Ley del paralelogramo

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La suma de los cuadrados de los 4 lados de un paralelograma es igual a la de las 2 diagonales
Los lados del paralelograma ABCD se muestran en azul y las diagonales en rojo. La suma de las áreas de los cuadrados azules igual a la de los rojos.

En matemáticas, la forma más simple de la ley del paralelogramo (también llamada identidad del paralelogramo) pertenece a la geometría elemental. Dice que la suma de los cuadrados de las longitudes de los cuatro lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de las dos diagonales. Usamos estas notaciones para los lados: AB, BC, CD, DA. Pero como en la geometría euclidiana un paralelogramo necesariamente tiene lados opuestos iguales, es decir, AB = CD y BC = DA, la ley se puede expresar como

2AB2+2BC2=AC2+BD2{displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=AC^{2}+BD^{2},}

Did you mean:

If the parallelogram is a rectangle, the two diagonals are of equal lengths A = BD, so

2AB2+2BC2=2AC2{displaystyle 2AB^{2}+2BC^{2}=2AC^{2}
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4x2,{displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}=AC^{2}+BD^{2}+4x^{2}
x{displaystyle x}x=0{displaystyle x=0}

Prueba

En el paralelograma a la derecha, deje AD = BC = a, AB = DC = b, ∠ ∠ BAD=α α .{displaystyle angle BAD=alpha.} Usando la ley de los cosines en el triángulo   BAD,{displaystyle triangle BAD,} Tenemos:

a2+b2− − 2ab#⁡ ⁡ ()α α )=BD2.{displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos(alpha)=BD^{2}

En un paralelograma, los ángulos adyacentes son complementarios, por lo tanto ∠ ∠ ADC=180∘ ∘ − − α α .{displaystyle angle ADC=180^{circ }-alpha.} Usando la ley de cosines en triángulo   ADC,{displaystyle triangle ADC,} produce:

a2+b2− − 2ab#⁡ ⁡ ()180∘ ∘ − − α α )=AC2.{displaystyle a^{2}+b^{2}-2abcos(180^{circ }-alpha)=AC^{2}

Aplicando la identidad trigonométrica #⁡ ⁡ ()180∘ ∘ − − x)=− − #⁡ ⁡ x{displaystyle cos(180^{circ }-x)=-cos x} al resultado anterior demuestra:

a2+b2+2ab#⁡ ⁡ ()α α )=AC2.{displaystyle a^{2}+b^{2}+2abcos(alpha)=AC^{2}

Ahora la suma de los cuadrados BD2+AC2{displaystyle BD^{2}+AC^{2} puede expresarse como:

BD2+AC2=a2+b2− − 2ab#⁡ ⁡ ()α α )+a2+b2+2ab#⁡ ⁡ ()α α ).{displaystyle BD^{2}+AC^{2}=a^{2}+b^{2}-2abcos(alpha)+a^{2}+b^{2}+2abcos(alpha).}

Simplificando esta expresión, queda:

BD2+AC2=2a2+2b2.{displaystyle BD^{2}+AC^{2}=2a^{2}+2b^{2}

La ley del paralelogramo en espacios de productos internos

Vectores involucrados en la ley paralela.

En un espacio normado, el enunciado de la ley del paralelogramo es una ecuación que relaciona normas:

2.. x.. 2+2.. Sí... 2=.. x+Sí... 2+.. x− − Sí... 2para todosx,Sí..{displaystyle 2h00fnh00fnh00}fnfnK}=fnx+yfh00}+fnx-yfn\fnK}quad Sí.

La ley del paralelogramo es equivalente a la afirmación aparentemente más débil:

2.. x.. 2+2.. Sí... 2≤ ≤ .. x+Sí... 2+.. x− − Sí... 2para todosx,Sí.{displaystyle 2fnxfnh00}+2fnciónfnh00}leq "Principalmente, para todos }x, y '
12()x+Sí.){textstyle {frac {1}{2}left(x+yright)}x,{displaystyle x,}12()x− − Sí.){textstyle {frac {1}{2}left(x-yright)}Sí.,{displaystyle y,}
.. x+Sí... 2+.. x− − Sí... 2≤ ≤ 2.. x.. 2+2.. Sí... 2para todosx,Sí..{displaystyle "Princex+y bendiciones^{2}+ eternax-y eterna^{2}leq 2 eternax WordPress^{2}+2 eternay WordPress^{2}quad {text{ for all }x,y.}

En un espacio de producto interno, la norma se determina utilizando el producto interno:

.. x.. 2=.. x,x.. .{displaystylefnxfnh00}=langle x,xrangle.}

Como consecuencia de esta definición, en un espacio producto interno la ley del paralelogramo es una identidad algebraica, fácilmente establecida usando las propiedades del producto interno:

.. x+Sí... 2=.. x+Sí.,x+Sí... =.. x,x.. +.. x,Sí... +.. Sí.,x.. +.. Sí.,Sí... ,{displaystyle "Principio" x+y,x+yrangle =langle x,xrangle +langle x,yrangle +langle y,xrangle +langle y,yrangle}
.. x− − Sí... 2=.. x− − Sí.,x− − Sí... =.. x,x.. − − .. x,Sí... − − .. Sí.,x.. +.. Sí.,Sí... .{displaystyle Toddx-yfnK}=langle x-y,x-yrangle =langle x,xrangle -langle x,yrangle -langle y,xrangle +langle y,yrangle.}

Añadiendo estas dos expresiones:

.. x+Sí... 2+.. x− − Sí... 2=2.. x,x.. +2.. Sí.,Sí... =2.. x.. 2+2.. Sí... 2,{displaystyle "Princex+y WordPress^{2}+"Principio-y sobre la vida^{2}=2langle x,xrangle +2langle y,yrangle =2 sobre la vida"{2}+2 sobre la vida eterna^{2},}

Si x{displaystyle x} es ortogonal a Sí.,{displaystyle y,} significado .. x,Sí... =0,{displaystyle langle x,yrangle =0,} y la ecuación anterior para la norma de una suma se convierte en:

.. x+Sí... 2=.. x,x.. +.. x,Sí... +.. Sí.,x.. +.. Sí.,Sí... =.. x.. 2+.. Sí... 2,{displaystyle "Principal x,xrangle +langle x,yrangle +langle y,xrangle +langle y,yrangle = tuercaprendiósfnMicrosoft Sans,}

Espacios vectoriales normados que satisfacen la ley del paralelogramo

Los espacios vectores más reales y complejos no tienen productos interiores, pero todos los espacios vectoriales normalizados tienen normas (por definición). Por ejemplo, una norma comúnmente utilizada para un vector x=()x1,x2,...... ,xn){displaystyle x=(x_{1},x_{2},ldotsx_{n}} en el espacio de coordenadas real Rn{displaystyle mathbb {R} {} {}} {fn}} es p{displaystyle p}-norm:

.. x.. p=()Silenciox1Silenciop+Silenciox2Silenciop+⋯ ⋯ +SilencioxnSilenciop)1/p.{displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ - ¿Qué?

Dada una norma, se puede evaluar ambos lados de la ley de paralelogramas arriba. Un hecho notable es que si la ley de paralelograma sostiene, entonces la norma debe surgir de la manera habitual de algún producto interno. En particular, tiene para el p{displaystyle p}-norm si y sólo si p=2,{displaystyle p=2,} el llamado Euclidean norma o estándar norma.

Para cualquier norma que satisfaga la ley del paralelogramo (que necesariamente es una norma de producto interno), el producto interno que genera la norma es único como consecuencia de la identidad de polarización. En el caso real, la identidad de polarización viene dada por:

.. x,Sí... =.. x+Sí... 2− − .. x− − Sí... 24,{displaystyle langle x,yrangle ={frac {fnMicrosoft Sans Serif}
.. x+Sí... 2− − .. x.. 2− − .. Sí... 22o.. x.. 2+.. Sí... 2− − .. x− − Sí... 22.{displaystyle {frac {fnMicroc {fnx+yfnh00}-fnxfnh00}qquad} {fnMicroc}fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}

En el caso complejo viene dado por:

.. x,Sí... =.. x+Sí... 2− − .. x− − Sí... 24+i.. ix− − Sí... 2− − .. ix+Sí... 24.{displaystyle langle x,yrangle ={frac {fnx+yfnh00}-fnx-yfnse}{4}}+i{frac} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {4}}}

Por ejemplo, usando el p{displaystyle p}-norm con p=2{displaystyle p=2} y vectores reales x{displaystyle x} y Sí.,{displaystyle y,} la evaluación del producto interno procede de la siguiente manera:

.. x,Sí... =.. x+Sí... 2− − .. x− − Sí... 24=14().. iSilencioxi+Sí.iSilencio2− − .. iSilencioxi− − Sí.iSilencio2)=14()4.. ixiSí.i)=x⋅ ⋅ Sí.,{displaystyle {begin{aligned}langle x,yrangle {fnMicrosoft Sans Serif}}[4mu] {1}{4}left(sum) ¿Por qué? ¿Por qué? {1}{4}left(4sum ¿Por qué? Y, '\end{aligned}

Otra condición necesaria y suficiente para que exista un producto interno que induzca la norma dada .. ⋅ ⋅ .. {displaystylefncdotfn} es para la norma para satisfacer La desigualdad de Ptolomeo:

.. x− − Sí... .. z.. +.. Sí.− − z.. .. x.. ≥ ≥ .. x− − z.. .. Sí... para todos los vectoresx,Sí.,z.{displaystylefnMicrosoft Sans,fnMicrosoft Sans,fnMicrosoft Sans,fnMicrosoft Sans, -fnMicrosoft Sans Serif}x,y,z.

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