Ley del circuito de Ampère

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Concepto en electromagnetismo clásico

En el electromagnetismo clásico, la ley de circuito de Ampère (que no debe confundirse con la ley de fuerza de Ampère) relaciona el campo magnético integrado alrededor de un bucle cerrado con la corriente eléctrica que pasa a través de él. el lazo. James Clerk Maxwell (no Ampère) lo derivó usando hidrodinámica en su artículo publicado en 1861 "On Physical Lines of Force" En 1865, generalizó la ecuación para aplicarla a las corrientes que varían con el tiempo agregando el término de corriente de desplazamiento, lo que dio como resultado la forma moderna de la ley, a veces llamada la ley Ampère-Maxwell, que es una de Maxwell&# 39; s ecuaciones que forman la base del electromagnetismo clásico.

Ley del circuito original de Maxwell

En 1820, el físico danés Hans Christian Ørsted descubrió que una corriente eléctrica crea un campo magnético a su alrededor, cuando notó que la aguja de una brújula junto a un cable que transportaba corriente giraba de modo que la aguja estaba perpendicular al cable. Investigó y descubrió las reglas que gobiernan el campo alrededor de un cable recto que lleva corriente:

Las líneas de campo magnético rodean el alambre de carga actual.
Las líneas de campo magnético se encuentran en un plano perpendicular al alambre.
Si se revierte la dirección de la corriente, se invierte la dirección del campo magnético.
La fuerza del campo es directamente proporcional a la magnitud de la corriente.
La fuerza del campo en cualquier punto es inversamente proporcional a la distancia del punto desde el alambre.

Esto provocó una gran cantidad de investigaciones sobre la relación entre la electricidad y el magnetismo. André-Marie Ampère investigó la fuerza magnética entre dos cables que transportan corriente y descubrió la ley de fuerza de Ampère. En la década de 1850, el físico matemático escocés James Clerk Maxwell generalizó estos resultados y otros en una sola ley matemática. La forma original de la ley circuital de Maxwell, que derivó ya en 1855 en su artículo 'On Faraday's Lines of Force'. basado en una analogía con la hidrodinámica, relaciona los campos magnéticos con las corrientes eléctricas que los producen. Determina el campo magnético asociado con una corriente dada, o la corriente asociada con un campo magnético dado.

La ley circuital original solo se aplica a una situación magnetostática, a corrientes constantes continuas que fluyen en un circuito cerrado. Para sistemas con campos eléctricos que cambian con el tiempo, la ley original (como se indica en esta sección) debe modificarse para incluir un término conocido como corrección de Maxwell (ver más abajo).

Formas equivalentes

La ley circuital original se puede escribir en varias formas diferentes, que en última instancia son todas equivalentes:

Una "forma integral" y una "forma diferencial". Las formas son exactamente equivalentes, y se relacionan con el teorema de Kelvin-Stokes (ver la sección "prueba" a continuación).
Formas usando unidades SI, y aquellas que usan unidades de cgs. Otras unidades son posibles, pero raras. Esta sección utilizará unidades SI, con unidades cgs discutidas más adelante.
Formas usando campos magnéticos B o H. Estas dos formas utilizan la densidad total de corriente y la densidad de corriente libre, respectivamente. El $B$ y $H$ campos están relacionados por la ecuación constitutiva: $B = μ 0 H$ en materiales no magnéticos donde $μ 0$ es la constante magnética.

Explicación

La forma integral de la ley circuital original es una integral de línea del campo magnético alrededor de una curva cerrada $C$ (arbitraria pero debe estar cerrado). La curva $C$ delimita a su vez una superficie $S$ por el que pasa la corriente eléctrica (otra vez arbitrario pero no cerrado, ya que ningún volumen tridimensional está encerrado por $S$ ), y encierra el actual. El enunciado matemático de la ley es una relación entre la cantidad total de campo magnético alrededor de algún camino (integral de línea) debido a la corriente que pasa a través de ese camino cerrado (integral de superficie).

En términos de corriente total (que es la suma de la corriente libre y la corriente ligada), la integral de línea del campo B magnético (en teslas, T) alrededor de la curva cerrada $C$ es proporcional a la corriente total $I enc$ que pasa una superficie $S$ (encerrada por $C). En términos de corriente libre, la integral de línea del campo H magnético (en amperios por metro, A\cdotm -1) alrededor de la curva cerrada C es igual a la corriente libre I f,enc a través de una superficie S .$

Formas de la ley circuito original escrita en unidades SI
	Forma integral	Forma diferencial
Uso $B$ -campo y corriente total	${displaystyle oint _{C}mathbf {B} cdot mathrm {d} {boldsymbol {l}}=mu _{0}iint _{S}mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} =mu _{0}I_{mathrm {enc} }}$	$mathbf{nabla} times mathbf{B} = mu_0 mathbf{J}$
Uso $H$ -campo y corriente libre	${displaystyle oint _{C}mathbf {H} cdot mathrm {d} {boldsymbol {l}}=iint _{S}mathbf {J} _{mathrm {f} }cdot mathrm {d} mathbf {S} =I_{mathrm {f,enc} }}$	${displaystyle mathbf {nabla } times mathbf {H} =mathbf {J} _{mathrm {f} }}$

$J$ es la densidad total de corriente (en amperios por metro cuadrado, A·m⁻²),
$J f$ es la densidad de corriente libre solamente,
$\oint C$ es la línea cerrada integral alrededor de la curva cerrada $C$ ,
$\int S$ denota una superficie 2-D integral sobre $S$ por el Secretario General $C$ ,
$\cdot$ es el producto de punto vectorial,
$d l$ es un elemento infinitesimal (diferencial) de la curva $C$ (es decir, un vector con magnitud igual a la longitud del elemento de línea infinitesimal, y la dirección dada por el tangente a la curva $C$ )
$d S$ es el área vectorial de un elemento infinitesimal de superficie $S$ (es decir, un vector con magnitud igual al área del elemento superficial infinitesimal, y la dirección normal a la superficie $S$ . La dirección de lo normal debe corresponder con la orientación de $C$ por la regla de la mano derecha), ver abajo para mayor explicación de la curva $C$ y superficie $S$ .
$Levántate \times$ es el operador de rizo.

Ambigüedades y convenciones de signos

Hay una serie de ambigüedades en las definiciones anteriores que requieren aclaración y una elección de convención.

Primero, tres de estos términos están asociados con ambigüedades de signos: la línea integral $\oint C$ podría rodear el bucle en cualquier dirección (en horario o en sentido contrario); el área vectorial $d S$ podría apuntar en cualquiera de las dos direcciones normales a la superficie; y $I enc$ es la corriente neta que pasa por la superficie $S$ , lo que significa que el paso actual en una dirección, menos la corriente en la otra dirección, pero cualquiera dirección podría ser elegida como positiva. Estas ambigüedades se resuelven por la regla correcta: Con la palma de la mano derecha hacia el área de integración, y el índice-finger apuntando a lo largo de la dirección de la integración lineal, los puntos pulgares extendidos en la dirección que debe ser elegido para el área vectorial $d S$ . También el paso actual en la misma dirección $d S$ debe ser considerado como positivo. La regla de agarre de mano derecha también se puede utilizar para determinar los signos.
Segundo, hay infinitamente muchas superficies posibles $S$ que tienen la curva $C$ como su frontera. (Imagina una película de jabón en un bucle de alambre, que se puede deformar moviendo el alambre). ¿Cuál de esas superficies debe ser elegido? Si el bucle no se encuentra en un solo plano, por ejemplo, no hay ninguna opción obvia. La respuesta es que no importa; por el teorema de Stokes, la integral es la misma para cualquier superficie con límite $C$ , ya que el integrado es el borde de un campo liso (es decir, exacto). En la práctica, se suele elegir la superficie más conveniente (con el límite dado) para integrarse.

Corriente libre frente a corriente ligada

La corriente eléctrica que surge en las situaciones más sencillas de los libros de texto se clasificaría como "corriente libre"; por ejemplo, la corriente que pasa a través de un cable o una batería. Por el contrario, la "corriente ligada" surge en el contexto de materiales a granel que pueden magnetizarse y/o polarizarse. (Todos los materiales pueden hasta cierto punto.)

Cuando se magnetiza un material (por ejemplo, al colocarlo en un campo magnético externo), los electrones permanecen unidos a sus respectivos átomos, pero se comportan como si estuvieran orbitando el núcleo en una dirección particular, creando una corriente microscópica. Cuando las corrientes de todos estos átomos se juntan, crean el mismo efecto que una corriente macroscópica, circulando perpetuamente alrededor del objeto magnetizado. Esta corriente de magnetización $J M$ es una contribución a la "corriente ligada".

La otra fuente de corriente ligada es la carga ligada. Cuando se aplica un campo eléctrico, las cargas unidas positivas y negativas pueden separarse en distancias atómicas en materiales polarizables, y cuando las cargas unidas se mueven, la polarización cambia, creando otra contribución a la "corriente unida", la polarización actual $J P$ .

La densidad de corriente total $J$ debido a las cargas libres y unidas es entonces:

{displaystyle mathbf {J} =mathbf {J} _{mathrm {f} }+mathbf {J} _{mathrm {M} }+mathbf {J} _{mathrm {P} },,}

con $J f$ el "gratis" o "conducción" densidad actual.

Toda la corriente es fundamentalmente igual, microscópicamente. Sin embargo, a menudo hay razones prácticas para querer tratar la corriente ligada de manera diferente a la corriente libre. Por ejemplo, la corriente ligada generalmente se origina en dimensiones atómicas, y es posible que desee aprovechar una teoría más simple destinada a dimensiones más grandes. El resultado es que la ley del circuito de Ampère más microscópica, expresada en términos de $B$ y la corriente microscópica (que incluye libre, magnetización y corrientes de polarización), a veces se pone en la forma equivalente a continuación en términos de $H$ y la corriente libre solamente. Para obtener una definición detallada de corriente libre y corriente ligada, y la prueba de que las dos formulaciones son equivalentes, consulte la "prueba" sección a continuación.

Deficiencias de la formulación original de la ley circuital

Hay dos cuestiones importantes con respecto a la ley circuital que requieren un examen más detenido. En primer lugar, existe un problema relacionado con la ecuación de continuidad de la carga eléctrica. En cálculo vectorial, la identidad de la divergencia de un rotacional establece que la divergencia del rotacional de un campo vectorial siempre debe ser cero. Por eso

{displaystyle nabla cdot (nabla times mathbf {B})=0,,}

y entonces la ley circuital de Ampère original implica que

{displaystyle nabla cdot mathbf {J} =0,.}

Pero, en general, la realidad sigue la ecuación de continuidad de la carga eléctrica:

{displaystyle nabla cdot mathbf {J} =-{frac {partial rho }{partial t}},,}

que es distinto de cero para una densidad de carga variable en el tiempo. Un ejemplo ocurre en un circuito de capacitor donde existen densidades de carga variables en el tiempo en las placas.

En segundo lugar, existe un problema relacionado con la propagación de ondas electromagnéticas. Por ejemplo, en el espacio libre, donde

{displaystyle mathbf {J} =mathbf {0} ,.}

La ley circuital implica que

{displaystyle nabla times mathbf {B} =mathbf {0} ,,}

pero para mantener la coherencia con la ecuación de continuidad de la carga eléctrica, debemos tener

{displaystyle nabla times mathbf {B} ={frac {1}{c^{2}}}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}},.}

Para tratar estas situaciones, la contribución de la corriente de desplazamiento debe agregarse al término actual en la ley del circuito.

James Clerk Maxwell concibió la corriente de desplazamiento como una corriente de polarización en el mar de vórtices dieléctricos, que utilizó para modelar el campo magnético de forma hidrodinámica y mecánica. Agregó esta corriente de desplazamiento a la ley del circuito de Ampère en la ecuación 112 en su artículo de 1861 'On Physical Lines of Force'.

Corriente de desplazamiento

En el espacio libre, la corriente de desplazamiento está relacionada con la tasa de cambio del campo eléctrico en el tiempo.

En un dieléctrico, la contribución anterior a la corriente de desplazamiento también está presente, pero una contribución importante a la corriente de desplazamiento está relacionada con la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico. Aunque las cargas no pueden fluir libremente en un dieléctrico, las cargas en las moléculas pueden moverse un poco bajo la influencia de un campo eléctrico. Las cargas positivas y negativas de las moléculas se separan bajo el campo aplicado, provocando un aumento en el estado de polarización, expresado como la densidad de polarización $P$ . Un estado cambiante de polarización es equivalente a una corriente.

Ambas contribuciones a la corriente de desplazamiento se combinan definiendo la corriente de desplazamiento como:

{displaystyle mathbf {J} _{mathrm {D} }={frac {partial }{partial t}}mathbf {D} (mathbf {r},t),,}

donde el campo de desplazamiento eléctrico se define como:

{displaystyle mathbf {D} =varepsilon _{0}mathbf {E} +mathbf {P} =varepsilon _{0}varepsilon _{mathrm {r} }mathbf {E} ,,}

donde $ε 0$ es la constante eléctrica, $ε r$ la permitividad estática relativa, y $P$ es la densidad de polarización. Sustituyendo esta forma por $D$ en la expresión de corriente de desplazamiento, tiene dos componentes:

{displaystyle mathbf {J} _{mathrm {D} }=varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}+{frac {partial mathbf {P} }{partial t}},.}

El primer término del lado derecho está presente en todas partes, incluso en el vacío. No implica ningún movimiento real de carga, pero sin embargo tiene un campo magnético asociado, como si fuera una corriente real. Algunos autores aplican el nombre de corriente de desplazamiento solo a esta contribución.

El segundo término del lado derecho es la corriente de desplazamiento como la concibió originalmente Maxwell, asociada con la polarización de las moléculas individuales del material dieléctrico.

La explicación original de Maxwell para la corriente de desplazamiento se centró en la situación que ocurre en los medios dieléctricos. En la era moderna posterior al éter, el concepto se ha ampliado para aplicarse a situaciones sin medios materiales presentes, por ejemplo, al vacío entre las placas de un condensador de vacío en carga. La corriente de desplazamiento se justifica hoy porque cumple varios requisitos de una teoría electromagnética: predicción correcta de campos magnéticos en regiones donde no fluye corriente libre; predicción de la propagación de ondas de campos electromagnéticos; y conservación de la carga eléctrica en los casos en que la densidad de carga varía con el tiempo. Para una discusión más detallada, consulte Corriente de desplazamiento.

Ampliación de la ley original: la ecuación de Ampère-Maxwell

A continuación, la ecuación del circuito se amplía al incluir la corriente de polarización, remediando así la aplicabilidad limitada de la ley del circuito original.

Tratando los cargos gratuitos por separado de los cargos vinculados, la ecuación que incluye la corrección de Maxwell en términos del campo $H$ es (el H porque incluye las corrientes de magnetización, por lo que $J M$ no aparece explícitamente, consulte el campo H y también la Nota):

{displaystyle oint _{C}mathbf {H} cdot mathrm {d} {boldsymbol {l}}=iint _{S}left(mathbf {J} _{mathrm {f} }+{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}right)cdot mathrm {d} mathbf {S} }

(forma integral), donde $H$ es el campo magnético H (también llamado "campo magnético auxiliar", &# 34;intensidad del campo magnético", o simplemente "campo magnético"), $D$ es el campo de desplazamiento eléctrico, y $J f$ es la corriente de conducción encerrada o la densidad de corriente libre. En forma diferencial,

{displaystyle mathbf {nabla } times mathbf {H} =mathbf {J} _{mathrm {f} }+{frac {partial mathbf {D} }{partial t}},.}

Por otro lado, al tratar todas las cargas de la misma manera (independientemente de si son cargas ligadas o libres), la ecuación generalizada de Ampère, también llamada ecuación de Maxwell-Ampère, está en forma integral (consulte la sección de "prueba" a continuación):

${displaystyle oint _{C}mathbf {B} cdot mathrm {d} {boldsymbol {l}}=iint _{S}left(mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}right)cdot mathrm {d} mathbf {S} }$

En forma diferencial,

${displaystyle mathbf {nabla } times mathbf {B} =mu _{0}mathbf {J} +mu _{0}varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}}$

En ambas formas, $J$ incluye la densidad de corriente de magnetización, así como las densidades de corriente de conducción y polarización. Es decir, la densidad de corriente en el lado derecho de la ecuación de Ampère-Maxwell es:

{displaystyle mathbf {J} _{mathrm {f} }+mathbf {J} _{mathrm {D} }+mathbf {J} _{mathrm {M} }=mathbf {J} _{mathrm {f} }+mathbf {J} _{mathrm {P} }+mathbf {J} _{mathrm {M} }+varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}=mathbf {J} +varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}},,}

donde la densidad de corriente $J D$ es la corriente de desplazamiento, y $J$ es la contribución de densidad de corriente realmente debida al movimiento de cargas, tanto libres como ligadas. Debido a que $\nabla \cdot D = ρ$ , el problema de continuidad de carga con la formulación original de Ampère ya no es un problema. Debido al término en $ε 0 \partial E / \partial t$ , ahora es posible la propagación de ondas en el espacio libre.

Con la adición de la corriente de desplazamiento, Maxwell pudo formular la hipótesis (correctamente) de que la luz era una forma de onda electromagnética. Ver ecuación de ondas electromagnéticas para una discusión de este importante descubrimiento.

Prueba de equivalencia

Prueba de que las formulaciones de la ley circuital en términos de corriente libre son equivalentes a las formulaciones que involucran corriente total

En esta prueba, mostraremos que la ecuación

{displaystyle nabla times mathbf {H} =mathbf {J} _{mathrm {f} }+{frac {partial mathbf {D} }{partial t}}}

es equivalente a la ecuación

{displaystyle {frac {1}{mu _{0}}}(mathbf {nabla } times mathbf {B})=mathbf {J} +varepsilon _{0}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}},.}

Tenga en cuenta que solo estamos tratando con las formas diferenciales, no con las formas integrales, pero eso es suficiente ya que las formas diferencial e integral son equivalentes en cada caso, según el teorema de Kelvin-Stokes.

Introducimos la densidad de polarización $P$ , que tiene la siguiente relación con $E$ y $D$ :