Ley de Stokes

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Ecuación para la velocidad de un cuerpo en fluido viscoso

En dinámica de fluidos, Stokes' ley es una ley empírica para la fuerza de fricción, también llamada fuerza de arrastre, ejercida sobre objetos esféricos con números de Reynolds muy pequeños en un fluido viscoso. Fue derivado por George Gabriel Stokes en 1851 al resolver el límite de flujo de Stokes para pequeños números de Reynolds de las ecuaciones de Navier-Stokes.

Declaración de la ley

La fuerza de la viscosidad sobre una pequeña esfera que se mueve a través de un fluido viscoso está dada por:

{displaystyle F_{rm {d}}=6pi mu Rv}

donde (en unidades SI):

$F d$ es la fuerza friccional – conocida como Arrastre de Stokes – actuando en la interfaz entre el fluido y la partícula (newtons, kg m s⁻²);
$μ$ (Algunos autores usan el símbolo $.$ ) es la viscosidad dinámica (Pascal-segundos, kg m⁻¹ s⁻¹);
$R$ es el radio del objeto esférico (metros);
$v$ es la velocidad de flujo relativa al objeto (metros por segundo).

Stokes' La ley hace las siguientes suposiciones para el comportamiento de una partícula en un fluido:

Flujo laminar
Partículas esféricas
Material homogéneo (uniforme en composición)
Superficies smooth
Las partículas no interfieren entre sí.

Para moléculas Stokes' se utiliza la ley para definir su radio y diámetro de Stokes.

La unidad CGS de viscosidad cinemática se denominó "stokes" después de su trabajo.

Aplicaciones

Stokes' La ley es la base del viscosímetro de esfera descendente, en el que el fluido está estacionario en un tubo de vidrio vertical. Se permite que una esfera de tamaño y densidad conocidos descienda a través del líquido. Si se selecciona correctamente, alcanza la velocidad terminal, que se puede medir por el tiempo que tarda en pasar dos marcas en el tubo. La detección electrónica se puede utilizar para fluidos opacos. Conociendo la velocidad terminal, el tamaño y la densidad de la esfera y la densidad del líquido, Stokes' La ley se puede utilizar para calcular la viscosidad del fluido. Normalmente, en el experimento clásico se utilizan una serie de rodamientos de bolas de acero de diferentes diámetros para mejorar la precisión del cálculo. El experimento escolar utiliza glicerina o jarabe de oro como fluido, y la técnica se utiliza industrialmente para verificar la viscosidad de los fluidos utilizados en los procesos. Varios experimentos escolares a menudo implican variar la temperatura y/o la concentración de las sustancias utilizadas para demostrar los efectos que esto tiene sobre la viscosidad. Los métodos industriales incluyen muchos aceites diferentes y polímeros líquidos como soluciones.

La importancia de Stokes' La ley se ilustra por el hecho de que desempeñó un papel fundamental en la investigación que condujo a al menos tres premios Nobel.

Stokes' la ley es importante para comprender la natación de los microorganismos y los espermatozoides; también, la sedimentación de pequeñas partículas y organismos en el agua, bajo la fuerza de la gravedad.

En el aire, se puede usar la misma teoría para explicar por qué pequeñas gotas de agua (o cristales de hielo) pueden permanecer suspendidas en el aire (como nubes) hasta que alcanzan un tamaño crítico y comienzan a caer como lluvia (o nieve y granizo). Se puede hacer un uso similar de la ecuación en la sedimentación de partículas finas en agua u otros fluidos.

Velocidad terminal de la esfera que cae en un fluido

Flujo arrastrando una esfera caída en un líquido (por ejemplo, una gota de niebla que cae a través del aire): aerosoles, fuerza de arrastre

F d

y fuerza por gravedad

F g

A la velocidad terminal (o de asentamiento), el exceso de fuerza $F g$ debido a la diferencia entre el peso y la flotabilidad de la esfera (ambos causados por la gravedad) viene dada por:

{displaystyle F_{g}=(rho _{p}-rho _{f}),g,{frac {4}{3}}pi ,R^{3},}

donde (en unidades SI):

$*** p$ es la densidad de masa de la esfera [kg/m³]
$*** f$ es la densidad de masa del fluido [kg/m³]
$g$ es la aceleración gravitacional [m/s²]

Requerir el equilibrio de fuerzas $F d = F g$ y resolviendo la velocidad $v$ da la velocidad terminal $v s$ . Tenga en cuenta que dado que el exceso de fuerza aumenta a medida que $R 3$ y Stokes' la resistencia aumenta como $R$ , la velocidad terminal aumenta como $R 2$ y, por lo tanto, varía mucho con el tamaño de las partículas, como se muestra a continuación. Si una partícula solo experimenta su propio peso mientras cae en un fluido viscoso, entonces se alcanza una velocidad terminal cuando la suma de las fuerzas de fricción y flotación sobre la partícula debido al fluido equilibra exactamente la fuerza gravitatoria. Esta velocidad $v$ [m/s] viene dada por:

rho _{f}&implies {vec {v}}{text{ vertically downwards}}\rho _{p}v=29*** *** p− − *** *** fμ μ gR2{}*** *** p■*** *** f⟹ ⟹ v→ → verticalmente hacia abajo*** *** p.*** *** f⟹ ⟹ v→ → verticalmente hacia arriba{displaystyle v={frac {2}{9}{frac {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}} {fn} {fnh}} {fn}}}} {fn}}} {fnfn} {fnfnf} {fnfnfnf}fnf}fnh}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fnfnfn}fnfnf}fnfnh}fnfnf}fnfnf}fnh}fnfnf}fnfnh}fn}fnfn}fnh}fnh}fnfnfnfnh}}}}}}fn _{p}-rho ¿Qué? }g,R^{2}begin{cases}rho _{p}rho _{f}implies {vec {v}{ verticalmente downwards}\\\rho _{p}cantadaf} {c}}}} {f}}}} {f} {f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}\f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}\rho _{f}&implies {vec {v}}{text{ vertically downwards}}\rho _{p}

donde (en unidades SI):

$g$ es la fuerza de campo gravitacional [m/s²]
$R$ es el radio de la partícula esférica [m]
$*** p$ es la densidad de masa de la partícula [kg/m³]
$*** f$ es la densidad de masa del fluido [kg/m³]
$μ$ es la viscosidad dinámica [kg/(m•s)].

Derivación

Flujo constante de Stokes

En el flujo de Stokes, con un número de Reynolds muy bajo, se desprecian los términos de aceleración convectiva en las ecuaciones de Navier-Stokes. Entonces las ecuaciones de flujo se convierten, para un flujo constante incompresible:

{displaystyle {begin{aligned}&nabla p=mu ,nabla ^{2}mathbf {u} =-mu ,nabla times mathbf {boldsymbol {omega }}\[2pt]&nabla cdot mathbf {u} =0,end{aligned}}}

donde:

$p$ es la presión del fluido (en Pa),
$u$ es la velocidad de flujo (en m/s), y
$\cdot$ es la vorticidad (en s⁻¹), definido como ${boldsymbol {omega }}=nabla times {mathbf {u}}.$

Al usar algunas identidades de cálculo vectorial, se puede demostrar que estas ecuaciones dan como resultado las ecuaciones de Laplace para la presión y cada uno de los componentes del vector de vorticidad:

nabla ^{2}{boldsymbol {omega }}=0

nabla ^{2}p=0.

Las fuerzas adicionales como las de la gravedad y la flotabilidad no se han tenido en cuenta, pero se pueden sumar fácilmente ya que las ecuaciones anteriores son lineales, por lo que se puede aplicar la superposición lineal de las soluciones y las fuerzas asociadas.

Flujo transversal alrededor de una esfera

Streamlines of Creeping flow past a sphere in a fluid. Isocontours of the ↑ función (valores en etiquetas de contorno).

Para el caso de una esfera en un flujo uniforme de campo lejano, es ventajoso utilizar un sistema de coordenadas cilíndricas $(r, φ, z)$ . El eje $z$ pasa por el centro de la esfera y está alineado con la dirección media del flujo, mientras que $r$ es el radio medido perpendicularmente a $z$ – eje. El origen está en el centro de la esfera. Debido a que el flujo es simétrico alrededor del eje $z$ , es independiente del acimut $φ$ .

En este sistema de coordenadas cilíndricas, el flujo incompresible se puede describir con una función de flujo de Stokes $ψ$ , dependiendo de $r$ y $z$ :

u_z = frac{1}{r}frac{partialpsi}{partial r}, qquad u_r = -frac{1}{r}frac{partialpsi}{partial z},

con $u r$ y $u z$ los componentes de velocidad de flujo en $r$ y dirección $z$ , respectivamente. El componente de velocidad azimutal en la dirección $φ$ es igual a cero, en este caso axisimétrico. El flujo de volumen, a través de un tubo delimitado por una superficie de algún valor constante $ψ$ , es igual a $2 πψ$ y es constante.

Para este caso de un flujo axisimétrico, el único componente distinto de cero del vector de vorticidad $ω$ es el $φ$ – componente azimutal $ω φ$

omega_varphi = frac{partial u_r}{partial z} - frac{partial u_z}{partial r} = - frac{partial}{partial r} left(frac{1}{r}frac{partialpsi}{partial r} right) - frac{1}{r}, frac{partial^2psi}{partial z^2}.

El operador de Laplace, aplicado a la vorticidad $ω φ$ , se convierte en este sistema de coordenadas cilíndricas con axisimetría:

nabla ^{2}omega _{varphi }={frac {1}{r}}{frac {partial }{partial r}}left(r,{frac {partial omega _{varphi }}{partial r}}right)+{frac {partial ^{2}omega _{varphi }}{partial z^{2}}}-{frac {omega _{varphi }}{r^{{2}}}}=0.

De las dos ecuaciones anteriores, y con las condiciones de contorno apropiadas, para una velocidad de flujo uniforme de campo lejano $u$ en la dirección $z$ y una esfera de radio $R$ , se encuentra que la solución es

{displaystyle psi (r,z)=-{frac {1}{2}},u,r^{2},left[1-{frac {3}{2}}{frac {R}{sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{frac {1}{2}}left({frac {R}{sqrt {r^{2}+z^{2}}}}right)^{3};right].}

Stokes-Flow alrededor de la esfera con parámetros de velocidad Far-Field

{displaystyle mathbf {u} _{infty }={begin{pmatrix}6&0&6end{pmatrix}}^{T}{text{m/s}}}

, radio de esfera

{displaystyle R=1;{text{m}}}

, viscosidad del agua (T = 20°C)

{displaystyle mu =1;{text{mPa}}cdot {text{s}}}

. Se muestran las líneas de campo de velocidad y las amplitudes de velocidad, presión y vorticidad con pseudocolores.

La solución de la velocidad en coordenadas cilíndricas y componentes es la siguiente:

{displaystyle {begin{aligned}u_{r}(r,z)&={frac {3R^{3}}{4}}cdot {frac {rzu}{{sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{5}}}-{frac {3R}{4}}cdot {frac {rzu}{{sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}\[4pt]u_{z}(r,z)&={frac {R^{3}}{4}}cdot left({frac {3uz^{2}}{{sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{5}}}-{frac {u}{{sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}right)+u-{frac {3R}{4}}cdot left({frac {u}{sqrt {r^{2}+z^{2}}}}+{frac {uz^{2}}{{sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}right)end{aligned}}}

La solución de la vorticidad en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

{displaystyle omega _{varphi }(r,z)=-{frac {3Ru}{2}}cdot {frac {r}{{sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}

La solución de la presión en coordenadas cilíndricas es la siguiente:

{displaystyle p(r,z)=-{frac {3mu Ru}{2}}cdot {frac {z}{{sqrt {r^{2}+z^{2}}}^{3}}}}

La solución de la presión en coordenadas esféricas es la siguiente:

{displaystyle p(r,theta)=-{frac {3mu Ru}{2}}cdot {frac {cos theta }{r^{2}}}}

La fórmula de la presión también se llama potencial dipolar de forma análoga al concepto de electrostática.

Una formulación más general, con velocidad-vector arbitrario de campo lejano ${displaystyle mathbf {u} _{infty }}$ , en coordenadas cartesianas ${displaystyle mathbf {x} =(x,y,z)^{T}}$ a continuación:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {u} (mathbf {x})&=underbrace {underbrace {{frac {R^{3}}{4}}cdot left({frac {3left(mathbf {u} _{infty }cdot mathbf {x} right)cdot mathbf {x} }{|mathbf {x} |^{5}}}-{frac {mathbf {u} _{infty }}{|mathbf {x} |^{3}}}right)} _{text{conservative: curl=0, div=0}}+underbrace {mathbf {u} _{infty }} _{text{far-field}}} _{text{Terms of Boundary-Condition}};underbrace {-{frac {3R}{4}}cdot left({frac {mathbf {u} _{infty }}{|mathbf {x} |}}+{frac {left(mathbf {u} _{infty }cdot mathbf {x} right)cdot mathbf {x} }{|mathbf {x} |^{3}}}right)} _{{text{non-conservative: curl}}={boldsymbol {omega }}(mathbf {x}),{text{ div=0}}}\[8pt]&=left[{frac {3R^{3}}{4}}{frac {mathbf {xotimes mathbf {x} } }{|mathbf {x} |^{5}}}-{frac {R^{3}}{4}}{frac {mathbb {I} }{|mathbf {x} |^{3}}}-{frac {3R}{4}}{frac {mathbf {x} otimes mathbf {x} }{|mathbf {x} |^{3}}}-{frac {3R}{4}}{frac {mathbb {I} }{|mathbf {x} |}}+mathbb {I} right]cdot mathbf {u} _{infty }end{aligned}}}

{displaystyle {boldsymbol {omega }}(mathbf {x})=-{frac {3R}{2}}cdot {frac {mathbf {u} _{infty }times mathbf {x} }{|mathbf {x} |^{3}}}}

{displaystyle pleft(mathbf {x} right)=-{frac {3mu R}{2}}cdot {frac {mathbf {u} _{infty }cdot mathbf {x} }{|mathbf {x} |^{3}}}}

En esta formulación, el término no conservador representa una especie de Stokeslet. El Stokeslet es la función de Green de las ecuaciones de flujo de Stokes. El término conservativo es igual al campo de gradiente dipolar. La fórmula de vorticidad es análoga a la ley de Biot-Savart en electromagnetismo.

La siguiente fórmula describe el tensor de estrés viscoso para el caso especial del flujo de Stokes. Se necesita en el cálculo de la fuerza que actúa en la partícula. En Cartesian coordina el gradiente vectorial $nabla {mathbf {u}}$ es idéntica a la matriz Jacobiana. La matriz $I$ representa la identidad-matrix.

{displaystyle {boldsymbol {sigma }}=-pcdot mathbf {I} +mu cdot left((nabla mathbf {u})+(nabla mathbf {u})^{T}right)}

La fuerza que actúa sobre la esfera se calcula mediante la integral de superficie, donde $e r$ representa la unidad radial -vector de coordenadas esféricas:

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {F} &=iint _{partial V}!!!!!!!!!!!!!!subset !supset ;{boldsymbol {sigma }}cdot {text{d}}mathbf {S} \[4pt]&=int _{0}^{pi }int _{0}^{2pi }{boldsymbol {sigma }}cdot mathbf {e_{r}} cdot R^{2}sin theta {text{d}}varphi {text{d}}theta \[4pt]&=int _{0}^{pi }int _{0}^{2pi }{frac {3mu cdot mathbf {u} _{infty }}{2R}}cdot R^{2}sin theta {text{d}}varphi {text{d}}theta \[4pt]&=6pi mu Rcdot mathbf {u} _{infty }end{aligned}}}

Flujo rotacional alrededor de una esfera

Stokes-Flow en la esfera:

{displaystyle {boldsymbol {omega }}_{R}={begin{pmatrix}0&0&2end{pmatrix}}^{T};{text{Hz}}}

{displaystyle mu =1;{text{mPa}}cdot {text{s}}}

{displaystyle R=1;{text{m}}}

{displaystyle {begin{aligned}mathbf {u} (mathbf {x})&=-;R^{3}cdot {frac {{boldsymbol {omega }}_{R}times mathbf {x} }{|mathbf {x} |^{3}}}\[8pt]{boldsymbol {omega }}(mathbf {x})&={frac {R^{3}cdot {boldsymbol {omega }}_{R}}{|mathbf {x} |^{3}}}-{frac {3R^{3}cdot ({boldsymbol {omega }}_{R}cdot mathbf {x})cdot mathbf {x} }{|mathbf {x} |^{5}}}\[8pt]p(mathbf {x})&=0\[8pt]{boldsymbol {sigma }}&=-pcdot mathbf {I} +mu cdot left((nabla mathbf {u})+(nabla mathbf {u})^{T}right)\[8pt]mathbf {T} &=iint _{partial V}!!!!!!!!!!!!!!subset !supset mathbf {x} times left({boldsymbol {sigma }}cdot {text{d}}{boldsymbol {S}}right)\&=int _{0}^{pi }int _{0}^{2pi }(Rcdot mathbf {e_{r}})times left({boldsymbol {sigma }}cdot mathbf {e_{r}} cdot R^{2}sin theta {text{d}}varphi {text{d}}theta right)\&=8pi mu R^{3}cdot {boldsymbol {omega }}_{R}end{aligned}}}

Otros tipos de flujo Stokes

Aunque el líquido es estático y la esfera se mueve con cierta velocidad, con respecto al marco de la esfera, la esfera está en reposo y el líquido fluye en dirección opuesta al movimiento de la esfera.

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