Límite directo

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Caso especial de colimit in category theory

En matemáticas, a límite directo es una manera de construir un objeto (normalmente grande) de muchos (normalmente más pequeños) objetos que se juntan de una manera específica. Estos objetos pueden ser grupos, anillos, espacios vectoriales o en objetos generales de cualquier categoría. La forma en que se reúnen es especificada por un sistema de homomorfismos (homomorfismo de grupo, homomorfismo de anillo, o en morfismos generales en la categoría) entre esos objetos más pequeños. El límite directo de los objetos $A_{i}$ , donde $i$ rangos sobre algunos conjuntos dirigidos $I$ , es denotado por ${displaystyle varinjlim A_{i}}$ . (Esto es un ligero abuso de notación ya que suprime el sistema de homomorfismos que es crucial para la estructura del límite.)

Los límites directos son un caso especial del concepto de colímite en la teoría de categorías. Los límites directos son duales a los límites inversos, que también son un caso especial de límites en la teoría de categorías.

Definición formal

Primero daremos la definición de estructuras algebraicas como grupos y módulos, y luego la definición general, que se puede usar en cualquier categoría.

Límites directos de objetos algebraicos

En esta sección se entiende que los objetos consisten en conjuntos subyacentes equipados con una estructura algebraica dada, como grupos, anillos, módulos (sobre un anillo fijo), álgebras (sobre un campo fijo), etc. Teniendo esto en cuenta, Los homomorfismos se entienden en el marco correspondiente (homomorfismos de grupo, etc.).

Vamos $langle I,leq rangle$ ser un set dirigido. Vamos ${A_{i}:iin I}$ ser una familia de objetos indexados por $I,$ y $f_{ij}colon A_i rightarrow A_j$ ser un homomorfismo para todos $ileq j$ con las siguientes propiedades:

$f_{{ii}},$ es la identidad de $A_{i},$ , y
$f_{{ik}}=f_{{jk}}circ f_{{ij}}$ para todos $ileq jleq k$ .

Luego el par $langle A_{i},f_{{ij}}rangle$ se llama sistema directo sobre $I$ .

El límite directo del sistema directo $langle A_{i},f_{{ij}}rangle$ es denotado por ${displaystyle varinjlim A_{i}}$ y se define como sigue. Su conjunto subyacente es la unión disyuntiva de la $A_{i}$ 's modulo a certain Relación de equivalencia $sim ,$ :

varinjlim A_{i}=bigsqcup _{i}A_{i}{bigg /}sim.

Aquí, si $x_{i}in A_{i}$ y $x_{j}in A_{j}$ , entonces $x_{i}sim ,x_{j}$ si y sólo si hay algunos $kin I$ con $i le k$ y ${displaystyle jleq k}$ tales que $f_{{ik}}(x_{i})=f_{{jk}}(x_{j}),$ . Intuitivamente, dos elementos en la unión disyuntiva son equivalentes si y sólo si "aún se vuelven iguales" en el sistema directo. Una formulación equivalente que pone de relieve la dualidad al límite inverso es que un elemento equivale a todas sus imágenes bajo los mapas del sistema directo, es decir,. ${displaystyle x_{i}sim ,f_{ij}(x_{i})}$ siempre $ileq j$ .

Uno obtiene de esta definición funciones canónicas ${displaystyle phi _{j}colon A_{j}rightarrow varinjlim A_{i}}$ enviar cada elemento a su clase de equivalencia. Las operaciones algebraicas en ${displaystyle varinjlim A_{i},}$ son definidos tal que estos mapas se convierten en homomorfismos. Formalmente, el límite directo del sistema directo $langle A_{i},f_{{ij}}rangle$ consiste en el objeto ${displaystyle varinjlim A_{i}}$ junto con los homomorfismos canónicos ${displaystyle phi _{j}colon A_{j}rightarrow varinjlim A_{i}}$ .

Límites directos en una categoría arbitraria

El límite directo se puede definir en una categoría arbitraria ${mathcal {C}}$ por medio de una propiedad universal. Vamos $langle X_{i},f_{{ij}}rangle$ ser un sistema directo de objetos y morfismos en ${mathcal {C}}$ (según se define más arriba). A objetivo es un par $langle X,phi _{i}rangle$ Donde $X,$ es un objeto en ${mathcal {C}}$ y $phi_icolon X_irightarrow X$ son morfismos para cada uno $iin I$ tales que $phi _{i}=phi _{j}circ f_{{ij}}$ siempre $ileq j$ . Un límite directo del sistema directo $langle X_{i},f_{{ij}}rangle$ es un objetivo universal de replanteamiento $langle X,phi _{i}rangle$ en el sentido de que $langle X,phi _{i}rangle$ es un objetivo y para cada objetivo $langle Y,psi _{i}rangle$ , hay un morfismo único $ucolon Xrightarrow Y$ tales que ${displaystyle ucirc phi _{i}=psi _{i}}$ para cada uno i. El siguiente diagrama

entonces viajará para todos los i, j.

El límite directo a menudo se denota

X=varinjlim X_{i}

con el sistema directo $langle X_{i},f_{{ij}}rangle$ y los morfismos canónicos $phi _{i}$ ser entendido.

A diferencia de los objetos algebraicos, no todos los sistemas directos en una categoría arbitraria tienen un límite directo. Sin embargo, si lo hace, el límite directo es único en un sentido fuerte: dado otro límite directo X′ existe un isomorfismo único X′ → X que conmuta con los morfismos canónicos.

Ejemplos

Una colección de subconjuntos $M_{i}$ de un conjunto $M$ se puede ordenar parcialmente por inclusión. Si la colección está dirigida, su límite directo es el sindicato $bigcup M_{i}$ . Lo mismo es cierto para una colección dirigida de subgrupos de un grupo determinado, o una colección dirigida de subrings de un anillo dado, etc.
La topología débil de un complejo CW se define como un límite directo.
Vamos $X$ ser cualquier conjunto dirigido con un elemento más grande $m$ . El límite directo de cualquier sistema directo correspondiente es isomorfo a $X_{m}$ y el morfismo canónico ${displaystyle phi _{m}:X_{m}rightarrow X}$ es un isomorfismo.
Vamos K Sé un campo. Para un entero positivo n, considerar el grupo lineal general GL(n;K) que consiste en invertible n x n - matrices con entradas K. Tenemos un grupo de homomorfismo GL(n;K) → GL(n+1;K) que agranda las matrices poniendo un 1 en la esquina inferior derecha y ceros en otra parte en la última fila y columna. El límite directo de este sistema es el grupo lineal general K, escrito como GL(K). Un elemento de GL(K) se puede pensar como una matriz invertible infinita que difiere de la matriz de identidad infinita en sólo finitamente muchas entradas. El grupo GL(K) es de vital importancia en la teoría algebraica K.
Vamos p ser un número primo. Considerar el sistema directo compuesto por los grupos de factores ${mathbb {Z}}/p^{n}{mathbb {Z}}$ y los homomorfismos ${displaystyle mathbb {Z} /p^{n}mathbb {Z} rightarrow mathbb {Z} /p^{n+1}mathbb {Z} }$ inducido por multiplicación $p$ . El límite directo de este sistema consiste en todas las raíces de la unidad de orden algún poder de $p$ , y se llama el grupo Prüfer ${mathbb {Z}}(p^{infty })$ .
Hay un (no obvio) homomorfismo de anillo inyectable del anillo de polinomios simétricos en $n$ variables al anillo de polinomios simétricos en $n+1$ variables. Formando el límite directo de este sistema directo produce el anillo de funciones simétricas.
Vamos F ser un C-valorada hoja en un espacio topológico X. Arregla un punto x dentro X. Los barrios abiertos de x form a directed set ordered by inclusion (U ≤ V si U contiene V). El sistema directo correspondiente es (F()U), r_U,VDonde r es el mapa de restricción. El límite directo de este sistema se llama el Talla de F a x, denotado F_x. Por cada barrio U de x, el morfismo canónico F()U) → F_x asociados a una sección s de F sobre U un elemento s_x del tallo F_x llamado germen de s a x.
Los límites directos en la categoría de los espacios topológicos se dan colocando la topología final en el límite directo teórico-definido subyacente.
Un ind-scheme es un límite inductivo de los esquemas.

Propiedades

Los límites directos están vinculados a los límites inversos mediante

{mathrm {Hom}}(varinjlim X_{i},Y)=varprojlim {mathrm {Hom}}(X_{i},Y).

Una propiedad importante es que tomar límites directos en la categoría de módulos es un functor exacto. Esto significa que si empiezas con un sistema dirigido de secuencias exactas cortas ${displaystyle 0to A_{i}to B_{i}to C_{i}to 0}$ y formar límites directos, usted obtiene una secuencia exacta corta ${displaystyle 0to varinjlim A_{i}to varinjlim B_{i}to varinjlim C_{i}to 0}$ .

Construcciones y generalizaciones relacionadas

Observamos que un sistema directo en una categoría ${mathcal {C}}$ admite una descripción alternativa en términos de funerarios. Todo listo $langle I,leq rangle$ puede considerarse como una pequeña categoría ${mathcal {I}}$ cuyos objetos son los elementos $I$ y hay morfismos $irightarrow j$ si $ileq j$ . Un sistema directo sobre $I$ es lo mismo que un functor covariante ${mathcal {I}}rightarrow {mathcal {C}}$ . El colimit de este functor es el mismo que el límite directo del sistema directo original.

Una noción estrechamente relacionada con los límites directos son los límites filtrados. Aquí empezamos con un functor covariante ${displaystyle {mathcal {J}}to {mathcal {C}}}$ de una categoría filtrada ${mathcal {J}}$ a alguna categoría ${mathcal {C}}$ y formar el límite de este functor. Uno puede demostrar que una categoría tiene todos los límites dirigidos si y sólo si tiene todos los colimites filtrados, y un functor definido en tal categoría comute con todos los límites directos si y sólo si viaja con todos los colimites filtrados.

Dada una categoría arbitraria ${mathcal {C}}$ , puede haber sistemas directos en ${mathcal {C}}$ que no tiene un límite directo ${mathcal {C}}$ (considerar por ejemplo la categoría de conjuntos finitos, o la categoría de grupos abelianos generados finitamente). En este caso, siempre podemos incrustar ${mathcal {C}}$ en una categoría ${displaystyle {text{Ind}}({mathcal {C}})}$ en que existen todos los límites directos; los objetos de ${displaystyle {text{Ind}}({mathcal {C}})}$ son llamados objetos ind de ${mathcal {C}}$ .

El dual categórico del límite directo se llama límite inverso. Como antes, los límites inversos pueden verse como límites de ciertos funtores y están estrechamente relacionados con los límites sobre categorías cofiltradas.

Terminología

En la literatura, se encuentran los términos "límite dirigido", "límite inductivo directo", "colimito dirigido", "colimito directo" y "límite inductivo" para el concepto de límite directo definido anteriormente. El término "límite inductivo" es ambiguo sin embargo, ya que algunos autores lo utilizan para el concepto general de colimit.

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