Liber Abaci

Una página de la Liber Abaci de la Biblioteca Nazionale di Firenze. La lista de la derecha muestra los números 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 (secuencia Fibonacci). Los números 2, 8 y 9 se asemejan a números arábigos más que números arábigos orientales o números indios

Liber Abaci (también escrito como Liber Abbaci; "El Libro del Cálculo") es un histórico manuscrito latino de 1202 sobre aritmética de Leonardo de Pisa, conocido póstumamente como Fibonacci.

Liber Abaci fue uno de los primeros libros occidentales en describir el sistema de numeración hindú-árabe y en usar símbolos que se asemejan a los "números arábigos" modernos. Al abordar las aplicaciones de comerciantes y matemáticos, promovió la superioridad del sistema y el uso de estos glifos.

Aunque el título del libro a veces se traduce como "El libro del ábaco", Sigler (2002) señala que es un error leer esto como una referencia a los dispositivos de cálculo llamados "ábaco". Más bien, la palabra "ábaco" se usó en ese momento para referirse al cálculo en cualquier forma; la ortografía "abbacus" con dos "b"s (que es como Leonardo lo deletreaba en el manuscrito original en latín) se usaba, y todavía se usa en Italia, para referirse al cálculo usando números arábigos hindúes, lo que puede evitar confusiones. El libro describe métodos para hacer cálculos sin la ayuda de un ábaco, y como confirma Ore (1948), durante siglos después de su publicación, los algorismistas (seguidores del estilo de cálculo demostrado en Liber Abaci) permanecieron en conflicto. con los abacistas (tradicionalistas que continuaron usando el ábaco junto con los números romanos). El historiador de las matemáticas Carl Boyer afirmó en su Historia de las matemáticas que se trata de un tratado muy completo sobre métodos y problemas algebraicos en el que se recomienda encarecidamente el uso de los números arábigos hindúes."

Resumen de secciones

La primera sección presenta el sistema numérico hindú-árabe, incluidos los métodos para convertir entre diferentes sistemas de representación. Esta sección también incluye la primera descripción conocida de división de prueba para probar si un número es compuesto y, de ser así, factorizarlo.

La segunda sección presenta ejemplos del comercio, como conversiones de moneda y medidas, y cálculos de ganancias e intereses.

La tercera sección analiza una serie de problemas matemáticos; por ejemplo, incluye (cap. II.12) el teorema chino del resto, números perfectos y números primos de Mersenne, así como fórmulas para series aritméticas y para números piramidales cuadrados. Otro ejemplo en este capítulo involucra el crecimiento de una población de conejos, donde la solución requiere generar una secuencia numérica. Aunque el problema se remonta mucho antes de Leonardo, su inclusión en su libro es la razón por la cual la secuencia de Fibonacci lleva su nombre en la actualidad.

La cuarta sección deriva aproximaciones, tanto numéricas como geométricas, de números irracionales como raíces cuadradas.

El libro también incluye demostraciones en geometría euclidiana. El método de Fibonacci para resolver ecuaciones algebraicas muestra la influencia del matemático egipcio de principios del siglo X Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam.

Notación de Fibonacci para fracciones

Al leer Liber Abaci, es útil comprender la notación de Fibonacci para números racionales, una notación que es intermedia en forma entre las fracciones egipcias comúnmente utilizadas hasta ese momento y las fracciones vulgares. todavía en uso hoy en día. Hay tres diferencias clave entre la notación de Fibonacci y la notación de fracción moderna.

1. La notación moderna generalmente escribe una fracción al derecho de todo el número al que se añade, por ejemplo 213{displaystyle 2,{tfrac {1}{3}} para 7/3. Fibonacci escribiría la misma fracción a la izquierda, es decir, 132{fnMicroc} {1}{3},2}.
2. Fibonacci usó un fracción compuesta notación en la que una secuencia de numeradores y denominadores compartían la misma barra de fracciones; cada uno de estos términos representaba una fracción adicional del numerador dado dividido por el producto de todos los denominadores abajo y a la derecha de él. Eso es, badc=ac+bcd{fnMicroc} {B,fnMicroc} {fnMicroc} {a}{c}+{tfrac} {b}{cd}}, y cbafed=ad+bde+cdef{fnMicroc {fnMicroc}={f,ff}={tfrac\cccccH00,00,00,00,00,00,00,00cH00}= {fnMicroc} {a}{d}+{tfrac {b}{de}+{tfrac {c}{def}}. La notación fue leída de derecha a izquierda. Por ejemplo, 29/30 podría ser escrito como 124235{fnMicroc {fnMicroc} {,,4}{2,,3,5}}}, representando el valor 45+23× × 5+12× × 3× × 5{displaystyle {tfrac {4}{tfrac {2}{3times 5}+{tfrac {1}{2times 3times 5}}. Esto se puede ver como una forma de notación de radio mixta, y fue muy conveniente para tratar con sistemas tradicionales de pesos, medidas y moneda. Por ejemplo, para unidades de longitud, un pie es 1/3 de un patio, y una pulgada es 1/12 de un pie, por lo que una cantidad de 5 metros, 2 pies, y 734{displaystyle 7{tfrac {3}{4}} las pulgadas podrían ser representadas como una fracción compuesta: 37241235{fnMicroc {3,7,2}{4,,12,,3},5}} yardas. Sin embargo, las notaciones típicas de las medidas tradicionales, aunque se basan de forma similar en los radios mixtos, no escriben explícitamente a los denominadores; los denominadores explícitos en la notación de Fibonacci le permiten utilizar diferentes radios para diferentes problemas cuando sea conveniente. Sigler también señala una instancia en la que Fibonacci utiliza fracciones compuestas en las que todos los denominadores son 10, prefigurando notación decimal moderna para fracciones.
3. Fibonacci a veces escribió varias fracciones al lado del otro, representando una suma de las fracciones dadas. Por ejemplo, 1/3+1/4 = 7/12, por lo que una notación como 14132{displaystyle {tfrac {}{4},{tfrac} {1}{3},2} representaría el número que ahora sería más comúnmente escrito como el número mixto 2712{displaystyle 2,{tfrac {7}{12}}, o simplemente la fracción inadecuada 3112{displaystyle {tfrac {31}{12}}. La notación de esta forma puede distinguirse de secuencias de numeradores y denominadores que comparten una barra de fracción por la ruptura visible en la barra. Si todos los numeradores son 1 en una fracción escrita en esta forma, y todos los denominadores son diferentes entre sí, el resultado es una representación de la fracción egipcia del número. Esta notación también se combinó a veces con la notación de fracción compuesta: dos fracciones compuestas escritas al lado del otro representarían la suma de las fracciones.

La complejidad de esta notación permite que los números se escriban de muchas maneras diferentes, y Fibonacci describió varios métodos para convertir de un estilo de representación a otro. En particular, el capítulo II.7 contiene una lista de métodos para convertir una fracción impropia en una fracción egipcia, incluido el algoritmo voraz para fracciones egipcias, también conocido como expansión de Fibonacci-Sylvester.

Modo Indorum

En el Liber Abaci, Fibonacci dice lo siguiente introduciendo el afirmativo Modus Indorum (el método de los indios), hoy conocido como sistema de numeración hindú-árabe o base- 10 notación posicional. También introdujo dígitos que se parecían mucho a los números arábigos modernos.

Como mi padre era un funcionario público lejos de nuestra patria en el Aduanero de Bugia establecido para los comerciantes Pisanos que con frecuencia se reunieron allí, él me tenía en mi juventud traído a él, buscando encontrar para mí un futuro útil y cómodo; allí él quería que yo estuviera en el estudio de las matemáticas y ser enseñado durante algunos días. Allí de una maravillosa instrucción en el arte de las nueve figuras indias, la introducción y conocimiento del arte me agradó tanto sobre todo, y aprendí de ellos, quien fue aprendido en él, de Egipto cercano, Siria, Grecia, Sicilia y Provenza, y sus diversos métodos, a los cuales lugares de negocio viajé considerablemente después para mucho estudio, y aprendí de las disputas reunidas. Pero esto, en general, el algoritmo e incluso los arcos pitagóricos, todavía consideré casi un error en comparación con el método indio. Por lo tanto, abrazando estrictamente el método indio, y atento al estudio de él, desde mi propio sentido añadiendo algunos, y algunos más aún del sutil arte geométrico euclidiano, aplicando la suma que pude percibir a este libro, trabajé para juntarlo en capítulos distintos xv, mostrando cierta prueba para casi todo lo que he puesto, de modo que, además, este método perfeccionado por encima del resto, esta ciencia es instruida a los mínimos, y a todos los italianos. Si, por casualidad, algo menos o más apropiado o necesario omití, su indulgencia para mí está arraigada, ya que no hay nadie que esté sin culpa, y en todas las cosas es totalmente circunspectiva.

Las nueve figuras indias son:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Con estas nueve figuras, y con el signo 0 que los árabes llaman zephir cualquier número que está escrito...

En otras palabras, en su libro abogó por el uso de los dígitos del 0 al 9 y del valor posicional. Hasta ese momento, Europa usaba números romanos, lo que hacía que las matemáticas modernas fueran casi imposibles. El libro hizo así una importante contribución a la difusión de los números decimales. Sin embargo, la expansión del sistema hindú-árabe, como escribe Ore, fue 'prolongada', tomó muchos siglos más para extenderse ampliamente, y no se completó hasta la última parte del siglo XVI., acelerándose dramáticamente solo en el siglo XVI con el advenimiento de la imprenta.

Historia textual

La primera aparición del manuscrito fue en 1202. No se conocen copias de esta versión. Una versión revisada de Liber Abaci, dedicada a Michael Scot, apareció en 1227 CE. Existen al menos diecinueve manuscritos que contienen partes de este texto. Hay tres versiones completas de este manuscrito de los siglos XIII y XIV. Hay otras nueve copias incompletas conocidas entre los siglos XIII y XV, y es posible que haya más aún sin identificar.

No se conocía una versión impresa de Liber Abaci hasta la traducción italiana de Boncompagni de 1857. La primera traducción completa al inglés fue el texto de Sigler de 2002.