Leyes de movimiento de Euler

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En la mecánica clásica, las leyes de movimiento de Euler son ecuaciones de movimiento que extienden las leyes de movimiento de Newton para partículas puntuales al movimiento de un cuerpo rígido. Fueron formuladas por Leonhard Euler unos 50 años después de que Isaac Newton formulara sus leyes.

Visión general

Primera ley de euler

La primera ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento lineal p de un cuerpo rígido es igual a la resultante de todas las fuerzas externas _Fextque actúan sobre el cuerpo:

Fext = _{_}dp _/dt.

Las fuerzas internas entre las partículas que forman un cuerpo no contribuyen a cambiar el momento del cuerpo ya que hay una fuerza igual y opuesta que no produce un efecto neto.

El momento lineal de un cuerpo rígido es el producto de la masa del cuerpo y la velocidad de su centro de masa v _cm.

Segunda ley de euler

La segunda ley de Euler establece que la tasa de cambio del momento angular L alrededor de un punto que está fijo en un marco de referencia inercial (a menudo el centro de masa del cuerpo), es igual a la suma de los momentos de fuerza externos (torques) que actúan en ese cuerpo M sobre ese punto: ${mathbf M}={d{mathbf L} sobre dt}$ .

Tenga en cuenta que la fórmula anterior se cumple solo si tanto M como L se calculan con respecto a un marco inercial fijo o un marco paralelo al marco inercial pero fijo en el centro de masa. Para cuerpos rígidos que se trasladan y giran en solo dos dimensiones, esto se puede expresar como: ${mathbf M}={mathbf r}_{{{rm {cm}}}}times {mathbf a}_{{{rm {cm}}}}m+I{boldsymbol { alfa }}$ ,

dónde:

r _cm es el vector de posición del centro de masa del cuerpo con respecto al punto sobre el cual se suman los momentos,
a _cm es la aceleración lineal del centro de masa del cuerpo,
m es la masa del cuerpo,
α es la aceleración angular del cuerpo, y
I es el momento de inercia del cuerpo con respecto a su centro de masa.

Véanse también las ecuaciones de Euler (dinámica de cuerpos rígidos).

Explicación y derivación

La distribución de las fuerzas internas en un cuerpo deformable no es necesariamente igual en todo, es decir, las tensiones varían de un punto a otro. Esta variación de las fuerzas internas en todo el cuerpo se rige por la segunda ley de conservación del momento lineal y del momento angular de Newton, que para su uso más simple se aplican a una partícula de masa, pero se extienden en la mecánica continua a un cuerpo de masa distribuida continuamente. Para cuerpos continuos, estas leyes se denominan leyes de movimiento de Euler.. Si un cuerpo se representa como un conjunto de partículas discretas, cada una gobernada por las leyes de movimiento de Newton, entonces las ecuaciones de Euler pueden derivarse de las leyes de Newton. Sin embargo, las ecuaciones de Euler pueden tomarse como axiomas que describen las leyes del movimiento de cuerpos extensos, independientemente de cualquier distribución de partículas.

La fuerza corporal total aplicada a un cuerpo continuo con masa m, densidad de masa ρ y volumen V, es la integral de volumen integrada sobre el volumen del cuerpo: ${mathbf F}_{B}=int _{V}{mathbf b},dm=int _{V}{mathbf b}rho ,dV$

donde b es la fuerza que actúa sobre el cuerpo por unidad de masa (dimensiones de aceleración, engañosamente llamada "fuerza del cuerpo"), y dm = ρ dV es un elemento de masa infinitesimal del cuerpo.

Las fuerzas del cuerpo y las fuerzas de contacto que actúan sobre el cuerpo conducen a momentos correspondientes (torques) de esas fuerzas en relación con un punto dado. Por lo tanto, el par total aplicado M con respecto al origen está dado por ${mathbf M}={mathbf M}_{B}+{mathbf M}_{C}$

donde M _B y M _C indican respectivamente los momentos causados por el cuerpo y las fuerzas de contacto.

Por lo tanto, la suma de todas las fuerzas y torsiones aplicadas (con respecto al origen del sistema de coordenadas) que actúan sobre el cuerpo se puede dar como la suma de una integral de volumen y superficie: ${mathbf F}=int _{V}{mathbf a},dm=int _{V}{mathbf a}rho ,dV=int _{S}{mathbf {t} }dS+int _{V}{mathbf b}rho ,dV$ ${displaystylemathbf{M}=mathbf{M}_{B}+mathbf{M}_{C}=int_{S}mathbf{r}timesmathbf{t}dS+int _ {V}mathbf{r}vecesmathbf{b}rho,dV.}$

donde t = t (n) se denomina tracción superficial, integrada sobre la superficie del cuerpo, a su vez n denota un vector unitario normal y dirigido hacia el exterior de la superficie S.

Sea el sistema de coordenadas (x ₁, x ₂, x ₃) un marco de referencia inercial, sea r el vector de posición de una partícula puntual en el cuerpo continuo con respecto al origen del sistema de coordenadas, y v =dr _/dtSea el vector velocidad de ese punto.

El primer axioma o ley de Euler (ley del equilibrio de la cantidad de movimiento lineal o equilibrio de fuerzas) establece que en un marco de inercia la tasa de cambio en el tiempo de la cantidad de movimiento lineal p de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual a la fuerza total aplicada F que actúa sobre esa porción, y se expresa como ${begin{alineado}{frac {d{mathbf p}}{dt}}&={mathbf F}\{frac {d}{dt}}int _{V}rho { mathbf v},dV&=int _{S}{mathbf t}dS+int _{V}{mathbf b}rho ,dV.\end{alineado}}$

El segundo axioma o ley de Euler (ley del equilibrio del momento angular o equilibrio de los pares) establece que en un sistema inercial la tasa de cambio en el tiempo del momento angular L de una porción arbitraria de un cuerpo continuo es igual al par total aplicado M que actúa sobre esa porción, y se expresa como ${begin{alineado}{frac {d{mathbf L}}{dt}}&={mathbf M}\{frac {d}{dt}}int _{V}{mathbf r }times rho {mathbf v},dV&=int _{S}{mathbf r}times {mathbf t}dS+int _{V}{mathbf r}times {mathbf b }rho,dV.\end{alineado}}$

Donde ${ estilo de visualización mathbf {v}}$ es la velocidad, $V$ el volumen y las derivadas de p y L son derivadas materiales.

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