrón en ${displaystyle J}$.

Uno está más a menudo interesado en el caso en que la categoría ${displaystyle J}$ es una categoría pequeña o incluso finita. Se dice que un diagrama es pequeño o finito siempre ${displaystyle J}$ Lo es.

Límites

Vamos ${displaystyle F:Jto C}$ ser un diagrama de forma ${displaystyle J}$ en una categoría ${displaystyle C}$. A cone a ${displaystyle F}$ es un objeto ${displaystyle N}$ de ${displaystyle C}$ junto con una familia ${displaystyle psi _{X}:Nto F(X)}$ de morfismos indexados por los objetos ${displaystyle X}$ de ${displaystyle J}$, tal que por cada morfismo ${displaystyle f:Xto Sí.$ dentro ${displaystyle J}$, tenemos ${displaystyle F(f)circ psi ¿Qué?$.

A límite del diagrama ${displaystyle F:Jto C}$ es un cono ${displaystyle (L,phi)}$ a ${displaystyle F}$ tal que por cada otro cono ${displaystyle (N,psi)}$ a ${displaystyle F}$ existe único morfismo ${displaystyle u:Nto L}$ tales que ${displaystyle phi ¿Qué?$ para todos ${displaystyle X}$ dentro ${displaystyle J}$.

Uno dice que el cono ${displaystyle (N,psi)}$ factores a través del cono ${displaystyle (L,phi)}$ con la factorización única ${displaystyle u}$. El morfismo ${displaystyle u}$ a veces se llama mediando morfismo.

Los límites también se denominan universales, ya que se caracterizan por una propiedad universal (ver más información más abajo). Como con cada propiedad universal, la definición anterior describe un estado equilibrado de generalidad: El objeto límite ${displaystyle L.$ tiene que ser lo suficientemente general como para permitir que cualquier otro cono tenga un factor a través de él; por otro lado, ${displaystyle L.$ tiene que ser suficientemente específico, de modo que sólo uno tal factorización es posible para cada cono.

Los límites también pueden caracterizarse como objetos terminales en la categoría de conos a F.

Es posible que un diagrama no tenga ningún límite. Sin embargo, si un diagrama tiene un límite, entonces este límite es esencialmente único: es único hasta un isomorfismo único. Por esta razón se habla a menudo de el límite de F.

Colímites

Las nociones duales de límites y conos son colímites y co-conos. Aunque es sencillo obtener las definiciones de estos mediante la inversión de todos los morfismos en las definiciones anteriores, los enunciaremos explícitamente aquí:

A co-cono de un diagrama ${displaystyle F:Jto C}$ es un objeto ${displaystyle N}$ de ${displaystyle C}$ junto con una familia de morfismos

${displaystyle psi _{X}:F(X)to N}$

para cada objeto ${displaystyle X}$ de ${displaystyle J}$, tal que por cada morfismo ${displaystyle f:Xto Sí.$ dentro ${displaystyle J}$, tenemos ${displaystyle psi _{Y}circ F(f)=psi ¿Qué?$.

A colimit de un diagrama ${displaystyle F:Jto C}$ es un co-cono ${displaystyle (L,phi)}$ de ${displaystyle F}$ tal que para cualquier otro co-cono ${displaystyle (N,psi)}$ de ${displaystyle F}$ existe un morfismo único ${displaystyle u:Lto N}$ tales que ${displaystyle ucirc phi ¿Qué?$ para todos ${displaystyle X}$ dentro ${displaystyle J}$.

Los límites también se denominan universal co-cones. Se pueden caracterizar como objetos iniciales en la categoría de co-cones de ${displaystyle F}$.

Como con límites, si un diagrama ${displaystyle F}$ tiene un colimit entonces este colimit es único hasta un isomorfismo único.

Variaciones

También se pueden definir límites y límites para colecciones de objetos y morfismos sin el uso de diagramas. Las definiciones son las mismas (nota que en las definiciones anteriores nunca necesitábamos utilizar la composición de los morfismos en ${displaystyle J}$). Sin embargo, esta variación no añade nueva información. Cualquier colección de objetos y morfismos define un gráfico dirigido (posiblemente grande) ${displaystyle G.$. Si lo dejamos ${displaystyle J}$ ser la categoría libre generada por ${displaystyle G.$, hay un diagrama universal ${displaystyle F:Jto C}$ cuya imagen contiene ${displaystyle G.$. El límite (o colimit) de este diagrama es el mismo que el límite (o colimit) de la colección original de objetos y morfismos.

Límite débil y colímites débiles se definen como límites y colímites, excepto que se elimina la propiedad de unicidad del morfismo mediador.

Ejemplos

Límites

La definición de límites es lo suficientemente general como para subsumir varias construcciones útiles en entornos prácticos. A continuación consideraremos el límite (L, φ) de un diagrama F: J → C.

• Objetos terminales. Si J es la categoría vacía hay sólo un diagrama de forma J: el vacío (similar a la función vacía en la teoría de conjuntos). Un cono al diagrama vacío es esencialmente un objeto C. El límite F es cualquier objeto que es un factor único a través de cada otro objeto. Esta es sólo la definición de un objeto terminal.
• Productos. Si J es una categoría discreta luego un diagrama F no es nada más que una familia de objetos C, indexado por J. El límite L de F se llama producto de estos objetos. El cono φ consiste en una familia de morfismos φ_X: L → F()X) llamado el proyecciones del producto. En la categoría de conjuntos, por ejemplo, los productos son dados por productos cartesianos y las proyecciones son sólo las proyecciones naturales sobre los diversos factores.
  • Potencias. Un caso especial de un producto es cuando el diagrama F es un functor constante de un objeto X de C. El límite de este diagrama se llama el J^T poder de X y denotado X^J.
• Equalizers. Si J es una categoría con dos objetos y dos morfismos paralelos de un objeto a otro, luego un diagrama de forma J es un par de morfismos paralelos en C. El límite L de tal diagrama se llama un ecualizador de esos morfismos.
  • Kernels. A kernel es un caso especial de un ecualizador donde uno de los morfismos es un morfismo cero.
• Pullbacks. Vamos F ser un diagrama que recoge tres objetos X, Y, y Z dentro C, donde los únicos morfismos no-identitarios son f: X → Z y g: Y → Z. El límite L de F se llama Retirada o a producto de fibra. Puede ser visualizado como un cuadrado comunicativo:

• Límites inversos. Vamos J ser un conjunto dirigido (considerado como una pequeña categoría añadiendo flechas i → j si i ≥ j) y dejar F: J^operaciones → C Sé un diagrama. El límite F se llama (confuso) un límite inverso o límite de proyecto.
• Si J = 1, la categoría con un solo objeto y morfismo, luego un diagrama de forma J es esencialmente un objeto X de C. Un cono a un objeto X es sólo un morfismo con el codomain X. Un morfismo f: Y → X es un límite del diagrama X si f es un isomorfismo. Más generalmente, si J es cualquier categoría con un objeto inicial i, entonces cualquier diagrama de forma J tiene un límite, a saber, cualquier objeto isomorfo a F()i). Tal isomorfismo determina singularmente un cono universal para F.
• Límites Topológicos. Los límites de las funciones son un caso especial de límites de filtros, relacionados con límites categóricos como sigue. Dado un espacio topológico X, denota F el conjunto de filtros en X, x ▪ X un punto, V()x) F el filtro de barrio x, A ▪ F un filtro particular y ${displaystyle F_{x,A}={Gin Fmid V(x)cup Asubset G}$ el conjunto de filtros más finos que A y que convergen x. Los filtros F se dan una pequeña y fina estructura de categoría añadiendo una flecha A → B si A ⊆ B. La inyección ${displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}to F}$ se convierte en un functor y la siguiente equivalencia sostiene:

x es un límite topológico A si A es un límite categórico ${displaystyle I_{x,A}$

Colímites

Las versiones duales de los ejemplos anteriores dan ejemplos de colimits:

• Objetos iniciales son límites de diagramas vacíos.
• Coproductos son límites de diagramas indexados por categorías discretas.
  • Copowers son límites de diagramas constantes de categorías discretas.
• Coequalizers son límites de un par paralelo de morfismos.
  • Cokernels son coequalizers de un morfismo y un morfismo cero paralelo.
• Empujamientos son límites de un par de morfismos con dominio común.
• Límites directos son límites de diagramas indexados por conjuntos dirigidos.

Propiedades

Existencia de límites

Un diagrama dado F: J → C puede o no tener un límite (o colímite) en C. De hecho, es posible que ni siquiera haya un cono para F, y mucho menos un cono universal.

Se dice que una categoría C tiene límites de forma J si todo diagrama de forma J tiene un límite en C. Específicamente, se dice que una categoría C

• productos si tiene límites de forma J para todos pequeño categoría discreta J (no necesita productos grandes),
• tienen iguales si tiene límites de forma ${displaystyle bullet rightrightarrows bullet }$ (es decir, cada par paralelo de morfismos tiene un ecualizador),
• tienen retrocesos si tiene límites de forma ${displaystyle bullet rightarrow bullet leftarrow bullet }$ (es decir, cada par de morfismos con codomain común tiene un retroceso).

Una categoría completa es una categoría que tiene todos los límites pequeños (es decir, todos los límites de forma J para cada categoría pequeña J).

También se pueden hacer las definiciones duales. Una categoría tiene colímites de forma J si todo diagrama de forma J tiene un colímite en C. Una categoría cocompleta es aquella que tiene todos los colímites pequeños.

El teorema de existencia de límites establece que si una categoría C tiene ecualizadores y todos los productos indexados por las clases Ob(J) y Hom (J), entonces C tiene todos los límites de forma J. En este caso, el límite de un diagrama F: J → C se puede construir como el ecualizador de los dos morfismos

${displaystyle s,t:prod _{iin operatorname {Ob} (J)}F(i)rightarrows prod _{fin operatorname [Hom} (J)}F(operatorname {cod} (f)}$

dado (en forma de componente) por

${fnMicrosoft Sans Serif} pi _{operatorname {dom} (f)}{bigr)}_{fin operatorname {Hom} (J)}tю={bigl (}pi _{operatorname {cod} (f)}{bigr)}_{fin operatorname {Hom} (J)}.$

Existe un teorema de existencia dual para colímites en términos de coecualizadores y coproductos. Ambos teoremas dan condiciones suficientes y necesarias para la existencia de todos los (co)límites de forma J.

Propiedad universal

Los límites y colimits son casos especiales importantes de construcciones universales.

Sea C una categoría y J una categoría de índice pequeño. La categoría de funtores C^J puede considerarse como la categoría de todos los diagramas de forma J en C. El funtor diagonal

${displaystyle Delta: {fnMitcal {fnMitcal} {fnMitcal} {fnMitcal} {cHFF} {J}}$

es el funtor que mapea cada objeto N en C al funtor constante Δ(N): J → C a N. Es decir, Δ(N)(X) = N para cada objeto X en J< /i> y Δ(N)(f) = id_N para cada morfismo f< /i> en J.

Dado un diagrama F: J → C (pensado como un objeto en C ^J), una transformación natural ψ: Δ(N) → F (que es simplemente un morfismo en la categoría C^J) es lo mismo que un cono de N a F . Para ver esto, primero observe que Δ(N)(X) = N para todo X implica que las componentes de ψ< /i> son morfismos ψ_X: N → F( X), que comparten el dominio N. Además, el requisito de que los diagramas de cono conmutan es cierto simplemente porque esta ψ es una transformación natural. (Dualmente, una transformación natural ψ: F → Δ(N) es lo mismo que un co-cono de F< /i> a N.)

Por lo tanto, las definiciones de límites y colímites se pueden reformular de la siguiente forma:

• Un límite F es un morfismo universal de Δ a F.
• Un límite F es un morfismo universal F a Δ.

Adjuntos

Como todas las construcciones universales, la formación de límites y colímites es de naturaleza funcional. En otras palabras, si todo diagrama de forma J tiene un límite en C (para J pequeño) existe un funtor límite< /b>

${displaystyle lim: {fnMitcal {fnMitcal {fnMitcal}to {fnMitcal} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnMitcal} {fnMitcal} {cHFF} {cHFF}fnMitcal}f}f}f} {C}}$

que asigna a cada diagrama su límite y a cada transformación natural η: F → G el único morfismo lim η: lim F → lim < i>G conmutando con los conos universales correspondientes. Este funtor está junto al funtor diagonal Δ: C → C^J. Esta adjunción da una biyección entre el conjunto de todos los morfismos desde N hasta el límite F y el conjunto de todos los conos desde N hasta F

${displaystyle operatorname {Hom} (N,lim F)cong operatorname {Cone} (N,F)}$

lo cual es natural en las variables N y F. La unidad de esta adjunción es simplemente el cono universal de lim F a F. Si la categoría de índice J es conexa (y no vacía), entonces la unidad de la adjunción es un isomorfismo, de modo que lim es la inversa izquierda de Δ. Esto falla si J no está conectado. Por ejemplo, si J es una categoría discreta, los componentes de la unidad son los morfismos diagonales δ: N → N^J.

Dualmente, si todo diagrama de forma J tiene un colimit en C (para J pequeño) existe un colimit funtor

${displaystyle operatorname {colim}:{mathcal {C}{mathcal {J}to {mathcal}to {mathcal}} {m} {cH} {cHFF} {cHFF}} {cH}}} {C}}$

que asigna a cada diagrama su colimit. Este funtor se deja adjunto al funtor diagonal Δ: C → C^J, y uno tiene un isomorfismo natural

${displaystyle operatorname {Hom} (operatorname {colim} F,N)cong operatorname {Cocone} (F,N). }$

La unidad de esta adjunción es el cocono universal de F a colim F. Si J es conexo (y no está vacío), entonces la unidad es un isomorfismo, por lo que colim es la inversa izquierda de Δ.

Tenga en cuenta que tanto el funtor límite como el colimit son funtores covariantes.

Como representaciones de funtores

Se pueden usar los funtores Hom para relacionar límites y colímites en una categoría C con límites en Conjunto, la categoría de conjuntos. Esto se debe, en parte, al hecho de que el funtor Hom covariante Hom(N, –): C → Set conserva todos los límites en C. Por dualidad, el funtor Hom contravariante debe llevar colimits a límites.

Si un diagrama F: J → C tiene un límite en C, denotado por lim F, hay un isomorfismo canónico

${displaystyle operatorname {Hom} (N,lim F)cong lim operatorname {Hom} (N,F-)}$

lo cual es natural en la variable N. Aquí el funtor Hom(N, F–) es la composición del funtor Hom Hom(N, –) con F< /i>. Este isomorfismo es el único que respeta los conos limitantes.

Se puede usar la relación anterior para definir el límite de F en C. El primer paso es observar que el límite del funtor Hom(N, F–) se puede identificar con el conjunto de todos los conos de N a F:

${displaystyle lim operatorname {Hom} (N,F-)=operatorname {Cone} (N,F). }$

El cono límite viene dado por la familia de aplicaciones π_X: Cone(N, F) → Hom(N, FX) donde π_{< i>X}(ψ) = ψ_X. Si a uno se le da un objeto L de C junto con un isomorfismo natural Φ: Hom(L, –) → Cono(–, F), el objeto L será un límite de F con el cono límite dado por Φ_L(id_L). En lenguaje sofisticado, esto equivale a decir que un límite de F es una representación del funtor Cone(–, F): C → < b>Establecer.

Dualmente, si un diagrama F: J → C tiene un colímite en C, denotado colim < i>F, hay un isomorfismo canónico único

${displaystyle operatorname {Hom} (operatorname {colim} F,N)cong lim operatorname {Hom} (F-,N)}$

que es natural en la variable N y respeta los conos colimitantes. Identificando el límite de Hom(F–, N) con el conjunto Cocone(F, N), esto La relación se puede utilizar para definir el colímite del diagrama F como una representación del funtor Cocone(F, –).

Intercambio de límites y colímites de conjuntos

Sea I una categoría finita y J una pequeña categoría filtrada. Para cualquier bifuntor

${displaystyle F:Itimes Jto mathbf {Set}$

hay un isomorfismo natural

${displaystyle operatorname {colim} limits _{J}lim _{I}F(i,j)rightarrow lim _{I}operatorname {colim} limits _{J}F(i,j).}$

En palabras, los colimits filtrados en Set se desplazan con límites finitos. También sostiene que los colímites pequeños conmutan con los límites pequeños.

Funtores y límites

Si F: J → C es un diagrama en C y G: C → D es un funtor entonces por composición (recuerde que un diagrama es solo un funtor) se obtiene un diagrama GF: J → D. Una pregunta natural es entonces:

“Cómo están los límites GF relacionados con los F? ”

Preservación de límites

Un funtor G: C → D induce un mapa de Cone(F) a Cone(< i>GF): si Ψ es un cono de N a F entonces GΨ es un cono de GN a GF. Se dice que el funtor G preserva los límites de F si (GL, Gφ) es un límite de GF siempre que (L, φ) sea un límite de F. (Tenga en cuenta que si el límite de F no existe, entonces G conserva en vacío los límites de F).

Se dice que un funtor G conserva todos los límites de la forma J si conserva los límites de todos los diagramas F: J → C. Por ejemplo, se puede decir que G conserva productos, ecualizadores, retrocesos, etc. Un funtor continuo es aquel que conserva todos los límites pequeños.

Se pueden hacer definiciones análogas para colimits. Por ejemplo, un funtor G conserva los colímites de F si G(L, φ) es un colímite de GF siempre que (L, φ) sea un colímite de F. Un funtor cocontinuo es aquel que conserva todos los colímites pequeños.

Si C es una categoría completa, entonces, por el teorema de existencia anterior para límites, un funtor G: C → D es continua si y sólo si conserva (pequeños) productos y ecualizadores. Dualmente, G es cocontinuo si y solo si conserva (pequeños) coproductos y coecualizadores.

Una propiedad importante de los funtores adjuntos es que todos los funtores adjuntos derechos son continuos y todos los funtores adjuntos izquierdos son cocontinuos. Dado que los funtores adjuntos existen en abundancia, esto proporciona numerosos ejemplos de funtores continuos y cocontinuos.

Para un diagrama dado F: J → C y funtor G: C → D, si tanto F como GF tienen límites específicos, existe un único morfismo canónico

${displaystyle tau "Glim Fto lim GF"$

que respeta los conos límite correspondientes. El funtor G conserva los límites de F si y solo este mapa es un isomorfismo. Si las categorías C y D tienen todos los límites de forma J entonces lim es un funtor y los morfismos τ_{F< /i>} forman los componentes de una transformación natural

${displaystyle tau:Glim to lim G^{J}$

El funtor G conserva todos los límites de la forma J si y solo si τ es un isomorfismo natural. En este sentido, se puede decir que el funtor G conmuta con límites (hasta un isomorfismo natural canónico).

La preservación de límites y colimits es un concepto que solo se aplica a los funtores covariantes. Para los funtores contravariantes las nociones correspondientes serían un funtor que lleva colimits a límites, o uno que lleva límites a colimits.

Eliminación de límites

Se dice que un funtor G: C → D levanta los límites para un diagrama F : J → C si siempre que (L, φ) es un límite de GF existe un límite (L′, φ′) de F tal que G(L′, φ′) = (L, φ). Un funtor G eleva los límites de la forma J si eleva los límites para todos los diagramas de la forma J. Por lo tanto, se puede hablar de productos de levantamiento, ecualizadores, retrocesos, etc. Finalmente, se dice que G levanta límites si levanta todos los límites. Hay definiciones duales para el levantamiento de colimits.

Un funtor G levanta límites de forma única para un diagrama F si hay un cono de preimagen único (L ′, φ′) tal que (L′, φ′) es un límite de F y G(L′, φ′) = (L, φ). Se puede demostrar que G levanta los límites únicamente si y solo si levanta los límites y es amnésico.

El levantamiento de los límites está claramente relacionado con la preservación de los límites. Si G eleva los límites para un diagrama F y GF tiene un límite, entonces F también tiene un límite y < i>G conserva los límites de F. Resulta que:

• Si G eleva los límites de toda forma J y D tiene todos los límites de la forma J, entonces C también tiene todos los límites de la forma J y G preserva estos límites.
• Si G levanta todos los pequeños límites y D está completo, entonces C es también completo y G es continuo.

Las declaraciones duales para colimits son igualmente válidas.

Creación y reflejo de límites

Sea F: J → C un diagrama. Se dice que un funtor G: C → D

• crear límites para F si cada vez (L, φ) es un límite de GF existe un cono único (L′, φ′) a F tales que G()L′, φ′) =L, φ), y además, este cono es un límite F.
• límites para F si cada cono a F cuya imagen bajo G es un límite GF ya es un límite F.

Dualmente, uno puede definir la creación y reflexión de colimits.

Las siguientes declaraciones se ven fácilmente como equivalentes:

• El functor G crea límites.
• El functor G levanta límites únicamente y refleja límites.

Hay ejemplos de funtores que elevan los límites de forma única, pero no los crean ni los reflejan.

Ejemplos

• Cada functor representable C → Set preserva los límites (pero no necesariamente los límites). En particular, para cualquier objeto A de C, esto es verdad de la covariante Hom functor Hom(A, –): C → Set.
• El funerario olvidadizo U: Grp → Set crea (y preserva) todos los límites pequeños y los colimites filtrados; sin embargo, U no conserva coproductos. Esta situación es típica de los funerarios algebraicos olvidados.
• El functor libre F: Set → Grp (que asigna a cada conjunto S el grupo libre sobre S) se deja junto al functor olvidadizo U y es, por tanto, cocontinua. Esto explica por qué el producto libre de dos grupos libres G y H es el grupo libre generado por la unión disyuntiva de los generadores de G y H.
• El functor de inclusión Ab → Grp crea límites pero no preserva los coproductos (el coproducto de dos grupos abelianos es la suma directa).
• El funerario olvidadizo Top → Set eleva los límites y los límites de forma única pero no crea ninguno.
• Vamos Met_c ser la categoría de espacios métricos con funciones continuas para los morfismos. El funerario olvidadizo Met_c → Set levanta límites finitos pero no los levanta únicamente.

Una nota sobre la terminología

La terminología anterior se refería a los límites como "límites inversos" o "límites proyectivos", y colimits como "límites directos" o "límites inductivos". Esta ha sido la fuente de mucha confusión.

Hay varias formas de recordar la terminología moderna. Ante todo,

• Cokernels,
• coproductos,
• coequalizers, and
• codomains

son tipos de colímites, mientras que

• kernels,
• productos
• e iguales, y
• dominios

son tipos de límites. Segundo, el prefijo "co" implica "primera variable de la ${displaystyle operatorname {Hom}$". Los términos como "cohomología" y "cofibración" tienen una asociación ligeramente más fuerte con la primera variable, es decir, la variable contravariante, de la ${displaystyle operatorname {Hom}$ Bifunctor.