Ley del paralelogramo

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La suma de los cuadrados de los 4 lados de un paralelograma es igual a la de las 2 diagonales

En matemáticas, la forma más simple de la ley del paralelogramo (también llamada identidad del paralelogramo) pertenece a la geometría elemental. Dice que la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. Usamos estas notaciones para los lados: AB, BC, CD, DA. Pero como en la geometría euclidiana un paralelogramo necesariamente tiene lados opuestos iguales, es decir, AB = CD y BC = DA, la ley se puede expresar como

{displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2},}

Did you mean:

If the parallelogram is a rectangle, the two diagonals are of equal lengths A = BD, so

{displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}}

{displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2},}

x

x=0

Prueba

En el paralelograma a la derecha, deje AD = BC = a, AB = DC = b, ${displaystyle angle BAD=alpha.}$ Usando la ley de los cosines en el triángulo ${displaystyle triangle BAD,}$ Tenemos:

{displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos(alpha)=BD^{2}.}

En un paralelograma, los ángulos adyacentes son complementarios, por lo tanto ${displaystyle angle ADC=180^{circ }-alpha.}$ Usando la ley de cosines en triángulo ${displaystyle triangle ADC,}$ produce:

{displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos(180^{circ }-alpha)=AC^{2}.}

Aplicando la identidad trigonométrica ${displaystyle cos(180^{circ }-x)=-cos x}$ al resultado anterior demuestra:

{displaystyle a^{2}+b^{2}+2abcos(alpha)=AC^{2}.}

Ahora la suma de los cuadrados ${displaystyle BD^{2}+AC^{2}}$ puede expresarse como:

{displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(alpha)+a^{2}+b^{2}+2abcos(alpha).}

Simplificando esta expresión, queda:

{displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}.}

La ley del paralelogramo en espacios de productos internos

En un espacio normado, el enunciado de la ley del paralelogramo es una ecuación que relaciona normas:

{displaystyle 2|x|^{2}+2|y|^{2}=|x+y|^{2}+|x-y|^{2}quad {text{ for all }}x,y.}

La ley del paralelogramo es equivalente a la afirmación aparentemente más débil:

{displaystyle 2|x|^{2}+2|y|^{2}leq |x+y|^{2}+|x-y|^{2}quad {text{ for all }}x,y}

{textstyle {frac {1}{2}}left(x+yright)}

x,

{textstyle {frac {1}{2}}left(x-yright)}

y,

{displaystyle |x+y|^{2}+|x-y|^{2}leq 2|x|^{2}+2|y|^{2}quad {text{ for all }}x,y.}

En un espacio de producto interno, la norma se determina utilizando el producto interno:

{displaystyle |x|^{2}=langle x,xrangle.}

Como consecuencia de esta definición, en un espacio producto interno la ley del paralelogramo es una identidad algebraica, fácilmente establecida usando las propiedades del producto interno:

{displaystyle |x+y|^{2}=langle x+y,x+yrangle =langle x,xrangle +langle x,yrangle +langle y,xrangle +langle y,yrangle}

{displaystyle |x-y|^{2}=langle x-y,x-yrangle =langle x,xrangle -langle x,yrangle -langle y,xrangle +langle y,yrangle.}

Añadiendo estas dos expresiones:

{displaystyle |x+y|^{2}+|x-y|^{2}=2langle x,xrangle +2langle y,yrangle =2|x|^{2}+2|y|^{2},}

Si $x$ es ortogonal a $y,$ significado ${displaystyle langle x, yrangle =0,}$ y la ecuación anterior para la norma de una suma se convierte en:

{displaystyle |x+y|^{2}=langle x,xrangle +langle x,yrangle +langle y,xrangle +langle y,yrangle =|x|^{2}+|y|^{2},}

Espacios vectoriales normados que satisfacen la ley del paralelogramo

Los espacios vectores más reales y complejos no tienen productos interiores, pero todos los espacios vectoriales normalizados tienen normas (por definición). Por ejemplo, una norma comúnmente utilizada para un vector ${displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldotsx_{n})}$ en el espacio de coordenadas real $mathbb {R} ^{n}$ es $p$ -norm:

{displaystyle |x|_{p}=left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+dotsb +|x_{n}|^{p}right)^{1/p}.}

Dada una norma, se puede evaluar ambos lados de la ley de paralelogramas arriba. Un hecho notable es que si la ley de paralelograma sostiene, entonces la norma debe surgir de la manera habitual de algún producto interno. En particular, tiene para el $p$ -norm si y sólo si ${displaystyle p=2,}$ el llamado Euclidean norma o estándar norma.

Para cualquier norma que satisfaga la ley del paralelogramo (que necesariamente es una norma de producto interno), el producto interno que genera la norma es único como consecuencia de la identidad de polarización. En el caso real, la identidad de polarización viene dada por:

{displaystyle langle x,yrangle ={frac {|x+y|^{2}-|x-y|^{2}}{4}},}

{displaystyle {frac {|x+y|^{2}-|x|^{2}-|y|^{2}}{2}}qquad {text{ or }}qquad {frac {|x|^{2}+|y|^{2}-|x-y|^{2}}{2}}.}

En el caso complejo viene dado por:

{displaystyle langle x,yrangle ={frac {|x+y|^{2}-|x-y|^{2}}{4}}+i{frac {|ix-y|^{2}-|ix+y|^{2}}{4}}.}

Por ejemplo, usando el $p$ -norm con $p=2$ y vectores reales $x$ y $y,$ la evaluación del producto interno procede de la siguiente manera:

{displaystyle {begin{aligned}langle x,yrangle &={frac {|x+y|^{2}-|x-y|^{2}}{4}}\[4mu]&={tfrac {1}{4}}left(sum _{i}|x_{i}+y_{i}|^{2}-sum _{i}|x_{i}-y_{i}|^{2}right)\[2mu]&={tfrac {1}{4}}left(4sum _{i}x_{i}y_{i}right)\&=xcdot y,\end{aligned}}}

Otra condición necesaria y suficiente para que exista un producto interno que induzca la norma dada $|cdot |$ es para la norma para satisfacer La desigualdad de Ptolomeo:

{displaystyle |x-y|,|z|~+~|y-z|,|x|~geq ~|x-z|,|y|qquad {text{ for all vectors }}x,y,z.}

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