Límite inferior y límite superior

limn→ → JUEGO JUEGO xn{displaystyle lim _{nto infty }x_{n}

R,{displaystyle mathbb {R}

− − JUEGO JUEGO {displaystyle -infty }

JUEGO JUEGO {displaystyle infty }

lim infn→ → JUEGO JUEGO xn=JUEGO JUEGO implicaciónlimn→ → JUEGO JUEGO xn=JUEGO JUEGO ,lim supn→ → JUEGO JUEGO xn=− − JUEGO JUEGO implicaciónlimn→ → JUEGO JUEGO xn=− − JUEGO JUEGO .{displaystyle {begin{alignedat}{4}liminf _{nto infty }x_{n} limit=infty ';;{text{ implies };;lim _{nto infty }x_{n}=infty[0.3ex]limsup _{nto infty }x_{n}=-infty >;;{text{ implies };;lim _{nto infty }x_{n}=-infty.

Si I=lim infn→ → JUEGO JUEGO xn{displaystyle I=liminf _{nto infty }x_{n} y S=lim supn→ → JUEGO JUEGO xn{displaystyle S=limsup _{nto infty }x_{n}, entonces el intervalo [I,S]{displaystyle [I,S]} no debe contener ninguno de los números xn,{displaystyle x_{n},} pero cada ligera ampliación [I− − ε ε ,S+ε ε ],{displaystyle [I-epsilonS+epsilon],} para pequeños arbitrariamente 0,}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">ε ε ■0,{displaystyle epsilon >0,} 0," aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44c08d32cc0a46cfa7ccabd48ba8a50a87e0ca66" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.852ex; height:2.509ex;"/> contendrá xn{displaystyle x_{n} para todos, pero finitamente muchos índices n.{displaystyle n.} De hecho, el intervalo [I,S]{displaystyle [I,S]} es el intervalo cerrado más pequeño con esta propiedad. Podemos formalizar esta propiedad como esta: existen subsequences xkn{displaystyle # y xhn{displaystyle # de xn{displaystyle x_{n} (donde) kn{displaystyle K_{n} y hn{displaystyle H_{n} están aumentando) por lo que tenemos

x_{h_{n}};;;;;;;;;x_{k_{n}}>limsup _{nto infty }x_{n}-epsilon }" display="block" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">lim infn→ → JUEGO JUEGO xn+ε ε ■xhnxkn■lim supn→ → JUEGO JUEGO xn− − ε ε {displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}+epsilon œx_{h_{n};;;;;;;;;x_{k_{n}} {nsup _{ntoinfty }x_{n}-epsilon }

x_{h_{n}};;;;;;;;;x_{k_{n}}>limsup _{nto infty }x_{n}-epsilon }" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-display" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ce9b7cf0b25ff625810f4fd7e4fab70e6058c97" style="vertical-align: -2.338ex; width:45.687ex; height:4.176ex;"/>

Por otro lado, existe una n0▪ ▪ N{displaystyle n_{0}in mathbb {N} para siempre n≥ ≥ n0{displaystyle ngeq n_{0}

Para recapitular:

• Si ▪ ▪ {displaystyle Lambda } es mayor que el límite superior, hay en la mayoría finitamente muchos xn{displaystyle x_{n} más grande que ▪ ▪ ;{displaystyle Lambda;} si es menos, hay infinitamente muchos.
• Si λ λ {displaystyle lambda } es menos que el límite inferior, hay en la mayoría finitamente muchos xn{displaystyle x_{n} menos que λ λ ;{displaystyle lambda;} si es mayor, hay infinitamente muchos.

En general,

infnxn≤ ≤ lim infn→ → JUEGO JUEGO xn≤ ≤ lim supn→ → JUEGO JUEGO xn≤ ≤ Supnxn.{displaystyle inf ¿Qué? liminf _{nto infty }x_{n}leq limsup _{nto infty }x_{n}leq sup _{n}x_{n}

Liminf y limsup de una secuencia son, respectivamente, los puntos de agrupación más pequeños y más grandes.

• Para cualquier dos secuencias de números reales ()an),()bn),{displaystyle (a_{n}),(b_{n}),} el límite superior satisfies subadditividad cuando el lado derecho de la desigualdad se define (es decir, no JUEGO JUEGO − − JUEGO JUEGO {displaystyle infty -infty } o − − JUEGO JUEGO +JUEGO JUEGO {displaystyle - 'infty + 'infty'):
  lim supn→ → JUEGO JUEGO ()an+bn)≤ ≤ lim supn→ → JUEGO JUEGO an+lim supn→ → JUEGO JUEGO bn.{displaystyle limsup _{nto infty },(a_{n}+b_{n})leq limsup _{nto infty }a_{n}+ limsup _{nto infty }b_{n}

  

Análogamente, el límite inferior satisface la superaditividad:

lim infn→ → JUEGO JUEGO ()an+bn)≥ ≥ lim infn→ → JUEGO JUEGO an+lim infn→ → JUEGO JUEGO bn.{displaystyle liminf _{nto infty },(a_{n}+b_{n})geq liminf _{nto infty }a_{n}+ liminf _{nto infty }b_{n}

En el caso particular de que una de las secuencias realmente converge, dicen an→ → a,{displaystyle a_{n}to a,} entonces las desigualdades arriba se convierten en igualdades (con lim supn→ → JUEGO JUEGO an{displaystyle limsup _{nto infty }a_{n} o lim infn→ → JUEGO JUEGO an{displaystyle liminf _{nto infty }a_{n} ser reemplazado por a{displaystyle a}).

• Para cualquier dos secuencias de números reales no negativos ()an),()bn),{displaystyle (a_{n}),(b_{n}),} las desigualdades
  lim supn→ → JUEGO JUEGO ()anbn)≤ ≤ ()lim supn→ → JUEGO JUEGO an)()lim supn→ → JUEGO JUEGO bn){displaystyle limsup _{nto infty },(a_{n}b_{n})leq left(limsup _{nto infty ¿Por qué? - Sí.

  
  y
  lim infn→ → JUEGO JUEGO ()anbn)≥ ≥ ()lim infn→ → JUEGO JUEGO an)()lim infn→ → JUEGO JUEGO bn){displaystyle liminf _{nto infty },(a_{n}b_{n})geq left(liminf _{nto infty ¿Por qué?

  

mantener siempre que el lado derecho no sea de la forma 0⋅ ⋅ JUEGO JUEGO .{displaystyle 0cdot infty.}

Si limn→ → JUEGO JUEGO an=A{displaystyle lim _{nto infty }a_{n}=A} (incluido el caso) A=+JUEGO JUEGO {displaystyle A=+infty}) y B=lim supn→ → JUEGO JUEGO bn,{displaystyle B=limsup _{nto infty }b_{n},} entonces lim supn→ → JUEGO JUEGO ()anbn)=AB{displaystyle limsup _{nto infty }left(a_{n}b_{n}right)=AB} siempre que AB{displaystyle AB} no es de la forma 0⋅ ⋅ JUEGO JUEGO .{displaystyle 0cdot infty.}

Ejemplos

• Como ejemplo, considere la secuencia dada por la función sine: xn=pecado⁡ ⁡ ()n).{displaystyle x_{n}=sin(n). } Usando el hecho de que π es irracional, sigue que
  lim infn→ → JUEGO JUEGO xn=− − 1{displaystyle liminf _{nto infty }x_{n}=-1}

  
  y
  lim supn→ → JUEGO JUEGO xn=+1.{displaystyle limsup _{nto infty }x_{n}=+1.

  
  (Esto es porque la secuencia {}1,2,3,...... }{displaystyle {1,2,3,ldots}} es equidistribuido mod 2π, una consecuencia del teorema de equidistribución.)

• Un ejemplo de la teoría del número es
  lim infn→ → JUEGO JUEGO ()pn+1− − pn),{displaystyle liminf _{nto infty },(p_{n+1}-p_{n}),}

  
  Donde pn{displaystyle P_{n} es n{displaystyle n}- el primer número.

El valor de este límite inferior se conjetura para ser 2 – esta es la conjetura principal gemela – pero a partir de abril de 2014 sólo se ha demostrado ser inferior o igual a 246. El límite superior correspondiente es +JUEGO JUEGO {displaystyle +infty }, porque hay diferencias arbitrariamente grandes entre primos consecutivos.

Funciones de valor real

Supongamos que una función se define desde un subconjunto de los números reales a los números reales. Como en el caso de las secuencias, el límite inferior y superior límite siempre están bien definidos si permitimos los valores +∞ y −∞; de hecho, si ambos coinciden entonces el límite existe y es igual a su valor común (de nuevo, incluyendo los infinitos). Por ejemplo, dado f()x)=pecado⁡ ⁡ ()1/x){displaystyle f(x)=sin(1/x)}, tenemos lim supx→ → 0f()x)=1{displaystyle limsup _{xto 0}f(x)=1} y lim infx→ → 0f()x)=− − 1{displaystyle liminf _{xto 0}f(x)=-1}. La diferencia entre los dos es una medida aproximada de cómo oscila la función, y en la observación de este hecho, se llama la oscilación de f a 0. Esta idea de oscilación es suficiente para, por ejemplo, caracterizar funciones integradas Riemann como continuas excepto en un conjunto de medida cero. Tenga en cuenta que puntos de oscilación no cero (es decir, puntos en los que f es "badly conductd") son discontinuidades que, a menos que constituyan un conjunto de cero, se limitan a un conjunto insignificante.

Funciones desde espacios topológicos hasta redes completas

Funciones de espacios métricos

Hay una noción de limsup y liminf para funciones definidas en un espacio métrico cuya relación con los límites de funciones de valor real refleja la relación entre el limsup, liminf y el límite de una secuencia real. Tome un espacio métrico X{displaystyle X}, un subespacio E{displaystyle E} contenidas en X{displaystyle X}, y una función f:E→ → R{displaystyle f:Eto mathbb {R}. Definir, para cualquier punto límite a{displaystyle a} de E{displaystyle E},

lim supx→ → af()x)=limε ε → → 0()Sup{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ B()a,ε ε )∖ ∖ {}a}}){displaystyle limsup _{xto a}f(x)=lim _{varepsilon to 0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}right)}}}right)}

y

lim infx→ → af()x)=limε ε → → 0()inf{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ B()a,ε ε )∖ ∖ {}a}}){displaystyle liminf _{xto a}f(x)=lim _{varepsilon to 0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}right)}}right)}

Donde B()a,ε ε ){displaystyle B(a,varepsilon)} denota la bola métrica del radio ε ε {displaystyle varepsilon } sobre a{displaystyle a}.

Tenga en cuenta que a medida que ε se contrae, el supremo de la función sobre la pelota es monótono decreciente, por lo que tenemos

0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right)}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">lim supx→ → af()x)=infε ε ■0()Sup{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ B()a,ε ε )∖ ∖ {}a}}){displaystyle limsup _{xto a}f(x)=inf _{varepsilon œ0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}right)}}right)}0}left(sup ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right)}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5493eae833757365f24fab845ead50a11be90e15" style="vertical-align: -2.338ex; width:53.851ex; height:4.343ex;"/>

y de manera similar

0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right).}" xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML">lim infx→ → af()x)=Supε ε ■0()inf{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ B()a,ε ε )∖ ∖ {}a}}).{displaystyle liminf _{xto a}f(x)=sup _{varepsilon œ0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}right). }0}left(inf ,{f(x):xin Ecap B(a,varepsilon)setminus {a}}right).}" aria-hidden="true" class="mwe-math-fallback-image-inline" src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c054efce9e158fb7df2d7cc738865e6b391424" style="vertical-align: -2.505ex; width:53.82ex; height:4.509ex;"/>

Funciones de espacios topológicos

Esto finalmente motiva las definiciones de espacios topológicos generales. Tome X, E y a como antes, pero ahora sea X un espacio topológico. En este caso, reemplazamos bolas métricas con vecindarios:

lim supx→ → af()x)=inf{}Sup{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ U∖ ∖ {}a}}:Uopen,a▪ ▪ U,E∩ ∩ U∖ ∖ {}a}ل ل ∅ ∅ }{displaystyle limsup _{xto a}f(x)=inf ,{,sup ,{f(x):xin Ecap Usetminus Uh, uh... U,,Ecap Usetminus {a}neq emptyset}

lim infx→ → af()x)=Sup{}inf{}f()x):x▪ ▪ E∩ ∩ U∖ ∖ {}a}}:Uopen,a▪ ▪ U,E∩ ∩ U∖ ∖ {}a}ل ل ∅ ∅ }{displaystyle liminf _{xto a}f(x)=sup ,{,inf ,{f(x):xin Ecap Usetminus Uh, uh... U,,Ecap Usetminus {a}neq emptyset}

(hay una manera de escribir la fórmula usando "lim" usando redes y el filtro de vecindario). Esta versión suele ser útil en las discusiones sobre la semicontinuidad que surgen con bastante frecuencia en el análisis. Una nota interesante es que esta versión subsume la versión secuencial al considerar las secuencias como funciones de los números naturales como un subespacio topológico de la línea real extendida, en el espacio (la clausura de N en [−∞, ∞], la recta numérica real extendida, es N ∪ {∞}).

Secuencias de conjuntos

El conjunto potencia ℘(X) de un conjunto X es un retículo completo que está ordenado por inclusión de conjunto, y por lo tanto el supremo y el mínimo de cualquier conjunto de subconjuntos (en términos de inclusión de conjuntos) siempre existen. En particular, cada subconjunto Y de X está acotado arriba por X y abajo por el conjunto vacío ∅ porque ∅ ⊆ Y ⊆ X. Por lo tanto, es posible (ya veces útil) considerar los límites superior e inferior de las secuencias en ℘(X) (es decir, secuencias de subconjuntos de X).

Hay dos formas comunes de definir el límite de secuencias de conjuntos. En ambos casos:

• La secuencia acumulaciones alrededor de conjuntos de puntos en lugar de puntos individuales ellos mismos. Es decir, porque cada elemento de la secuencia es en sí mismo un conjunto, existe acumulación sets que están de alguna manera cerca de infinitamente muchos elementos de la secuencia.
• El límite supremum/superior/outer es un conjunto que une estos conjuntos de acumulación. Es decir, es la unión de todos los conjuntos de acumulación. Cuando se ordena mediante la inclusión establecida, el límite de supremum es el límite inferior superior en el conjunto de puntos de acumulación porque es contiene cada uno de ellos. Por lo tanto, es el supremum de los puntos límite.
• El límite infimum/inferior/inner es un conjunto donde todos estos conjuntos de acumulación se encuentran. Es decir, es la intersección de todos los conjuntos de acumulación. Al ordenar por la inclusión establecida, el límite de infimum es el límite más bajo en el conjunto de puntos de acumulación porque es contenidas en cada uno de ellos. Por lo tanto, es el infimum de los puntos límite.
• Debido a que el orden es por la inclusión establecida, entonces el límite exterior siempre contendrá el límite interno (es decir, lima infX_n ⊆ lim supX_n). Por lo tanto, al considerar la convergencia de una secuencia de conjuntos, generalmente basta considerar la convergencia del límite exterior de esa secuencia.

La diferencia entre las dos definiciones implica cómo se define la topología (es decir, cómo cuantificar la separación). De hecho, la segunda definición es idéntica a la primera cuando se usa la métrica discreta para inducir la topología en X.

Convergencia general de conjuntos

Una secuencia de conjuntos en un espacio habitable X{displaystyle X} se acerca a un conjunto de limitación cuando los elementos de cada miembro de la secuencia abordan los elementos del conjunto de limitación. En particular, si ()Xn){displaystyle (X_{n})} es una secuencia de subconjuntos de X,{displaystyle X. entonces:

• lim supXn,{displaystyle limsup X_{n} que también se llama límite exterior, consta de los elementos que son límites de puntos Xn{displaystyle X_{n} tomada de (contablemente) infinitamente muchos n.{displaystyle n.} Eso es, x▪ ▪ lim supXn{displaystyle xin limsup X_{n} si y sólo si existe una secuencia de puntos ()xk){displaystyle (x_{k})} y a subsequence ()Xnk){displaystyle (X_{n_{k})} de ()Xn){displaystyle (X_{n})} tales que xk▪ ▪ Xnk{displaystyle x_{k}in ¿Qué? y limk→ → JUEGO JUEGO xk=x.{displaystyle lim _{kto infty }x_{k}=x.}
• lim infXn,{displaystyle liminf X_{n} que también se llama límite interior, consta de los elementos que son límites de puntos Xn{displaystyle X_{n} para todos, pero finitamente muchos n{displaystyle n} (esto es, definitivamente muchos n{displaystyle n}). Eso es, x▪ ▪ lim infXn{displaystyle xin liminf X_{n} y sólo si existe secuencia de puntos ()xk){displaystyle (x_{k})} tales que xk▪ ▪ Xk{displaystyle x_{k}in X_{k} y limk→ → JUEGO JUEGO xk=x.{displaystyle lim _{kto infty }x_{k}=x.}

El límite limXn{displaystyle lim X_{n} existe si lim infXn{displaystyle liminf X_{n} y lim supXn{displaystyle limsup X_{n} acepta, en cuyo caso limXn=lim supXn=lim infXn.{displaystyle lim X_{n}=limsup X_{n}=liminf X_{n} Los límites exteriores e interiores no deben confundirse con los límites teóricos del conjunto superior e inferior, ya que estos últimos conjuntos no son sensibles a la estructura topológica del espacio.

Caso especial: métrica discreta

Esta es la definición utilizada en la teoría de la medida y la probabilidad. La discusión adicional y los ejemplos desde el punto de vista de la teoría de conjuntos, en oposición al punto de vista topológico discutido a continuación, están en el límite de la teoría de conjuntos.

Según esta definición, una secuencia de conjuntos se aproxima a un conjunto límite cuando el conjunto límite incluye elementos que están en todos excepto en muchos conjuntos finitos de la secuencia y no incluye elementos que están en todos excepto en número finito muchos complementos de conjuntos de la secuencia. Es decir, este caso especializa la definición general cuando la topología en el conjunto X es inducida desde la métrica discreta.

Específicamente, para los puntos x, y ∈ X, la métrica discreta está definida por

d()x,Sí.):={}0six=Sí.,1sixل ل Sí.,{displaystyle d(x,y):={begin{cases}0 ventaja{if} }x=y,1 {text{if}xneq y,end{cases}

bajo el cual una secuencia de puntos (x_k) converge al punto x ∈ X si y solo si x_k = x para todos menos un número finito de k. Por lo tanto, si existe el conjunto límite contiene los puntos y sólo los puntos que están en todos excepto en un número finito de los conjuntos de la secuencia. Dado que la convergencia en la métrica discreta es la forma más estricta de convergencia (es decir, requiere más), esta definición de un conjunto límite es la más estricta posible.

Si (X_n) es una secuencia de subconjuntos de X, entonces siempre existe lo siguiente:

• lim supX_n consta de elementos X que pertenecen a X_n para infinitamente muchos n (ver contablemente infinito). Eso es, x zio lim supX_n si y sólo si existe una subsequencia (X_nk) of (X_n. x ▪ X_nk para todos k.
• lim infX_n consta de elementos X que pertenecen a X_n para todos excepto finitamente muchos n (es decir, por cofinito muchos n). Eso es, x zio lim infX_n y sólo si existe m ■ 0 tal que x ▪ X_n para todos n ■ m.

Observe que x ∈ lim sup X_n si y solo si x ∉ lim inf X_n^c.

• limX_n existe siX_n y supX_n de acuerdo, en cuyo caso limX_n # Lim supX_n = lim infX_n.

En este sentido, la secuencia tiene un límite siempre que cada punto en X aparezca en todos excepto en un número finito de X_n o aparece en todos excepto en un número finito de X_n^c.

Usando el lenguaje estándar de la teoría de conjuntos, la inclusión de conjuntos proporciona una ordenación parcial en la colección de todos los subconjuntos de X que permite que la intersección de conjuntos genere un límite inferior mayor y una unión de conjuntos para generar un límite superior mínimo atado. Así, el ínfimo o encuentro de una colección de subconjuntos es el mayor límite inferior, mientras que el supremo o reunión es el menor límite superior. En este contexto, el límite interior, lim inf X_n, es el mayor encuentro de colas de la secuencia, y el límite exterior, lim sup X_n, es la unión de colas más pequeña de la secuencia. Lo siguiente hace esto preciso.

• Vamos I_n ser la reunión del n^T cola de la secuencia. Eso es,

In=inf{}Xm:m▪ ▪ {}n,n+1,n+2,...... }}=⋂ ⋂ m=nJUEGO JUEGO Xm=Xn∩ ∩ Xn+1∩ ∩ Xn+2∩ ∩ ⋯ ⋯ .{displaystyle {begin{aligned}I_{n} ,{X_{m}:min {n,n+1,n+2,ldots }\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\bigcapcK1 ¿Qué? }X_{m}=X_{n}cap X_{n+1}cap X_{n+2}cap cdots.end{aligned}}

La secuencia (I_n) no está disminuyendo (es decir,. I_n ⊆ I_{n+ 1}) porque cada uno I_{n+ 1} es la intersección de menos conjuntos que I_n. El límite más alto en esta secuencia de encuentros de colas es

lim infn→ → JUEGO JUEGO Xn=Sup{}inf{}Xm:m▪ ▪ {}n,n+1,...... }}:n▪ ▪ {}1,2,...... }}=⋃ ⋃ n=1JUEGO JUEGO ()⋂ ⋂ m=nJUEGO JUEGO Xm).{displaystyle {begin{aligned}liminf _{nto infty }X_{n} Alguien=sup ,{\,inf ,{X_{m}:min {n,n+1,ldots #\\nin{1,2,dots}\\\\fn\bigcup ¿Qué? ¿Qué? - ¡Sí!

Así que el infimum límite contiene todos los subconjuntos que son límites inferiores para todos pero finitamente muchos conjuntos de la secuencia.

• Del mismo modo, J_n ser la unión de la n^T cola de la secuencia. Eso es,

Jn=Sup{}Xm:m▪ ▪ {}n,n+1,n+2,...... }}=⋃ ⋃ m=nJUEGO JUEGO Xm=Xn∪ ∪ Xn+1∪ ∪ Xn+2∪ ∪ ⋯ ⋯ .{displaystyle {begin{aligned}J_{n} ,{X_{m}:min {n,n+1,n+2,ldots '\\\\bigcup ¿Qué? }X_{m}=X_{n}cup X_{n+1}cup X_{n+2}cup cdots.end{aligned}}

La secuencia (J_n) no está aumentando (es decir,. J_n ⊇ J_{n+ 1}) porque cada uno J_{n+ 1} es la unión de menos conjuntos que J_n. El límite más bajo en esta secuencia de la cola es

lim supn→ → JUEGO JUEGO Xn=inf{}Sup{}Xm:m▪ ▪ {}n,n+1,...... }}:n▪ ▪ {}1,2,...... }}=⋂ ⋂ n=1JUEGO JUEGO ()⋃ ⋃ m=nJUEGO JUEGO Xm).{displaystyle {begin{aligned}limsup _{nto infty }X_{n} ,{,sup ,{X_{m}:min {n,n+1,ldots }\\nin {1,2,dots}\\\\\bigcap=bigcap ¿Qué? ¿Qué? - ¡Sí!

Así que el supremum límite está contenido en todos los subconjuntos que son los límites superiores para todos, pero finitamente muchos conjuntos de la secuencia.

Ejemplos

Los siguientes son varios ejemplos de convergencia de conjuntos. Se han dividido en secciones con respecto a la métrica utilizada para inducir la topología en el conjunto X.

Usando la métrica discreta

• El Borel-Cantelli lemma es un ejemplo de aplicación de estos constructos.

Usando la métrica discreta o la métrica euclidiana

• Considere el conjunto X = {0,1} y la secuencia de subconjuntos:

()Xn)=(){}0},{}1},{}0},{}1},{}0},{}1},...... ).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnfn}\fnMicrosoft Sans Serif}\fnMicrosoft Sans Serif}

Los elementos "odd" y "even" de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {0}, {0},...) y ({1}, {1}, {1},...), que tienen puntos límite 0 y 1, respectivamente, y por lo tanto el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se pueden tomar de la (X_n) secuencia en su conjunto, y por lo tanto el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Eso es,

• lim supX_n = {0,1}
• lim infX_n = {}

Sin embargo, para (Y_n- Sí.Z_n- Sí.

• lim supY_n = lim infY_n = limY_n = {0}
• lim supZ_n = lim infZ_n = limZ_n = {1}

• Considere el conjunto X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} y la secuencia de subconjuntos:

()Xn)=(){}50},{}20},{}− − 100},{}− − 25},{}0},{}1},{}0},{}1},{}0},{}1},...... ).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnfn}\fnMicrosoft Sans Serif},\\cn},\cn},\cn},\cn\\cH00},\\\cH0\},nMicrosoft Sans Serif}

Como en los dos ejemplos anteriores,

• lim supX_n = {0,1}
• lim infX_n = {}

Es decir, los cuatro elementos que no coinciden con el patrón no afectan la inf de la lima y sup de la lima porque sólo hay finitamente muchos de ellos. De hecho, estos elementos podrían colocarse en cualquier lugar de la secuencia. Mientras tanto colas de la secuencia se mantiene, los límites exteriores e interiores serán inalterados. Los conceptos conexos esenciales límites interiores y externos, que utilizan el supremum esencial y el infimum esencial, proporcionan una modificación importante que "squashes" contablemente muchos (más que finitamente muchos) adiciones intersticiales.

Usando la métrica Euclideana

• Considere la secuencia de subconjuntos de números racionales:

()Xn)=(){}0},{}1},{}1/2},{}1/2},{}2/3},{}1/3},{}3/4},{}1/4},...... ).{fnMicrosoft Sans Serif} {fnfn}\\fnMicrosoft Sans Serif}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH3\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH001\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\cH001\\\

Los elementos "odd" y "even" de esta secuencia forman dos subsecuencias, ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4},...) y ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4},...), que tienen puntos límite 1 y 0, respectivamente, y por lo tanto el límite exterior o superior es el conjunto {0,1} de estos dos puntos. Sin embargo, no hay puntos límite que se pueden tomar de la (X_n) secuencia en su conjunto, y por lo tanto el límite interior o inferior es el conjunto vacío { }. Así que, como en el ejemplo anterior,

• lim supX_n = {0,1}
• lim infX_n = {}

Sin embargo, para (Y_n({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4},) y (Z_n({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}:

• lim supY_n = lim infY_n = limY_n = {1}
• lim supZ_n = lim infZ_n = limZ_n = {0}

En cada uno de estos cuatro casos, los elementos de los conjuntos de limitación no son elementos de ninguno de los conjuntos de la secuencia original.

• El límite Ω (es decir, conjunto límite) de una solución a un sistema dinámico es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. Porque las trayectorias se acercan cada vez más a este conjunto límite, las colas de estas trayectorias convergencia al límite establecido.

• Por ejemplo, un sistema LTI que es la conexión de cascada de varios sistemas estables con un sistema LTI de segunda orden sin igual (es decir, ratio de amortiguación cero) oscilará sin cesar después de ser perturbado (por ejemplo, una campana ideal después de ser golpeado). Por lo tanto, si la posición y velocidad de este sistema se trazan entre sí, las trayectorias se acercarán a un círculo en el espacio estatal. Este círculo, que es el conjunto límite de Ω del sistema, es el límite exterior de las trayectorias de solución del sistema. El círculo representa el locus de una trayectoria correspondiente a un tono sinusoidal puro; es decir, la salida del sistema se acerca/aproxima un tono puro.

Definiciones generalizadas

Las definiciones anteriores son inadecuadas para muchas aplicaciones técnicas. De hecho, las definiciones anteriores son especializaciones de las siguientes definiciones.

Definición de un conjunto

El límite inferior de un conjunto X ⊆ Y es el ínfimo de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

lim infX:=inf{}x▪ ▪ Y:xes un punto límiteX}{displaystyle liminf X:=inf ,{xin Y:x{text{ is a limit point of }X}},}

Del mismo modo, el límite superior de X es el supremo de todos los puntos límite del conjunto. Es decir,

lim supX:=Sup{}x▪ ▪ Y:xes un punto límiteX}{displaystyle limsup X:=sup ,{xin Y:x{text{ es un punto límite de }X}},}

Tenga en cuenta que el conjunto X debe definirse como un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado Y que también es un espacio topológico para que estas definiciones tengan sentido. Además, tiene que ser un entramado completo para que la suprema y la ínfima existan siempre. En ese caso todo conjunto tiene un límite superior y un límite inferior. También tenga en cuenta que el límite inferior y el límite superior de un conjunto no tienen que ser elementos del conjunto.

Definición de bases de filtro

Tome un espacio topológico X y una base de filtro B en ese espacio. El conjunto de todos los puntos de conglomerado para esa base de filtro viene dado por

⋂ ⋂ {}B̄ ̄ 0:B0▪ ▪ B}{displaystyle bigcap ,{overline {B}_{0} B}

Donde B̄ ̄ 0{displaystyle {fnMicrosoft} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnK}}} {fn}}}}} {fnMicrosoft}}}}}} {fnK}}}}}} {f}}}}}} {fnK}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} es el cierre de B0{displaystyle B_{0}. Este es claramente un conjunto cerrado y es similar al conjunto de puntos límite de un conjunto. Supongamos que X es también un conjunto parcialmente ordenado. El límite superior de la base del filtro B se define como

lim supB:=Sup⋂ ⋂ {}B̄ ̄ 0:B0▪ ▪ B}{displaystyle limsup B:=sup ,bigcap ,{overline - Sí.

cuando ese supremo existe. Cuando X tiene un orden total, es un retículo completo y tiene la topología de orden,

lim supB=inf{}SupB0:B0▪ ▪ B}.{displaystyle limsup B=inf ,{sup B_{0}:B_{0}in B}

Del mismo modo, el límite inferior de la base del filtro B se define como

lim infB:=inf⋂ ⋂ {}B̄ ̄ 0:B0▪ ▪ B}{displaystyle liminf B:=inf ,bigcap ,{overline - Sí.

cuando ese mínimo existe; si X está totalmente ordenado, es un retículo completo y tiene la topología de orden, entonces

lim infB=Sup{}infB0:B0▪ ▪ B}.{displaystyle liminf B=sup ,{inf B_{0}:B_{0}in B}

Si el límite inferior y el límite superior concuerdan, entonces debe haber exactamente un punto de conglomerado y el límite de la base del filtro es igual a este único punto de conglomerado.

Especialización en secuencias y redes

Tenga en cuenta que las bases de filtro son generalizaciones de redes, que son generalizaciones de secuencias. Por lo tanto, estas definiciones dan el límite inferior y límite superior de cualquier red (y por lo tanto cualquier secuencia) también. Por ejemplo, tome espacio topológico X{displaystyle X} y la red ()xα α )α α ▪ ▪ A{displaystyle (x_{alpha })_{alpha in A}, donde ()A,≤ ≤ ){displaystyle (A,{leq })} es un conjunto dirigido y xα α ▪ ▪ X{displaystyle x_{alpha }in X} para todos α α ▪ ▪ A{displaystyle alpha in A}. La base de filtro ("de colas") generada por esta red es B{displaystyle B} definidas por

B:={}{}xα α :α α 0≤ ≤ α α }:α α 0▪ ▪ A}.{displaystyle B:={x_{alpha }:alpha Alpha _{0}in A}

Por lo tanto, el límite inferior y límite superior de la red son iguales al límite superior y límite inferior de B{displaystyle B} respectivamente. Del mismo modo, para el espacio topológico X{displaystyle X}, tomar la secuencia ()xn){displaystyle (x_{n}} Donde xn▪ ▪ X{displaystyle x_{n}in X} para cualquier n▪ ▪ N{displaystyle nin mathbb {N}. La base de filtro ("de colas") generada por esta secuencia es C{displaystyle C} definidas por

C:={}{}xn:n0≤ ≤ n}:n0▪ ▪ N}.{displaystyle C:={x_{n}:n_{0}leq En "Mathbb".

Por lo tanto, el límite inferior y límite superior de la secuencia son iguales al límite superior y límite inferior de C{displaystyle C} respectivamente.