Ley del cuadrado inverso

S representa la fuente de luz, mientras que r representa los puntos medidos. Las líneas representan el flujo que emana de las fuentes y flujos. El número total de líneas de flujo depende de la fuerza de la fuente de luz y es constante con creciente distancia, donde una mayor densidad de líneas de flujo (líneas por área unidad) significa un campo energético más fuerte. La densidad de líneas de flujo es inversamente proporcional a la plaza de la distancia de la fuente porque la superficie de una esfera aumenta con la plaza del radio. Así la intensidad de campo es inversamente proporcional a la plaza de la distancia de la fuente.

En ciencia, una ley del inverso del cuadrado es cualquier ley científica que establece que una cantidad física específica es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente de esa cantidad física. La causa fundamental de esto puede entenderse como la dilución geométrica correspondiente a la radiación de fuente puntual en el espacio tridimensional.

La energía del radar se expande durante la transmisión de la señal y el retorno reflejado, por lo que el cuadrado inverso de ambas rutas significa que el radar recibirá energía de acuerdo con la cuarta potencia inversa del rango.

Para evitar la dilución de la energía mientras se propaga una señal, se pueden usar ciertos métodos, como una guía de ondas, que actúa como un canal para el agua, o cómo un cañón de pistola restringe la expansión del gas caliente a una dimensión para evitar la pérdida de transferencia de energía a una bala.

Fórmula

En notación matemática, la ley del cuadrado inverso se puede expresar como una intensidad (I) que varía en función de la distancia (d) desde algún centro. La intensidad es proporcional (ver ∝) al inverso multiplicativo del cuadrado de la distancia así:

$${displaystyle {text{intensity} propto {frac {1} {fntext{distance} {2}}\,} {fnMicroc {fn} {fnMicroc}} {fnMicroc}} {fnMicroc}}}}} {fnMicroc {f}} {fnMicroc}} {f}}}}}}}}}}f}}}}f}f}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnfnfnfnf}f}f}fnfnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fn$$

También se puede expresar matemáticamente como:

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o como la formulación de una cantidad constante:

$${displaystyle {text{intensity}}_{1}times {text{distance}_{2}={text{intensity}_{2}times {text{distance}_{2}} {2}}}$$

La divergencia de un campo vectorial que es la resultante de campos de ley de cuadrado inverso radial con respecto a una o más fuentes es proporcional a la fuerza de las fuentes locales y, por lo tanto, cero fuentes externas. La ley de gravitación universal de Newton sigue una ley del inverso del cuadrado, al igual que los efectos de los fenómenos eléctricos, de luz, sonido y radiación.

Justificación

La ley del cuadrado inverso generalmente se aplica cuando alguna fuerza, energía u otra cantidad conservada se irradia uniformemente hacia afuera desde una fuente puntual en un espacio tridimensional. Dado que el área de la superficie de una esfera (que es 4πr²) es proporcional al cuadrado del radio, a medida que la radiación emitida se aleja de la fuente, se propaga sobre un área que aumenta en proporción al cuadrado de la distancia desde la fuente. Por lo tanto, la intensidad de la radiación que pasa a través de cualquier unidad de área (directamente frente a la fuente puntual) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente puntual. La ley de gravedad de Gauss se aplica de manera similar y se puede usar con cualquier cantidad física que actúe de acuerdo con la relación del cuadrado inverso.

Ocurrencias

Gravitación

La gravedad es la atracción entre objetos que tienen masa. La ley de Newton establece:

La fuerza de atracción gravitacional entre las masas de dos puntos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional a la plaza de su distancia de separación. La fuerza es siempre atractiva y actúa a lo largo de la línea uniéndose a ellos.

Si la distribución de la materia en cada cuerpo es esféricamente simétrica, entonces los objetos pueden tratarse como masas puntuales sin aproximación, como se muestra en el teorema de la capa. De lo contrario, si queremos calcular la atracción entre cuerpos masivos, debemos sumar vectorialmente todas las fuerzas de atracción punto a punto y la atracción neta podría no ser el cuadrado inverso exacto. Sin embargo, si la separación entre los cuerpos masivos es mucho mayor en comparación con sus tamaños, entonces, en una buena aproximación, es razonable tratar las masas como una masa puntual ubicada en el centro de masa del objeto mientras se calcula la fuerza gravitacional..

Como ley de la gravitación, esta ley fue sugerida en 1645 por Ismael Bullialdus. Pero Bullialdus no aceptó las leyes segunda y tercera de Kepler, ni apreció la solución de Christiaan Huygens para el movimiento circular (movimiento en línea recta desviado por la fuerza central). De hecho, Bullialdus sostuvo que la fuerza del sol era atractiva en el afelio y repulsiva en el perihelio. Robert Hooke y Giovanni Alfonso Borelli expusieron la gravitación en 1666 como una fuerza de atracción. La conferencia de Hooke 'Sobre la gravedad' estuvo en la Royal Society, en Londres, el 21 de marzo. La 'Teoría de los Planetas' de Borelli se publicó más tarde en 1666. La conferencia Gresham de 1670 de Hooke explicó que la gravitación se aplicaba a 'todos los cuerpos celestes' y añadió los principios de que el poder gravitatorio disminuye con la distancia y que, en ausencia de tal poder, los cuerpos se mueven en línea recta. En 1679, Hooke pensó que la gravitación tenía una dependencia del cuadrado inverso y se lo comunicó en una carta a Isaac Newton: mi suposición es que la atracción siempre es en proporción duplicada a la distancia recíproca del centro.

Hooke seguía amargado por la afirmación de Newton de la invención de este principio, a pesar de que los Principia de 1686 de Newton reconocían que Hooke, junto con Wren y Halley, habían apreciado por separado la ley del inverso del cuadrado en el sistema solar, además de dar algo de crédito a Bullialdus.

Electrostática

La fuerza de atracción o repulsión entre dos partículas cargadas eléctricamente, además de ser directamente proporcional al producto de las cargas eléctricas, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; esto se conoce como la ley de Coulomb. La desviación del exponente de 2 es menos de una parte en 10¹⁵.

$${displaystyle F=k_{text{e}{frac {q_{1}q_{2}{2}} {}} {}}} {}} {}}} {}}} {}}} {}}}}} {}}}} {}}} {}}} {}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}} {} {}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}} {}}}}}}} {}}} {} {} {} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}$$

Luz y otras radiaciones electromagnéticas

La intensidad (o iluminancia o irradiancia) de la luz u otras ondas lineales que irradian desde una fuente puntual (energía por unidad de área perpendicular a la fuente) es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente, por lo que un objeto (del mismo tamaño) dos veces más lejos recibe sólo una cuarta parte de la energía (en el mismo período de tiempo).

Más generalmente, la irradiación, es decir, la intensidad (o potencia por unidad de área en la dirección de propagación), de un frente de onda esférico varía inversamente con el cuadrado de la distancia desde la fuente (suponiendo no hay pérdidas causadas por absorción o dispersión).

Por ejemplo, la intensidad de la radiación del Sol es de 9126 vatios por metro cuadrado a la distancia de Mercurio (0,387 AU); pero solo 1367 vatios por metro cuadrado a la distancia de la Tierra (1 UA): un aumento de aproximadamente tres veces en la distancia da como resultado una disminución de aproximadamente nueve veces en la intensidad de la radiación.

Para radiadores no isotrópicos, como antenas parabólicas, faros y láseres, el origen efectivo se encuentra muy por detrás de la apertura del haz. Si está cerca del origen, no tiene que ir muy lejos para duplicar el radio, por lo que la señal cae rápidamente. Cuando estás lejos del origen y todavía tienes una señal fuerte, como con un láser, tienes que viajar muy lejos para duplicar el radio y reducir la señal. Esto significa que tiene una señal más fuerte o tiene ganancia de antena en la dirección del haz angosto en relación con un haz ancho en todas las direcciones de una antena isotrópica.

En fotografía e iluminación escénica, la ley del cuadrado inverso se usa para determinar la "caída" o la diferencia en la iluminación de un sujeto a medida que se acerca o se aleja de la fuente de luz. Para aproximaciones rápidas, basta recordar que duplicar la distancia reduce la iluminación a una cuarta parte; o de manera similar, para reducir a la mitad la iluminación, aumente la distancia en un factor de 1,4 (la raíz cuadrada de 2), y para duplicar la iluminación, reduzca la distancia a 0,7 (raíz cuadrada de 1/2). Cuando el iluminante no es una fuente puntual, la regla del cuadrado inverso suele ser una aproximación útil; cuando el tamaño de la fuente de luz es inferior a una quinta parte de la distancia al sujeto, el error de cálculo es inferior al 1%.

La reducción fraccionaria de la fluencia electromagnética (Φ) para la radiación ionizante indirecta al aumentar la distancia desde una fuente puntual se puede calcular mediante la ley del cuadrado inverso. Dado que las emisiones de una fuente puntual tienen direcciones radiales, se interceptan con una incidencia perpendicular. El área de tal caparazón es 4πr ² donde r es la distancia radial desde el centro. La ley es particularmente importante en la radiografía de diagnóstico y la planificación del tratamiento de radioterapia, aunque esta proporcionalidad no se cumple en situaciones prácticas a menos que las dimensiones de la fuente sean mucho más pequeñas que la distancia. Como se establece en la teoría del calor de Fourier, “como la fuente puntual es magnificada por distancias, su radiación es diluida proporcional al seno del ángulo, del arco de circunferencia creciente desde el punto de origen”.

Ejemplo

Sea P la potencia total radiada desde una fuente puntual (por ejemplo, un radiador isotrópico omnidireccional). A grandes distancias de la fuente (en comparación con el tamaño de la fuente), esta potencia se distribuye sobre superficies esféricas cada vez más grandes a medida que aumenta la distancia de la fuente. Dado que el área de superficie de una esfera de radio r es A = 4πr ², la intensidad I (potencia por unidad de área) de radiación a la distancia r es

$${displaystyle I={frac {fnK}= {fnMicroc {4fnMicroc}}}},}$$

La energía o intensidad disminuye (dividida por 4) a medida que se duplica la distancia r; si se mide en dB, disminuiría en 6,02 dB por duplicación de la distancia. Cuando se hace referencia a mediciones de cantidades de energía, una relación puede expresarse como un nivel en decibelios evaluando diez veces el logaritmo en base 10 de la relación entre la cantidad medida y el valor de referencia.

Sonido en un gas

En acústica, la presión del sonido de un frente de onda esférico que irradia desde una fuente puntual disminuye en un 50 % a medida que se duplica la distancia r; medida en dB, la disminución sigue siendo de 6,02 dB, ya que dB representa una relación de intensidad. La relación de presión (a diferencia de la relación de potencia) no es inversamente cuadrática, sino inversamente proporcional (ley de la inversa de la distancia):

$${displaystyle p propto {frac {1} {r},}$$

Lo mismo es cierto para el componente de la velocidad de partículas ${displaystyle v,}$ que está en fase con la presión instantánea del sonido ${displaystyle p,}$:

$${displaystyle v propto {frac {1} {r}\fnMicrosoft Sans Serif}$$

En el campo cercano hay un componente de cuadratura de la velocidad de la partícula que está desfasado 90° con respecto a la presión del sonido y no contribuye a la energía promediada en el tiempo ni a la intensidad del sonido. La intensidad del sonido es el producto de la presión del sonido RMS y el componente en fase de la velocidad de la partícula RMS, los cuales son inversamente proporcionales. En consecuencia, la intensidad sigue un comportamiento de cuadrado inverso:

$${displaystyle I = pv propto {frac {1} {r^{2}},}$$

Interpretación de la teoría de campos

Para un campo vectorial irrotacional en un espacio tridimensional, la ley del inverso del cuadrado corresponde a la propiedad de que la divergencia es cero fuera de la fuente. Esto se puede generalizar a dimensiones superiores. Generalmente, para un campo vectorial irrotacional en un espacio euclidiano n-dimensional, la intensidad "I" del campo vectorial cae con la distancia "r" siguiendo la ley de la potencia inversa (n − 1)^th

$${displaystyle Ipropto {frac {1}{n-1}}}}$$

dado que el espacio fuera de la fuente está libre de divergencias.

Historia

John Dumbleton, de las Calculadoras Oxford del siglo XIV, fue uno de los primeros en expresar relaciones funcionales en forma gráfica. Dio una demostración del teorema de la velocidad media que establece que "la latitud de un movimiento uniformemente deforme corresponde al grado del punto medio". y usó este método para estudiar la disminución cuantitativa en la intensidad de la iluminación en su Summa logicæ et philosophiæ naturalis (ca. 1349), afirmando que no era linealmente proporcional a la distancia, pero no podía exponer el Ley del cuadrado inverso.

Astrónomo alemán Johannes Kepler discutió la ley inversa-quare y cómo afecta la intensidad de la luz.

En la proposición 9 del Libro 1 de su libro Ad Vitellionem paralipomena, quibus astronomiae pars optica traditur (1604), el astrónomo Johannes Kepler argumentó que la propagación de la luz desde una fuente puntual obedece a un inverso del cuadrado ley:

En 1645, en su libro Astronomia Philolaica..., el astrónomo francés Ismaël Bullialdus (1605–1694) refutó la sugerencia de Johannes Kepler de que la "gravedad" se debilita como el inverso de la distancia; en cambio, argumentó Bullialdus, "gravedad" se debilita como el inverso del cuadrado de la distancia:

En Inglaterra, el obispo anglicano Seth Ward (1617–1689) dio a conocer las ideas de Bullialdus en su crítica En Ismaelis Bullialdi astronomiae philolaicae fundamental inquisitio brevis (1653) y dio a conocer la astronomía planetaria de Kepler en su libro Astronomia geometrica (1656).

En 1663–1664, el científico inglés Robert Hooke estaba escribiendo su libro Micrographia (1666) en el que discutía, entre otras cosas, la relación entre la altura de la atmósfera y la presión barométrica en la superficie. Dado que la atmósfera rodea a la Tierra, que en sí misma es una esfera, el volumen de la atmósfera que soporta cualquier área unitaria de la superficie terrestre es un cono truncado (que se extiende desde el centro de la Tierra hasta el vacío del espacio).; obviamente solo la sección del cono desde la superficie de la tierra hasta el espacio se apoya en la superficie de la tierra). Aunque el volumen de un cono es proporcional al cubo de su altura, Hooke argumentó que la presión del aire en la superficie terrestre es proporcional a la altura de la atmósfera porque la gravedad disminuye con la altitud. Aunque Hooke no lo dijo explícitamente, la relación que propuso sería cierta solo si la gravedad disminuye como el inverso del cuadrado de la distancia desde el centro de la tierra.