Ley de Titius-Bode

La ley de Titius-Bode (a veces denominada simplemente ley de Bode) es una predicción formulaica del espacio entre planetas en cualquier sistema solar dado. La fórmula sugiere que, extendiéndose hacia afuera, cada planeta debería estar aproximadamente el doble de lejos del Sol que el anterior. La hipótesis anticipó correctamente las órbitas de Ceres (en el cinturón de asteroides) y Urano, pero falló como predictor de la órbita de Neptuno. Lleva el nombre de Johann Daniel Titius y Johann Elert Bode.

El trabajo posterior de Blagg y Richardson revisó significativamente la fórmula original e hizo predicciones que luego fueron validadas por nuevos descubrimientos y observaciones. Son estas reformulaciones las que ofrecen "las mejores representaciones fenomenológicas de distancias con las que investigar el significado teórico de las Leyes tipo Titius-Bode".

Formulación original

La ley relaciona el eje semi-major ${displaystyle ~a_{n} ~$ de cada planeta hacia fuera desde el Sol en unidades tales que el eje semi-major de la Tierra es igual a 10:

${displaystyle ~a=4+x~}$

Donde ${displaystyle ~x=0,3,6,12,24,48,96,192,384,768ldots ~}$ tal que, con excepción del primer paso, cada valor es el doble del valor anterior. Hay otra representación de la fórmula:

${displaystyle ~a=4+3times 2^{n}~$

Donde ${displaystyle ~n=-infty0,1,2,ldots ~$Los valores resultantes pueden dividirse en 10 para convertirlos en unidades astronómicas (en inglés)AU), resultando en la expresión:

${displaystyle a=0.4+0.3times 2^{n}~.}$

Para los planetas más lejanos, más allá de Saturno, se predice que cada planeta está aproximadamente al doble de la distancia del Sol que el objeto anterior. Mientras que la ley de Titius-Bode predice Saturno, Urano, Neptuno y Plutón en aproximadamente 10, 20, 39 y 77 AU, los valores reales están más cerca de 10, 19, 30, 40 AU.

Esta forma de la ley ofrecía una buena primera suposición; las reformulaciones de Blagg y Richardson deben considerarse precisas.

Origen e historia

Johann Daniel Titius (1729–1796)

Johann Elert Bode (1747-1826)

La primera mención de una ley de Bode de aproximación en serie se encuentra en un libro de texto de D. Gregory (1715):

"... suponiendo que la distancia de la Tierra del Sol se divida en diez partes iguales, de éstas la distancia de Mercurio será alrededor de cuatro, de Venus siete, de Marte quince, de Júpiter cincuenta y dos, y la de Saturno noventa y cinco."

Una oración similar, probablemente parafraseada de Gregory (1715), aparece en un trabajo publicado por C. Wolff en 1724.

En 1764, C. Bonnet escribió:

"Conocemos diecisiete planetas [es decir, grandes planetas y sus satélites] que entran en la composición de nuestro sistema solar; pero no estamos seguros de que no haya más."

En su traducción de 1766 del trabajo de Bonnet, J.D. Titius agregó dos de sus propios párrafos a la declaración anterior. Las inserciones se colocaron en la parte inferior de la página 7 y en la parte superior de la página 8. El nuevo párrafo no se encuentra en el texto original en francés de Bonnet, ni en las traducciones de la obra al italiano y al inglés.

Hay dos partes en el texto insertado de Titius. La primera parte explica la sucesión de distancias planetarias al Sol:

Tenga en cuenta las distancias de los planetas entre sí, y reconozca que casi todos están separados unos de otros en una proporción que coincide con sus magnitudes corporales. Divide la distancia del Sol a Saturno en 100 partes; luego Mercurio está separado por cuatro partes tales del Sol, Venus por 4+3=7 tales partes, la Tierra por 4+6=10, Marte por 4+12=16. Pero note que de Marte a Júpiter viene una desviación de esta tan exacta progresión. Desde Marte hay un espacio de 4+24=28 partes tales, pero hasta ahora ningún planeta fue visto allí. Pero, ¿debería el Señor Arquitecto haber dejado ese espacio vacío? Para nada. Por lo tanto, asumamos que este espacio sin duda pertenece a los satélites aún no descubiertos de Marte, añadamos que tal vez Júpiter todavía tiene alrededor de sí algunos más pequeños que no han sido vistos todavía por ningún telescopio. Junto a esto para nosotros todavía espacio no explorado se eleva la esfera de influencia de Júpiter en 4+48=52 partes; y la de Saturno en 4+96=100 partes.

En 1772, J.E. Bode, que entonces tenía veinticinco años, publicó un compendio astronómico, en el que incluía la siguiente nota al pie, citando a Titius (en ediciones posteriores):

Este último punto parece en particular seguir de la asombrosa relación que los seis planetas conocidos observan en sus distancias del Sol. Deje que la distancia del Sol a Saturno sea tomada como 100, entonces Mercurio está separado por 4 partes tales del Sol. Venus es 4+3=7. La Tierra 4+6=10. Marte 4+12=16. Ahora viene una brecha en esta tan ordenada progresión. Después de Marte sigue un espacio de 4+24=28 partes, en el que aún no se ha visto ningún planeta. ¿Puede uno creer que el Fundador del universo había dejado este espacio vacío? Claro que no. Desde aquí llegamos a la distancia de Júpiter por 4+48=52 partes, y finalmente a la de Saturno por 4+96=100 partes.

Estas dos declaraciones, a pesar de su expresión peculiar, y de los radios usados para las órbitas, parecen provenir de un antiguo algoritmo de un cossist.

Se encontraron muchos precedentes anteriores al siglo XVII. Titius fue discípulo del filósofo alemán C.F. von Wolf (1679-1754), y la segunda parte del texto que Titius insertó en el trabajo de Bonnet está en un libro de von Wolf (1723), lo que sugiere que Titius aprendió la relación de él. La literatura del siglo XX sobre la ley de Titius-Bode atribuye la autoría a von Wolf. Una versión anterior fue escrita por D. Gregory (1702), en la que la sucesión de distancias planetarias 4, 7, 10, 16, 52 y 100 se convirtió en una progresión geométrica con razón 2. Esta es la fórmula newtoniana más cercana, que fue citada de Benjamin Martin y Tomàs Cerdà años antes de la publicación alemana del libro de Bonnet. Durante los siguientes dos siglos, los autores posteriores continuaron presentando sus propias versiones modificadas, aparentemente sin conocer el trabajo anterior.

Titius y Bode esperaban que la ley condujera al descubrimiento de nuevos planetas y, de hecho, el descubrimiento de Urano y Ceres, cuyas distancias se ajustaban bien a la ley, contribuyó a la fama de la ley. Sin embargo, la distancia de Neptuno era muy discrepante y, de hecho, Plutón, que ya no se considera un planeta, se encuentra a una distancia media que corresponde aproximadamente a la predicha por la ley de Titius-Bode para el siguiente planeta a partir de Urano.

Cuando se publicó originalmente, la ley se cumplía aproximadamente con todos los planetas conocidos entonces, es decir, desde Mercurio hasta Saturno, con un espacio entre el cuarto y el quinto planeta. Vikarius (Johann Friedrich) Wurm (1787) propuso una versión modificada de la Ley de Titius-Bode que explicaba los satélites entonces conocidos de Júpiter y Saturno, y predecía mejor la distancia de Mercurio.

La ley de Titius-Bode se consideró interesante, pero no de gran importancia hasta el descubrimiento de Urano en 1781, que encaja en la serie casi exactamente. Basándose en este descubrimiento, Bode instó a sus contemporáneos a buscar un quinto planeta. Ceres, el objeto más grande del cinturón de asteroides, fue encontrado en la posición prevista por Bode en 1801.

La ley de Bode fue ampliamente aceptada en ese momento, hasta que en 1846 se descubrió a Neptuno en un lugar que no se ajustaba a la ley. Simultáneamente, debido a la gran cantidad de asteroides descubiertos en el cinturón, Ceres dejó de ser un planeta importante. En 1898, el astrónomo y lógico C.S. Peirce utilizó la ley de Bode como ejemplo de razonamiento falaz.

El descubrimiento de Plutón en 1930 confundió aún más el problema: aunque no estaba ni cerca de su posición predicha según la ley de Bode, estaba muy cerca de la posición que la ley había designado para Neptuno. El posterior descubrimiento del cinturón de Kuiper, y en particular del objeto Eris, que es más masivo que Plutón, pero que no se ajusta a la ley de Bode, desacreditó aún más la fórmula.

Posible versión anterior

En 1760 Tomàs Cerdà impartió un reputado curso de astronomía, que dio lugar a un libro de texto Tratado de Astronomía.

En Tratado de Astronomía, Cerdà obtiene las distancias planetarias a partir de los periodos orbitales aplicando la tercera ley de Kepler, con una precisión de 10⁻³. Escalando la distancia promedio de la Tierra al Sol como 10, y redondeando a números enteros, uno puede expresar la progresión geométrica como

$[displaystyle {frac {;10,D_{n}-4;}{;10,D_{(n-1)}-4;}=2~,quad ################################################################################################################################################################################################################################################################ }~n=2~{text{ to }~n=8~}$

Usando el movimiento circular uniforme de la ficticia de Kepler anomalía, valores de ${displaystyle ¿Qué?$ correspondiente a las ratios de cada planeta puede obtenerse como

${displaystyle ¿Qué? {;R_{1};}{;R_{(n-1)}-R_{1}}}~}$

resultando en 1.82, 1.84, 1.86, 1.88 y 1.90, en el cual

${displaystyle ¿Qué?$

la relación entre la sucesión de Kepler y la Ley de Titius-Bode, sería una coincidencia numérica. La relación es cercana a 2, pero aumenta armónicamente desde 1,82.

La velocidad promedio del planeta ${displaystyle ~n=1~}$ a ${displaystyle ~n=8~}$ disminuciones alejando el Sol y difiere del descenso uniforme en ${displaystyle ~n=2~}$ para recuperarse ${displaystyle ~n=7~}$ (resonancia orbital).

Datos

La ley de Titius-Bode predice que los planetas estarán presentes a distancias específicas en unidades astronómicas, que se pueden comparar con los datos observados para los planetas y dos planetas enanos del sistema solar:

Parcela gráfica de los ocho planetas, Plutón y Ceres contra las primeras diez distancias predichas.

m	k	T-B rule distance (AU)	Planeta	Semimajor axis (AU)	Desviación de la predicción1
${displaystyle -infty }$	0	0,4	Mercurio	0.39	−3.23%
0	1	0.7	Venus	0.72	+3.33%
1	2	1.0	Tierra	1.00	0,00%
2	4	1.6	Marte	1.52	−4,77%
3	8	2.8	Ceres2	2.77	−1.16%
4	16	5.2	Júpiter	5.20	+0.05%
5	32	10.0	Saturno	9.58	−4.42%
6	64	19.6	Urano	19.22	−1,95%
–	–	–	Neptuno	30.07	–
7	128	38.8	Plutón2	39.48	+0,2%

Formulación Blagg

En 1913, Mary Blagg, una astrónoma de Oxford, revisó la ley. Analizó las órbitas del sistema planetario y las de los sistemas de satélites de los gigantes gaseosos exteriores, Júpiter, Saturno y Urano. Examinó el registro de las distancias, tratando de encontrar el mejor 'promedio' diferencia.

Función f de la formulación Blagg de Titius-Bode Law of Planetary Distancias

Su análisis resultó en una fórmula diferente:

${displaystyle mathrm {Distance} =A(1.7275)}left{B+f(alpha +nbeta)right}}$

Nótese que en su formulación, la Ley para el sistema solar estaba mejor representada por una progresión en 1.7275, no 2.

Blagg examinó los sistemas de satélites de Júpiter, Saturno y Urano y descubrió la misma proporción de progresión (1,7275) en cada uno.

Sin embargo, la formulación exacta de la función f no se finalizó en el artículo de Blagg de 1913, y Blagg señaló que las cifras proporcionadas son solo ilustrativas. Se proporcionó una forma empírica de la curva en forma de gráfico (la razón por la que los puntos de la curva coinciden tanto con los datos empíricos, para los objetos descubiertos antes de 1913, es que son empíricos). datos).

Encontrar una fórmula que se ajustara bien a la curva resultó ser difícil. El análisis armónico de la curva dio como resultado la siguiente aproximación de 7 términos:

${displaystyle f(theta)=0.4594+0.396cos(theta -27.4^{circ })+0.168cos 2(theta -60.4^{circ })+0.062cos 3(theta -28.1^{circ })+0.053cos 4(theta -77.2^{circ })+0.009cos 5(theta -22^{circ })+0.012cos 7(theta -40.4.$

Un análisis posterior de Blagg dio como resultado la siguiente fórmula simplificada que arroja resultados menos precisos (proporcionada en el documento en una forma no normalizada, pero dada aquí en forma normalizada, es decir, con valores de 0 a 1):

${displaystyle f(theta)=0.249+0.86left({frac {cos ,Psi }{3-cos ,2Psi }+{frac {1}{6-4,cos ,2(Psi -30^{circ }}}}right)}$

Donde ${displaystyle Psi =theta -27.5.$

Ninguna de estas fórmulas para la función f se utilizan en los cálculos a continuación. Estos cálculos se basan en un gráfico de la función f que se dibujó en función de los datos observados.

Constantes de la formulación Blagg de la Ley Titius-Bode (redefinido por Nieto, 1970)

Sistema	A	B	${displaystyle alpha }$	${displaystyle beta }$
Planetas	0.4162	2.025	112,4°	56,6°
Júpiter	0.4523	1.852	113.0°	36.0°
Saturno	3.074	0,0071	118.0°	10.0°
Urano	2.98	0,0805	125,7°	12,5°

Su artículo apareció en Monthly Notices of the Royal Astronomical Society de 1913 y se olvidó hasta 1953, cuando A. E. Roy del Observatorio de la Universidad de Glasgow lo encontró mientras investigaba otro problema. Señaló que la propia Blagg había sugerido que su fórmula podría dar distancias medias aproximadas de otros cuerpos aún sin descubrir en 1913. Desde entonces, se han descubierto seis cuerpos en tres sistemas examinados por Blagg: Plutón, Júpiter IX Sinope, X Lysithea, XI Carme, XII Ananke, y Urano V Miranda.

Roy descubrió que los seis encajaban muy de cerca. Esto podría haber sido una exageración: de estos seis cuerpos, cuatro compartían posiciones con objetos que ya se conocían en 1913; con respecto a los otros dos, hubo una sobreestimación de ~6% para Plutón; y más tarde, se hizo evidente una subestimación del 6% para Miranda.

Se confirmó otra de las predicciones de Blagg: que algunos cuerpos estaban agrupados a distancias particulares.

Su fórmula también predijo que si existiera un planeta transplutoniano, estaría a unas 68 UA del Sol.

Comparación de la formulación de Blagg con la observación

Los cuerpos entre paréntesis no se conocían en 1913, cuando Blagg escribió su artículo. Algunas de las distancias calculadas en los sistemas de Saturno y Urano no son muy precisas. Esto se debe a que los valores bajos de la constante B en la tabla anterior los hacen muy sensibles a la forma exacta de la función f.

Fórmula Richardson

En 1945, D. E. Richardson llegó de forma independiente a la misma conclusión que Blagg, que la relación de progresión no era 2, sino 1,728:

${displaystyle R_{n}=(1.728)}varrho _{n}(theta _{n}}$

Donde ${displaystyle varrho _{n}$ es una función oscilatoria de ${displaystyle 2pi}$, representado por distancias ${displaystyle varrho _{n}$ desde un origen no centrado a puntos angularmente variables en un "elipse de distribución".

Inercia histórica

Nieto, quien llevó a cabo la primera revisión exhaustiva moderna de la Ley de Titius-Bode, señaló que "La vigencia psicológica de la Ley sobre astronomía ha sido tal que la gente siempre ha tendido a considerar su forma original como la que está en que fundamentar teorías." Fue enfático en que "las teorías futuras deben deshacerse del sesgo de tratar de explicar una proporción de progresión de 2":

Una cosa que hay que subrayar es que el sesgo histórico hacia una relación de progresión de 2 debe ser abandonado. Debe ser claro que la primera formulación de Titius (con su primer término asimétrico) debe considerarse como un buena primera adivinación. Ciertamente, debería no necesariamente se considera como mejor adivinación para referirse a las teorías. Pero en la astronomía el peso de la historia es pesado... A pesar de que el número 1.73 es mucho mejor, los astrónomos se aferran al número original 2.

Explicaciones teóricas

Ninguna explicación teórica sólida subyace a la ley de Titius-Bode, pero es posible que, dada una combinación de resonancia orbital y escasez de grados de libertad, cualquier sistema planetario estable tenga una alta probabilidad de satisfacer una relación tipo Titius-Bode.. Dado que puede ser una coincidencia matemática en lugar de una "ley de la naturaleza", a veces se la denomina regla en lugar de "ley". Por un lado, el astrofísico Alan Boss afirma que es solo una coincidencia, y la revista científica planetaria Icarus ya no acepta artículos que intenten proporcionar versiones mejoradas de la "ley".

La resonancia orbital de los principales cuerpos en órbita crea regiones alrededor del Sol que están libres de órbitas estables a largo plazo. Los resultados de las simulaciones de formación planetaria respaldan la idea de que un sistema planetario estable elegido al azar probablemente satisfará una ley de Titius-Bode.

Dubrulle y Graner demostraron que las reglas de distancia de la ley de potencias pueden ser una consecuencia de modelos de nubes colapsadas de sistemas planetarios que poseen dos simetrías: invariancia rotacional (es decir, la nube y su contenido son axialmente simétricos) e invariancia de escala (es decir, la nube y su contenido tienen el mismo aspecto en todas las escalas). Este último es una característica de muchos fenómenos que se considera que juegan un papel en la formación planetaria, como la turbulencia.

Sistemas de satélites naturales y sistemas exoplanetarios

Solo hay disponible un número limitado de sistemas en los que actualmente se puede probar la ley de Bode. Dos planetas solares tienen lunas bastante grandes, que probablemente se formaron en un proceso similar al que formó los planetas. Los cuatro satélites grandes de Júpiter y el satélite interior más grande (es decir, Amaltea) se aferran a un espacio regular, pero no Titius-Bode, con los cuatro satélites más interiores encerrados en períodos orbitales que son cada uno el doble que el siguiente satélite interior. De manera similar, las grandes lunas de Urano tienen un espaciado regular, no Titius-Bode. Sin embargo, según Martin Harwit

"una pequeña nueva frase de esta ley nos permite incluir no sólo órbitas planetarias alrededor del Sol, sino también órbitas de lunas alrededor de sus planetas padres".

La nueva redacción se conoce como "ley de Dermot".

De los descubrimientos recientes de sistemas planetarios extrasolar, pocos tienen planetas suficientes para probar si se aplican reglas similares. Un intento con 55 Cancri sugirió la ecuación ${displaystyle ~a_{n}=0.0142cdot mathrm {e} ^{left(,0.9975,n,right)}=0.0142cdot {bigl (},2.7115,{bigr)}{n}~,}$ y pronósticos polémicos para ${displaystyle ~n=5~}$ un planeta no descubierto o campo de asteroides en 2 UA. Además, el período orbital y el eje semi-major del planeta más interior del sistema 55 Cancri han sido ampliamente revisados (de 2.817 días a 0.737 días y de 0.038 AU a 0.016AU, respectivamente) desde la publicación de estos estudios.

Recientes investigaciones astronómicas sugieren que los sistemas planetarios alrededor de otras estrellas pueden seguir las leyes de Titius-Bode. Bovaird y Lineweaver aplicaron una relación generalizada de Titius-Bode a 68 sistemas de exoplanetas que contienen cuatro o más planetas. Demostraron que el 96% de estos sistemas de exoplanetas se adhieren a una relación generalizada de Titius-Bode en una medida similar o mayor que la del Sistema Solar. Las ubicaciones de exoplanetas potencialmente no detectados se predicen en cada sistema.

La investigación posterior detectó cinco candidatos a planeta de los 97 planetas previstos para los 68 sistemas planetarios. El estudio mostró que el número real de planetas podría ser mayor. Actualmente se desconocen las tasas de ocurrencia de planetas del tamaño de Marte y Mercurio, por lo que muchos planetas podrían pasarse por alto debido a su pequeño tamaño. Otras posibles razones que pueden explicar las aparentes discrepancias incluyen planetas que no transitan por la estrella o circunstancias en las que el espacio predicho está ocupado por discos circunestelares. A pesar de este tipo de concesiones, la cantidad de planetas encontrados con las predicciones de la ley de Titius-Bode fue menor de lo esperado.

En un artículo de 2018, se propuso la idea de un octavo planeta hipotético alrededor de TRAPPIST-1 llamado 'TRAPPIST-1i' utilizando la ley de Titius-Bode. TRAPPIST-1i tuvo una predicción basada exclusivamente en la ley de Titius-Bode con un período orbital de 27,53 ± 0,83 días.

Finalmente, las estadísticas sin procesar de las órbitas exoplanetarias apuntan claramente a un cumplimiento general de las leyes de Titius-Bode (con un aumento exponencial de los semiejes principales en función del índice planetario) en todos los sistemas exoplanetarios; al hacer un histograma ciego de semiejes orbitales mayores para todos los exoplanetas conocidos para los que se conoce esta magnitud, y compararlo con lo que debería esperarse si los planetas se distribuyen de acuerdo con las leyes de Titius-Bode, un grado significativo de acuerdo (es decir,, 78%).