Ley del logaritmo iterado

En teoría de la probabilidad, la ley del logaritmo iterado describe la magnitud de las fluctuaciones de un paseo aleatorio. La formulación original de la ley del logaritmo iterado se debe a A. Ya. Khinchin (1924). Otra declaración la hizo A. N. Kolmogorov en 1929.

Declaración

Sean {Y_n} variables aleatorias independientes, distribuidas de forma idéntica, con media cero y varianzas unitarias. Sea S_n = Y₁ +... + Y _n. Entonces

${displaystyle limsup _{nto infty}{frac {fnfn} {fngngnloggn}}=1quad {text{a.s}}}}}}}$

donde “log” es el logaritmo natural, “lim sup” denota el límite superior y “a.s.” significa "casi con seguridad".

Discusión

La ley de los logaritmos iterados opera “entre” la ley de los grandes números y el teorema del límite central. Hay dos versiones de la ley de los grandes números, la débil y la fuerte, y ambas afirman que las sumas S_n, escaladas por n⁻¹, convergen a cero, respectivamente en probabilidad y casi con seguridad:

${displaystyle {frac {fn} {fn} {fn} {fn}} {fn} {fn}} {fn}}}}}fn} {fn} {fn}fn}}}}}} {fn}}}}}} {xrightarrow {p} 0,qquad {frac {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}} {cH}}}}}} {cH}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}} { {xrightarrow {a.s}0,qquad {text{as} nto infty.}$

Por otro lado, el teorema límite central establece que las sumas S_n escalada por el factor n^−1⁄2 convergen en la distribución a una distribución normal estándar. Por la ley cero de Kolmogorov, por cualquier ley fija M, la probabilidad de que el evento ${displaystyle limsup _{n}{frac {fn} {fn}fn}gn}fn}fn} {fn} {fn}} {fn}}}}}gn}}}fn} {fn} M.$se produce 0 o 1. Entonces...

${displaystyle Pr left(limsup _{n}{frac {S_{n}{sqrt {n}}geq Mright)geqslant limsup ¿Por qué?$

entonces

${displaystyle limsup _{n}{frac {fn} {fn}=infty qquad {text{with probability 1.}$

Un argumento idéntico muestra que

${displaystyle liminf _{n}{frac {S_{n}{sqrt {n}}=-infty qquad {text{with probability 1.}$

Esto implica que estas cantidades no pueden converger casi con seguridad. De hecho, ni siquiera pueden converger en probabilidad, lo que se deriva de la igualdad

${displaystyle {frac {fn}{sqrt {2n}}-{frac {S_{n}{sqrt {n}={frac} {1}{sqrt {2}}{frac} {f} {f}} {f}} {f}} {f}}}} {fn}}} {f}} {fn}}}} {fn}}} {f}}} {f}}}}} {f}} {f} {f}}} {f}}f}}}}}}}}}}}}}}f}} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}f}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}f} {f} {f} {f}} {f}f}}}f}f}}}}}}}}}}}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {S_{2n}-S_{n}{sqrt {n}}-left(1-{frac} {fn} {fn}} {fn}} {fn} {fn}}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}} {fn}}} {fn}}}}}}}} {fn}}} {f}}}}} {fn}}}}}}}}}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

y el hecho de que las variables aleatorias

${fn}fn} {fn}fn}fnfn}quad {fn}quad {fn}fn}fn}fn} {fn}fn}fn}fn} {fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}}}fn}fn}fn}fn}fn}fn}f}fn}fn}f}fn}fn}fn}fn}f}f}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}f}\fn}fn}f}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}fn}f}fn} {S_{2n}-S_{n}{sqrt {}}$

son independientes y ambos convergen en la distribución a ${displaystyle {mathcal {N}(0,1). }$

La ley del logaritmo iterado proporciona el factor de escala donde los dos límites se vuelven diferentes:

${fnh} {fn} {fnh00}} {fnh00}} {fnh}} {fn}}}} {fn}}fnfnfnfn}} {2nlog log n}} {xrightarrow {p} 0,qquad {frac {S_{n}{sqrt {2nlogloglog}fn}} {fn} {fn} {fn}} {fn}} {fn}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}} {f}}}}}}}}\\fn}}}\\\\fn}}\\\\\\fn}}}\\\\fn}\\\fn}}\\\\\\\\\\\\fn}\\\\\n}\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}\\\cH}}}\cH}}\cH}}}}\cH {fnMicrosoft Sans Serif} Oh, qquad {text{as} nto infty.}$

Así, aunque el valor absoluto de la cantidad ${displaystyle S_{n}/{sqrt {2nlog log n}}$ es menos que cualquier predefinido ε> 0 con probabilidad de acercarse a uno, sin embargo casi seguramente será mayor que ε infinitamente a menudo; de hecho, la cantidad será visitar los barrios de cualquier punto en el intervalo (-1,1) casi seguro.

Generalizaciones y variantes

La ley del logaritmo iterado (LIL) para una suma de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.) con media cero e incremento acotado se remonta a Khinchin y Kolmogorov en la década de 1920.

Desde entonces, ha habido una enorme cantidad de trabajo en el LIL para varios tipos de estructuras dependientes y para procesos estocásticos. La siguiente es una pequeña muestra de desarrollos notables.

Hartman-Wintner (1940) generalizó LIL a paseos aleatorios con incrementos con media cero y varianza finita. De Acosta (1983) dio una prueba sencilla de la versión Hartman-Wintner del LIL.

Chung (1948) demostró otra versión de la ley del logaritmo iterado para el valor absoluto de un movimiento browniano.

Strassen (1964) estudió el LIL desde el punto de vista de los principios de invariancia.

Stout (1970) generalizó el LIL a martingalas ergódicas estacionarias.

Wittmann (1985) generalizó la versión Hartman-Wintner de LIL a caminatas aleatorias que satisfacen condiciones más suaves.

Vovk (1987) derivó una versión de LIL válida para una única secuencia caótica (secuencia aleatoria de Kolmogorov). Esto es notable, ya que está fuera del ámbito de la teoría de probabilidad clásica.

Yongge Wang (1996) demostró que la ley del logaritmo iterado también se aplica a secuencias pseudoaleatorias de tiempo polinomial. La herramienta de prueba de software basada en Java prueba si un generador pseudoaleatorio genera secuencias que satisfacen el LIL.

Balsubramani (2014) demostró un LIL no asintótico que se mantiene en caminos de muestra de martingala de tiempo finito. Esto incluye la martingala LIL, ya que proporciona límites coincidentes de concentración y anticoncentración de muestras finitas, y permite pruebas secuenciales y otras aplicaciones.