Límite clásico

El límite clásico o límite de correspondencia es la capacidad de una teoría física para aproximarse o "recuperar" mecánica clásica cuando se considera sobre valores especiales de sus parámetros. El límite clásico se utiliza con teorías físicas que predicen comportamientos no clásicos.

Teoría cuántica

Niels Bohr introdujo en la teoría cuántica un postulado heurístico llamado principio de correspondencia: en efecto, establece que algún tipo de argumento de continuidad debería aplicarse al límite clásico de los sistemas cuánticos como el valor de la constante de Planck normalizada por la acción de estos sistemas se vuelven muy pequeños. A menudo, esto se aborda a través de métodos "cuasiclásicos". técnicas (cf. aproximación WKB).

Más rigurosamente, la operación matemática involucrada en los límites clásicos es una contracción de grupo, que se aproxima a sistemas físicos donde la acción relevante es mucho mayor que la constante de Planck reducida ħ, por lo que el "parámetro de deformación" ħ/S puede efectivamente se considerará cero (cf. cuantificación de Weyl). Por lo tanto, normalmente, los conmutadores cuánticos (equivalentemente, corchetes de Moyal) se reducen a corchetes de Poisson, en una contracción de grupo.

En mecánica cuántica, debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, un electrón nunca puede estar en reposo; siempre debe tener una energía cinética distinta de cero, un resultado que no se encuentra en la mecánica clásica. Por ejemplo, si consideramos algo muy grande en relación con un electrón, como una pelota de béisbol, el principio de incertidumbre predice que en realidad no puede tener energía cinética cero, pero la incertidumbre en la energía cinética es tan pequeña que la pelota de béisbol puede parecer efectivamente en reposo., y por tanto parece obedecer a la mecánica clásica. En general, si en mecánica cuántica se consideran grandes energías y objetos grandes (en relación con el tamaño y los niveles de energía de un electrón), el resultado parecerá obedecer a la mecánica clásica. Los números de ocupación típicos involucrados son enormes: un oscilador armónico macroscópico con ω = 2 Hz, estilo m = 10 g, y amplitud máxima x₀ = 10 cm, tiene S ≈ E/ω ≈ mωx ²
>₀/2 ≈ 10⁻⁴ kg·m²/s = ħn, de modo que n ≃ 10 ³⁰. Ver más estados coherentes. Sin embargo, no está tan claro cómo se aplica el límite clásico a los sistemas caóticos, un campo conocido como caos cuántico.

La mecánica cuántica y la mecánica clásica generalmente se tratan con formalismos completamente diferentes: la teoría cuántica usa el espacio de Hilbert y la mecánica clásica usa una representación en el espacio de fase. Se pueden llevar ambos a un marco matemático común de varias maneras. En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, que es de naturaleza estadística, se establecen conexiones lógicas entre la mecánica cuántica y la mecánica estadística clásica, lo que permite comparaciones naturales entre ellas, incluidas las violaciones del teorema de Liouville (hamiltoniano) en la cuantización.

En un artículo crucial (1933), Dirac explicó cómo la mecánica clásica es un fenómeno emergente de la mecánica cuántica: interferencia destructiva entre trayectorias con acciones macroscópicas no extremas S » ħ borra las contribuciones de amplitud en la integral de ruta que introdujo, dejando la acción extrema S_clase, por lo que la ruta de acción clásica es la contribución dominante, una observación elaborada con más detalle por Feynman en su doctorado de 1942. disertación. (Ver más detalladamente decoherencia cuántica).

Evolución temporal de los valores esperados

Una manera sencilla de comparar la mecánica clásica con la mecánica cuántica es considerar la evolución del tiempo previstos posición y previstos ímpetu, que puede compararse con la evolución del tiempo de la posición y el impulso ordinario en la mecánica clásica. Los valores de expectativa cuántica satisfacen el teorema de Ehrenfest. Para una partícula cuántica unidimensional que se mueve en un potencial V{displaystyle V}El teorema de Ehrenfest dice

mddt.. x.. =.. p.. ;ddt.. p.. =− − .V.()X)..{displaystyle m{frac {d} {dt}langle xrangle =langle prangle;quad {frac {d} {dt}langle prangle =-leftlangle V'(X)rightrangle.}

Aunque la primera de estas ecuaciones es consistente con la mecánica clásica, la segunda no es: Si el par ().. X.. ,.. P.. ){displaystyle (langle Xranglelangle Prangle)} era para satisfacer la segunda ley de Newton, el lado derecho de la segunda ecuación habría leído

ddt.. p.. =− − V.().X.){displaystyle {frac {d}}langle prangle =-V'left(leftlangle Xrightrangle right)}.

Pero en la mayoría de los casos,

.V.()X).ل ل V.().X.){displaystyle leftlangle V'(X)rightrangle neq V'(leftlangle Xrightrangle)}.

Si por ejemplo, el potencial V{displaystyle V} es cúbico, entonces V.{displaystyle V'} es cuadrático, en cuyo caso estamos hablando de la distinción entre .. X2.. {displaystyle langle X^{2}rangle } y .. X.. 2{displaystyle langle Xrangle ^{2}, que difieren ()Δ Δ X)2{displaystyle (Delta X)}{2}.

Una excepción ocurre cuando las ecuaciones clásicas del movimiento son lineales, es decir, cuando V{displaystyle V} es cuadrático y V.{displaystyle V'} es lineal. En ese caso especial, V.().X.){displaystyle V'left(leftlangle Xrightrangle right)} y .V.()X).{displaystyle leftlangle V'(X)rightrangle } Está de acuerdo. En particular, para una partícula libre o un oscilador armónico cuántico, la posición esperada y el impulso esperado sigue exactamente las soluciones de las ecuaciones de Newton.

Para los sistemas generales, lo mejor que podemos esperar es que la posición y el impulso esperados aproximadamente seguir las trayectorias clásicas. Si la función de onda está muy concentrada alrededor de un punto x0{displaystyle x_{0}, entonces V.().X.){displaystyle V'left(leftlangle Xrightrangle right)} y .V.()X).{displaystyle leftlangle V'(X)rightrangle } será casi lo mismo, ya que ambos serán aproximadamente iguales V.()x0){displaystyle V'(x_{0}}. En ese caso, la posición esperada y el impulso esperado permanecerán muy cerca de las trayectorias clásicas, al menos por tanto tiempo la función de onda permanece altamente localizada en posición.

Ahora bien, si el estado inicial está muy localizado en su posición, su impulso estará muy extendido y, por lo tanto, esperamos que la función de onda se expanda rápidamente y se pierda la conexión con las trayectorias clásicas. Sin embargo, cuando la constante de Planck es pequeña, es posible tener un estado que esté bien localizado tanto en la posición como en el momento. La pequeña incertidumbre en el momento garantiza que la partícula permanezca bien localizada en su posición durante mucho tiempo, de modo que la posición y el momento esperados sigan de cerca las trayectorias clásicas durante mucho tiempo.

Relatividad y otras deformaciones

Otras deformaciones familiares en física implican:

• La deformación del Newtoniano clásico en la mecánica relativista (relatividad especial), con parámetro de deformación v/c; el límite clásico implica pequeñas velocidades, por lo que v/c→ 0, y los sistemas parecen obedecer a la mecánica newtoniana.
• Del mismo modo para la deformación de la gravedad newtoniana en la relatividad general, con el parámetro deformación Schwarzschild-radius/characteristic-dimension, encontramos que los objetos una vez más parecen obedecer a la mecánica clásica (espacio plano), cuando la masa de un objeto tiempos la plaza de la longitud Planck es mucho menor que su tamaño y los tamaños del problema abordado. Vea el límite de Newtonian.
• La onda óptica también puede considerarse como una deformación de la óptica de rayos para el parámetro de deformación λ/a.
• Asimismo, la termodinámica deforma a la mecánica estadística con parámetro de deformación 1/N.