Ley de torricelli

La ley de Torricelli, también conocido como El teorema de Torricelli, es un teorema en la dinámica del fluido que relaciona la velocidad del fluido que fluye de un orificio a la altura del fluido sobre la abertura. La ley establece que la velocidad ${\displaystyle v}$ de eflujo de un líquido a través de un agujero afilado en la parte inferior del tanque lleno a una profundidad ${\displaystyle h}$ es igual que la velocidad que un cuerpo adquiriría al caer libremente de una altura ${\displaystyle h}$, es decir. ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}$, donde ${\displaystyle g}$ es la aceleración debido a la gravedad. Esta expresión proviene de equiparar la energía cinética obtenida, ${\displaystyle {\tfrac {2}mv^{2}$, con la energía potencial perdida, ${\displaystyle mgh}$, y resolver para ${\displaystyle v}$. La ley fue descubierta (aunque no en esta forma) por el científico italiano Evangelista Torricelli, en 1643. Más tarde se demostró ser un caso particular del principio de Bernoulli.

Derivación

Bajo el supuesto de un fluido incompresible con viscosidad insignificante, el principio de Bernoulli establece que la energía hidráulica es constante

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en cualquier dos puntos del líquido que fluye. Aquí. ${\displaystyle v}$ es la velocidad del fluido, ${\displaystyle g}$ es la aceleración debido a la gravedad, ${\displaystyle y}$ es la altura sobre algún punto de referencia, ${\displaystyle p}$ es la presión, y ${\displaystyle \rho }$ es la densidad.

Para derivar la fórmula de Torricelli el primer punto sin índice se toma en la superficie del líquido, y el segundo justo fuera de la abertura. Puesto que se supone que el líquido es incompresible, ${\displaystyle \rho ¿Qué?$ es igual a ${\displaystyle \rho _{2}$ y; ambos pueden ser representados por un símbolo ${\displaystyle \rho }$. La presión ${\displaystyle P_{1}$ y ${\displaystyle p_{2}$ son típicamente ambas la presión atmosférica, así ${\displaystyle ################################################################################################################################################################################################################################################################ P_{1}-p_{2}=0}$. Además ${\displaystyle Y...$ es igual a la altura ${\displaystyle h}$ de la superficie del líquido sobre la abertura:

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La velocidad de la superficie ${\displaystyle v_{1}$ puede por relacionado con la velocidad de salida ${\displaystyle v_{2}$ por la ecuación de continuidad ${\displaystyle ¿Qué?$, donde ${\displaystyle A_{A}$ es la sección transversal del orificio y ${\displaystyle A}$ es la sección transversal de la nave (cilíndrica). Renaming ${\displaystyle v_{2}$ a ${\displaystyle V_{A}$ (Como Aperture) da:

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La ley de Torricelli se obtiene como un caso especial cuando la apertura ${\displaystyle A_{A}$ es muy pequeño relativo a la sección horizontal del contenedor ${\displaystyle A_{1}$:

${\displaystyle {\fnMicrosoft Sans Serif}$

La ley de Torricelli sólo se puede aplicar cuando se pueden despreciar los efectos viscosos, como es el caso del agua que fluye a través de los orificios de los recipientes.

Verificación experimental: el spouting puede experimentar

Toda teoría física debe ser verificada mediante experimentos. El experimento de la lata de chorro consiste en un recipiente cilíndrico lleno de agua y con varios orificios de diferentes alturas. Está diseñado para demostrar que en un líquido con una superficie abierta, la presión aumenta con la profundidad. Cuanto más bajo esté un chorro en el tubo, más potente será. La velocidad de salida del fluido es mayor a medida que avanza por el tubo.

El chorro de salida forma una parabola descendente donde cada parabola alcanza más lejos la distancia entre el orificio y la superficie es. La forma del parabola ${\displaystyle y(x)}$ sólo depende de la velocidad de salida y se puede determinar por el hecho de que cada molécula del líquido forma una trayectoria balística (ver movimiento proyectil) donde la velocidad inicial es la velocidad de salida ${\displaystyle V_{A}$:

${\displaystyle y(x)=-{2}{2}{\frac {g}{v_{2}}x^{2}}}$

Los resultados confirman muy bien la exactitud de la ley de Torricelli.

Descarga y tiempo para vaciar un recipiente cilíndrico

Suponiendo que un buque sea cilíndrico con zona de sección transversal fija ${\displaystyle A}$, con orificio de la zona ${\displaystyle A_{A}$ en la parte inferior, luego tasa de cambio de la altura del nivel del agua ${\displaystyle dh/dt}$ no es constante. El volumen de agua en el recipiente está cambiando debido a la descarga ${\displaystyle {\ dot {}}}$ fuera de la nave:

${\displaystyle {\frac {}{dt}=A{\frac} {dh} {dt}={\dot {\fnK} {\fnK} {\fnh}}\fnh}\fnh} {\fnh}\fn}\fnh} {\fn} {\fn} {\fn}}\fn}\fn} {\fn}\fn}\f}\fn\fnh}\fn\fn}}\f}}} {\f}\fn}}}}\fn}}}\fn}\fn}\fn}}}}\f}\fn}}\fn}\f}\fn}\fn}\fn}\fn}}}\fn}\f}}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}}}\fn}}}\f}\fn\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}\fn}}\fn}}}\fn}}}}\f}\fn \Rightarrow \quad A{\frac {dh}{\sqrt {h}}=A_{A}{\sqrt {2g}\;dt}$

Integrando ambos lados y reordenando, obtenemos

${\displaystyle T={\frac {} {\fn} {\fnK}} {\f}} {\f}}} {\f}}} {\f}} {\f}}} {\fn}}} {\f}} {\fn}}}}} {\f}}}} {\f}} {\f}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}} {\f}}}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}} {\f}}}} {\f}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}}$

Donde ${\displaystyle H.$ es la altura inicial del nivel del agua y ${\displaystyle T}$ es el tiempo total tomado para drenar todo el agua y por lo tanto vaciar el vaso.

Esta fórmula tiene varias implicaciones. Si un tanque con volumen ${\displaystyle V}$ con sección transversal ${\displaystyle A}$ y altura ${\displaystyle H.$Así que ${\displaystyle V=AH!$, está completamente lleno, entonces el tiempo para drenar todo el agua es

${\displaystyle T={\frac {\fnMicroc} {\fnMicroc}} {\fnK} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}} {\fn}} {\fn}}}}}} {\fn\f}}}} {\f}\f}\f}\f}}}}}}}\f}}}}}\f}\fn\fn\f}}\f} {\f} {\f} {\f} {\fn\fn\fn\fn\fn\f}\fn\f}\f}}}}\fn\fn\fn\f}}\fn\f}\fn\f}}\fn\fn\fn\f}\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\fn\f}\fn\f}}}}}}}} {2} {}}}}}$

Esto implica que los tanques altos con el mismo volumen de llenado se drenan más rápido que los más anchos.

Por último, podemos reorganizar la ecuación anterior para determinar la altura del nivel del agua ${\displaystyle h(t)}$ como función del tiempo ${\displaystyle t}$ como

${\displaystyle h(t)=H\left(1-{\frac {T}\derecha)} {2}$

Donde ${\displaystyle H.$ es la altura del contenedor mientras ${\displaystyle T}$ es el tiempo de descarga como se ha indicado anteriormente.

Experimento de descarga, coeficiente de descarga

La teoría de la descarga se puede probar midiendo el tiempo de vaciado ${\displaystyle T}$ o serie de tiempo del nivel de agua ${\displaystyle h(t)}$ dentro del vaso cilíndrico. En muchos casos, tales experimentos no confirman la teoría de descarga presentada: al comparar las predicciones teóricas del proceso de descarga con mediciones, se pueden encontrar diferencias muy grandes en tales casos. En realidad, el tanque generalmente drena mucho más lentamente. Mirando la fórmula de descarga

${\displaystyle {\ dot {}=A_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}}$

Dos cantidades podrían ser responsables de esta discrepancia: la velocidad de salida o la sección transversal efectiva de salida.

En 1738 Daniel Bernoulli atribuyó la discrepancia entre el comportamiento teórico y el comportamiento de salida observado a la formación de un vena contracta que reduce la sección de salida de la sección transversal del orificio ${\displaystyle A_{A}$ a la sección transversal contratada ${\displaystyle A_{C}$ y afirmó que la descarga es:

${\displaystyle {\ dot {}=A_{C}v_{A}=A_{C}{\sqrt {2gh}}$

En realidad, esto se confirma mediante experimentos modernos (ver) en los que se midieron la descarga, la velocidad de salida y la sección transversal de la vena contracta. Aquí también se demostró que la velocidad de salida se predice extremadamente bien mediante la ley de Torricelli y que no se necesita ninguna corrección de velocidad (como un "coeficiente de velocidad").

El problema sigue siendo cómo determinar la sección transversal de la vena contracta. Esto normalmente se hace introduciendo un coeficiente de descarga que relaciona la descarga con la sección transversal del orificio y la ley de Torricelli:

${\displaystyle {\ dot {\fnK} {\fnMicrosoft}=\m} A_{A}v_{A}\quad {\text{with}\quad \mu ={\frac {A_{C} {A_{A}}}$

Para líquidos de baja viscosidad (como agua) que fluyen desde un orificio redondo en un tanque, el coeficiente de descarga es del orden de 0,65. Al descargar a través de un tubo o manguera redondo, el coeficiente de descarga se puede aumentar a más de 0,9. Para aberturas rectangulares, el coeficiente de descarga puede ser de hasta 0,67, dependiendo de la relación alto-ancho.

Aplicaciones

Distancia horizontal recorrida por el chorro de líquido

Si ${\displaystyle h}$ es la altura del orificio sobre el suelo y ${\displaystyle H.$ es la altura de la columna líquida del suelo (altura de la superficie del líquido), luego la distancia horizontal cubierta por el chorro de líquido para alcanzar el mismo nivel que la base de la columna líquida puede derivarse fácilmente. Desde ${\displaystyle h}$ ser la altura vertical viajada por una partícula de chorro, tenemos de las leyes del cuerpo caída

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {\frac {2h}{g}}}}}}$

Donde ${\displaystyle t}$ es el tiempo que toma la partícula del jet para caer del orificio al suelo. Si la velocidad de eflujo horizontal es ${\displaystyle v}$, entonces la distancia horizontal viajada por la partícula del jet durante la duración del tiempo ${\displaystyle t}$ es

${\displaystyle D=vt=v{\sqrt {\frac {2h}{g}}}}$

Desde el nivel del agua ${\displaystyle H-h!$ sobre el orificio, la velocidad horizontal del efflux ${\displaystyle v={\sqrt {2g(H-h)}}}$ según la ley de Torricelli. Así, tenemos de las dos ecuaciones

${\displaystyle D=2{\sqrt {h(H-h)}}$

La ubicación del orificio que produce el rango horizontal máximo se obtiene diferenciando la ecuación anterior para ${\displaystyle D}$ con respecto a ${\displaystyle h}$, y solución ${\displaystyle dD/dh=0}$. Aquí tenemos.

${\displaystyle {\frac {} {\fnh}={\frac} {H-2h}{\sqrt {h}}}}$

Resolver ${\displaystyle dD/dh=0,}$ obtenemos

${\displaystyle h^{*}={h}{2}}$

y el alcance máximo

${\displaystyle D_{\max }=H.}$

Problema de Clepsidra

Una clepsidra es un reloj que mide el tiempo mediante el flujo de agua. Consiste en una maceta con un pequeño agujero en el fondo por donde puede salir el agua. La cantidad de agua que se escapa da la medida del tiempo. Según la ley de Torricelli, la velocidad de salida a través del agujero depende de la altura del agua; y a medida que el nivel del agua disminuye, la descarga no es uniforme. Una solución sencilla es mantener constante la altura del agua. Esto se puede lograr dejando fluir una corriente constante de agua en el recipiente, cuyo exceso se deja escapar por la parte superior, por otro orificio. Así, al tener una altura constante, el agua que sale del fondo se puede recoger en otro recipiente cilíndrico con graduación uniforme para medir el tiempo. Esta es una clepsidra de afluencia.

Alternativamente, seleccionando cuidadosamente la forma del vaso, el nivel de agua en el recipiente se puede hacer para disminuir a un ritmo constante. Mediante la medición del nivel de agua que queda en el recipiente, el tiempo se puede medir con la graduación uniforme. Este es un ejemplo de clepsidra de salida. Dado que el caudal de agua es mayor cuando el nivel de agua es mayor (debido a más presión), el volumen del fluido debe ser más que un cilindro simple cuando el nivel de agua es alto. Es decir, el radio debe ser más grande cuando el nivel de agua es más alto. Deja el radio ${\displaystyle r}$ aumento con la altura del nivel de agua ${\displaystyle h}$ arriba del agujero de salida de la zona ${\displaystyle a.}$ Eso es, ${\displaystyle r=f(h)}$. Queremos encontrar el radio tal que el nivel de agua tiene una tasa constante de disminución, es decir. ${\displaystyle dh/dt=c}$.

A nivel de agua dado ${\displaystyle h}$, la superficie de agua es ${\displaystyle A=\pi r^{2}$. La tasa instantánea de cambio en el volumen del agua es

${\displaystyle {\frac {}{dt}=A{\frac} {dh} {dt}=\pi} .$

Según la ley de Torricelli, la tasa de salida es

${\displaystyle {\frac {dV}=A_{A}v=A_{A}{\sqrt {2gh}}$

De estas dos ecuaciones,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{A}{\sqrt {2gh} . Rightarrow \quad h paciente={\frac {\pi ^{2}c^{2}{2} GA_{A} {2}}r^{4}$

Así, el radio del contenedor debe cambiar en proporción a la raíz cuártica de su altura, ${\displaystyle r\propto {\sqrt [{4} {h}}$

Asimismo, si la forma del vaso de la clepsidra de salida no puede ser modificada según la especificación anterior, entonces necesitamos utilizar la graduación no uniforme para medir el tiempo. La fórmula del tiempo de vaciado arriba nos dice que el tiempo debe calibrarse como la raíz cuadrada de la altura del agua descargada, ${\displaystyle T\propto {\sqrt {h}}$ Más precisamente,

${\displaystyle Delta t={\frac {A}{A_{A}{\sqrt {\frac} {2} {} {\fn} {\fnK}} {\fn}} {\fn}} {\fn} {\fn}} {\fn}}} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}} {\f}} {\fn\f}}}} {\fn\f}}} {\f}}}}}} {\f}}}}} {\f}}}}}} {\f}} {\f}}}}}}}} {\f}}}}}} {\f}}}} {\f}}} {\\f}}}}}}}}}}}}}}}} {\f} {\f}}}}} {\\f}}} {\\f}}}} {\\\\\\\\\f}} {\f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {h_{1}}-{\sqrt {h_{2}}}}$

Donde ${\displaystyle \Delta t}$ es el tiempo tomado por el nivel del agua para caer de la altura ${\displaystyle h_{1}$ a altura de ${\displaystyle h_{2}$.

Derivación original de Torricelli

La derivación original del Evangelista Torricelli se puede encontrar en el segundo libro 'De motu aquarum' de su 'Ópera Geométrica' (ver): Comienza un tubo AB (Figura (a)) lleno de agua hasta el nivel A. Luego se perfora una abertura estrecha en el nivel de B y se conecta a un segundo tubo vertical BC. Debido al principio hidrostático de los vasos comunicantes, el agua se eleva hasta el mismo nivel de llenado AC en ambos tubos (Figura (b)). Cuando finalmente se retira el tubo BC (Figura (c)), el agua debería volver a elevarse hasta esta altura, que se denomina AD en la Figura (c). La razón de ese comportamiento es el hecho de que la velocidad de caída de una gota desde una altura de A a B es igual a la velocidad inicial que se necesita para elevar una gota de B a A.

Al realizar un experimento de este tipo sólo se alcanzará la altura C (en lugar de D en la figura (c)), lo que contradice la teoría propuesta. Torricelli atribuye este defecto a la resistencia del aire y al hecho de que las gotas descendentes chocan con las ascendentes.

La argumentación de Torricelli es, de hecho, errónea porque la presión en el chorro libre es la presión atmosférica circundante, mientras que la presión en un recipiente comunicante es la presión hidrostática. En aquella época se desconocía el concepto de presión.