Ley de Stefan-Boltzmann

Gráfico de una función de la energía total emitida de un cuerpo negro ${displaystyle j^{star }$ proporcional a su temperatura termodinámica ${displaystyle T,}$. En azul es una energía total según la aproximación de Wien, ${displaystyle j_{W}{star }=j^{star }/zeta (4)approx 0.924,sigma T^{4}!,}$

El Ley Stefan-Boltzmann describe el poder irradiado de un cuerpo negro en términos de su temperatura. Específicamente, la ley Stefan-Boltzmann establece que la energía total radiada por superficie unitaria de un cuerpo negro a través de todas las longitudes de onda por unidad de tiempo ${displaystyle j^{star }$ (también conocido como el cuerpo negro radiante) es directamente proporcional a la cuarta potencia de la temperatura termodinámica del cuerpo negro T:

${displaystyle j^{star }=sigma T^{4}$

La constante de proporcionalidad σ, llamada constante de Stefan-Boltzmann, se deriva de otras constantes físicas conocidas. Desde 2019, el valor de la constante es

${displaystyle sigma ={frac {2pi ¿Qué?$

donde k es la constante de Boltzmann, h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz en el vacío. La radiancia desde un ángulo de visión específico (vatios por metro cuadrado por estereorradián) viene dada por

${displaystyle L={fnMicroc {fncipi} ♪♪ }={frac {sigma. }T^{4}$

Un cuerpo que no absorbe toda radiación incidental (a veces conocida como un cuerpo gris) emite menos energía total que un cuerpo negro y se caracteriza por una emisividad, ${displaystyle 0 realizadasvarepsilon.$:

${displaystyle j^{star }=varepsilon sigma T^{4}$

La emisión radiante ${displaystyle j^{star }$ tiene dimensiones de flujo energético (energía por unidad de tiempo por área), y las unidades SI de medida son joules por segundo por metro cuadrado, o equivalentemente, watts por metro cuadrado. Unidad SI para temperatura absoluta T es el kelvin. ${displaystyle varepsilon }$ es la emisividad del cuerpo gris; si es un cuerpo negro perfecto, ${displaystyle varepsilon =1}$. En el caso aún más general (y realista), la emisividad depende de la longitud de onda, ${displaystyle varepsilon =varepsilon (lambda)}$.

Para encontrar el poder total irradiado de un objeto, multiplicarse por su superficie, ${displaystyle A}$:

${displaystyle P=Aj^{star }=Avarepsilon sigma T^{4}$

Las partículas, los metamateriales y otras nanoestructuras de longitud de onda y sublongitud de onda no están sujetos a los límites ópticos de rayos y pueden diseñarse para superar la ley de Stefan-Boltzmann.

Historia

En 1864, John Tyndall presentó medidas de la emisión infrarroja por un filamento de platino y el color correspondiente del filamento. La proporcionalidad a la cuarta potencia de la temperatura absoluta fue deducida por Josef Stefan (1835-1893) en 1877 sobre la base de las mediciones experimentales de Tyndall, en el artículo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur< /i> (Sobre la relación entre radiación térmica y temperatura) en los Boletines de las sesiones de la Academia de Ciencias de Viena.

Ludwig Boltzmann (1844–1906) presentó una derivación de la ley a partir de consideraciones teóricas en 1884, basándose en el trabajo de Adolfo Bartoli. Bartoli en 1876 había derivado la existencia de la presión de radiación de los principios de la termodinámica. Siguiendo a Bartoli, Boltzmann consideró un motor térmico ideal que usaba radiación electromagnética en lugar de un gas ideal como materia de trabajo.

La ley se verificó experimentalmente casi de inmediato. Heinrich Weber en 1888 señaló desviaciones a temperaturas más altas, pero la precisión perfecta dentro de las incertidumbres de medición se confirmó hasta temperaturas de 1535 K en 1897. La ley, incluida la predicción teórica de la constante de Stefan-Boltzmann en función de la velocidad de la luz, la constante de Boltzmann y la constante de Planck, es una consecuencia directa de la ley de Planck formulada en 1900.

A partir de la redefinición de las unidades básicas del SI de 2019, que fija los valores de la constante de Boltzmann k, la constante de Planck h y la velocidad de la luz c, la constante de Stefan-Boltzmann es exactamente

${displaystyle sigma ={frac {545454781984210512994952000000\pi ^{5}{294384557346501410424137126365436049},mathrm {Wm^{-2}K^{-4} ,}$

σ = 5.67037441918442945397099673188923087584012297029130...×10⁻⁸W/(m²K⁴).

Ejemplos

Temperatura del Sol

Con su ley, Stefan también determinó la temperatura de la superficie del Sol. Dedujo de los datos de Jacques-Louis Soret (1827-1890) que la densidad de flujo de energía del Sol es 29 veces mayor que la densidad de flujo de energía de cierta lámina metálica calentada (una placa delgada). Se colocó una laminilla redonda a tal distancia del dispositivo de medición que se vería con el mismo diámetro angular que el Sol. Soret estimó que la temperatura de la lámina es de aproximadamente 1900 °C a 2000 °C. Stefan supuso que ⅓ del flujo de energía del Sol es absorbido por la atmósfera de la Tierra, por lo que tomó como flujo de energía del Sol correcto un valor 3/2 veces mayor que el valor de Soret, es decir, 29 × 3/2 = 43,5.

No se realizaron mediciones precisas de la absorción atmosférica hasta 1888 y 1904. La temperatura que obtuvo Stefan fue un valor medio de las anteriores, 1950 °C y la termodinámica absoluta 2200 K. Como 2.57⁴ = 43.5, de la ley se deduce que la temperatura del Sol es 2,57 veces mayor que la temperatura de la lámina, por lo que Stefan obtuvo un valor de 5430 °C o 5700 K. Este fue el primer valor sensato para la temperatura del Sol. Antes de esto, se afirmaban valores que iban desde 1800 °C hasta 13 000 000 °C. El valor más bajo de 1800 °C fue determinado por Claude Pouillet (1790–1868) en 1838 utilizando la ley de Dulong-Petit. Pouillet también tomó solo la mitad del valor del flujo de energía correcto del Sol.

Temperatura de las estrellas

La temperatura de las estrellas que no sean el Sol se puede aproximar usando un medio similar al tratar la energía emitida como una radiación de cuerpo negro. Asi que:

${displaystyle L=4pi R^{2}sigma T^{4}$

donde L es la luminosidad, σ es la constante de Stefan-Boltzmann, R es el radio estelar y T es la temperatura efectiva. Esta fórmula se puede reorganizar para calcular la temperatura:

${displaystyle T={sqrt[{4}{frac {L}{4pi} R^{2}sigma }$

o alternativamente el radio:

${displaystyle R={sqrt {frac {L}{4pisigma T^{4}}}}$

Las mismas fórmulas también se pueden simplificar para calcular los parámetros relativos al Sol:

${displaystyle {frac {fnK}{odot ¿Qué?$

${displaystyle {frac}{odot {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicroc {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} } {R}}}$

${displaystyle {frac {fnh}{odot }=left({frac {odot Está bien. {L}{L_{odot }$

Donde ${displaystyle R_{odot}$ es el radio solar, y así sucesivamente. También pueden ser reescritos en términos de superficie A y radiante ${displaystyle j^{star }$:

${displaystyle L=Aj^{star }$

${displaystyle j^{star }={frac {L}{A}}$

${displaystyle A={frac}{j^{star }$

Donde ${displaystyle A=4pi R^{2}$ y ${displaystyle j^{star }=sigma T^{4}$

Con la ley de Stefan-Boltzmann, los astrónomos pueden deducir fácilmente los radios de las estrellas. La ley también se cumple en la termodinámica de los agujeros negros en la llamada radiación de Hawking.

Temperatura efectiva de la Tierra

Del mismo modo, podemos calcular la temperatura efectiva de la Tierra T_⊕ igualando la energía recibida del Sol y la energía radiada por la Tierra, bajo el cuerpo negro aproximación (la propia producción de energía de la Tierra es lo suficientemente pequeña como para ser insignificante). La luminosidad del Sol, L_⊙, viene dada por:

${displaystyle L_{odot }=4pi R_{odot } {2}sigma T_{odot } {4}$

En la Tierra, esta energía pasa a través de una esfera con un radio de a₀, la distancia entre la Tierra y el Sol, y la irradiancia (potencia recibida por unidad de área) está dada por

${displaystyle E_{oplus {fnK} {fnMicroc {fnK} {fnMicroc} {fnMicroc} {fn} {fn}}} {fnK}}} {fnK}} {fnfn}}} {fnMicroc {fnMicroc {fnK}}}} {f}}}}}}}}}}} {fnf}}}}}fnfnf}fnfnfnfnf}fnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnfnf}fn A_{0} {2}}}$

La Tierra tiene un radio de R_⊕, y por lo tanto tiene una sección transversal de ${displaystyle pi R_{oplus }{2}$. El flujo radiante (es decir, energía solar) absorbido por la Tierra es dado por:

${displaystyle Phi _{text{abs}=pi R_{oplus } {2}times E_{oplus }$

Debido a que la ley de Stefan-Boltzmann usa una cuarta potencia, tiene un efecto estabilizador en el intercambio y el flujo emitido por la Tierra tiende a ser igual al flujo absorbido, cerca del estado estacionario donde:

${displaystyle {begin{aligned}4pi} ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ################################################################################################################################################################################################################################################################ }{2}times {frac {4fncH00} R_{odot }{2}sigma T_{odot. A_{0} {2}\end{aligned}}$

Entonces se puede encontrar

T_⊕:

${displaystyle {begin{aligned}T_{oplus ################################################################################################################################################################################################################################################################ {fnMicrosoft Sans Serif} ♫ {2}T_{odot {}} {4a_{0} {2}}T_{oplus ♪♪ #times {sqrt {frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {K}times {696times 10^{6};{rm} over 2times 149.598times 10^{9};{rm} {m}}}\\fnMicrox 279;{rm {K}end{aligned}}$

donde T_⊙ es la temperatura del Sol, R_⊙ el radio del Sol y a₀ es la distancia entre la Tierra y el Sol. Esto da una temperatura efectiva de 6 °C en la superficie de la Tierra, suponiendo que absorba perfectamente todas las emisiones que caen sobre ella y no tenga atmósfera.

La Tierra tiene un albedo de 0,3, lo que significa que el 30 % de la radiación solar que incide en el planeta se dispersa de vuelta al espacio sin absorción. El efecto del albedo sobre la temperatura se puede aproximar suponiendo que la energía absorbida se multiplica por 0,7, pero que el planeta aún irradia como un cuerpo negro (esto último por definición de temperatura efectiva, que es lo que estamos calculando). Esta aproximación reduce la temperatura en un factor de 0,7^1/4, dando 255 K (−18 °C).

La temperatura anterior es la de la Tierra vista desde el espacio, no la temperatura del suelo, sino un promedio de todos los cuerpos emisores de la Tierra desde la superficie hasta la gran altitud. Debido al efecto invernadero, la temperatura promedio real de la superficie de la Tierra es de aproximadamente 288 K (15 °C), que es más alta que la temperatura efectiva de 255 K e incluso más alta que la temperatura de 279 K que tendría un cuerpo negro..

En la discusión anterior, hemos asumido que toda la superficie de la tierra está a una temperatura. Otra pregunta interesante es preguntar cuál sería la temperatura de la superficie de un cuerpo negro en la tierra suponiendo que alcanza el equilibrio con la luz solar que incide sobre él. Esto, por supuesto, depende del ángulo del sol en la superficie y de la cantidad de aire que ha atravesado la luz del sol. Cuando el sol está en el cenit y la superficie es horizontal, la irradiación puede alcanzar los 1120 W/m². La ley de Stefan-Boltzmann da una temperatura de

${displaystyle T=left {frac {1120{text{ W/m}}{2}{sigma }}right)}{1/4}approx 375{text{ K}}}}}$

o 102 °C. (Por encima de la atmósfera, el resultado es aún mayor: 394 K.) Podemos pensar en la superficie de la tierra como "intentando" alcanzar la temperatura de equilibrio durante el día, pero siendo enfriado por la atmósfera, y "intentando" para alcanzar el equilibrio con la luz de las estrellas y posiblemente la luz de la luna por la noche, pero siendo calentado por la atmósfera.

Origen

Derivación termodinámica de la densidad de energía

El hecho de que la densidad energética de la caja que contiene radiación es proporcional a ${displaystyle T^{4}$ se puede derivar usando termodinámica. Esta derivación utiliza la relación entre la presión de radiación p y la densidad de energía interna ${displaystyle u}$, una relación que se puede mostrar utilizando la forma del tensión electromagnético- tensor de energía. Esta relación es:

${displaystyle p={frac {u}{3}}$

Ahora, a partir de la relación termodinámica fundamental

${displaystyle DU=T,dS-p,dV,}$

obtenemos la siguiente expresión, después de dividir por ${displaystyle dV}$ y fijación ${displaystyle T}$:

${displaystyle left({frac {partial U}{partial V}right)_{T}=Tleft({frac {partial S}{partial V}right)_{T}-p=Tleft({frac {frac}partial V}right) {partial p}{partial T}right)_{V}-p}$

La última igualdad proviene de la siguiente relación de Maxwell:

${displaystyle left({frac {partial S}{partial V}}right)_{T}=left({frac {partial p}{partial T}right)_{V}}$

De la definición de densidad de energía se sigue que

${displaystyle U=uV}$

donde la densidad de energía de la radiación solo depende de la temperatura, por lo tanto

${displaystyle left({frac {partial U}{partial V}}right)_{T}=u}=u$

Ahora, la igualdad

${displaystyle left({frac {partial U}{partial V}right)_{T}=Tleft({frac {partial p}{partial T}right)_{V}-p,}$

después de la sustitución ${displaystyle left({frac {partial U}{partial V}right)_{T}$ Mientras tanto, la presión es la tasa de cambio de impulso por área de unidad. Puesto que el impulso de un fotón es el mismo que la energía dividida por la velocidad de la luz,

${displaystyle u={frac}}left({frac {partial u}right)_{V}-{frac {u}}}}}}} {f}}} {fnK} {f}} {f}} {f}}}$

donde el factor 1/3 proviene de la proyección de la transferencia de cantidad de movimiento sobre la normal a la pared del contenedor.

Desde el derivado parcial ${displaystyle left({frac {partial u}{partial T}right)_{V}}$ se puede expresar como una relación entre ${displaystyle u}$ y ${displaystyle T}$ (si uno lo aísla en un lado de la igualdad), el derivado parcial puede ser reemplazado por el derivado ordinario. Después de separar las diferencias la igualdad se convierte

${displaystyle {frac {}{4u}={frac} {dT} {T}},}$

que conduce inmediatamente a ${displaystyle u=AT^{4}$, con ${displaystyle A}$ como una constante de integración.

Derivación de la ley de Planck

Conducir al Stefan-Boltzmann Ley usando la ley del Planck.

La ley se puede derivar considerando la superficie de un pequeño cuerpo negro y plano que se irradia en una semiesfera. Esta derivación utiliza coordenadas esféricas, con θ como ángulo cenital y φ como ángulo azimutal; y la pequeña superficie plana del cuerpo negro se encuentra en el plano xy, donde θ = ^π /₂.

La intensidad de la luz emitida por la superficie del cuerpo negro viene dada por la ley de Planck,

$${displaystyle I(nuT)={frac {2hnu {} {fn} {fnK}} {fnMicroc} {1}{e^{hnu /(kT)}}}}$$

• ${displaystyle I(nuT)}$ es la cantidad de potencia por área de superficie unidad por ángulo sólido unidad por frecuencia de unidad emitida a una frecuencia ${displaystyle nu }$ por un cuerpo negro a temperatura T.
• ${displaystyle h}$ es la constante de Planck
• ${displaystyle c}$ es la velocidad de la luz, y
• ${displaystyle k}$ Es la constante de Boltzmann.

La cantidad ${displaystyle I(nuT)~A~dnu ~dOmega }$ es el poder irradiado por una superficie de área A a través de un ángulo sólido dΩ en el rango de frecuencia entre . y . + ♪.

La ley de Stefan-Boltzmann da la potencia emitida por unidad de área del cuerpo emisor,

$${displaystyle {frac {}=int _{0}{infty }I(nuT),dnu cos theta ,dOmega }$$

Tenga en cuenta que el cosino aparece porque los cuerpos negros son Lambertian (es decir, obedecen a la ley cosina de Lambert), lo que significa que la intensidad observada a lo largo de la esfera serán los tiempos de intensidad reales la cosina del ángulo zenith. Para obtener la ley Stefan-Boltzmann, debemos integrar ${textstyle dOmega =sin theta ,dtheta ,dvarphi }$ sobre la media esfera e integrar ${displaystyle nu }$ de 0 a ∞.

$${displaystyle {begin{aligned}{frac} {P}{=} {0}{infty }I(nuT),dnu int _{0}^{2pi },dvarphi int _{0}pi /2}cos theta sin theta ,dtheta \theta\\=piend}{0}Inuinfty} {in} {I} {i}i} {i} {i} {i}} {i}}}} {i} {i}}}} {i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {i}}}} {i}}} {i} {i}}}}} {i}}}}}}}}}}}}}}}}}} {i}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {$$

Luego conectamos para I:

$${displaystyle {frac {fnK}={frac {2f}fnfnh} {fnK}}= {fnK}f}fnK} {fnK}fnh}f}f} {fnKf}}fnKfnKf}fnKf}f}}}}f}}}fnKf}}fnKfnfnfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}f}f}}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKf}f}fnKfnKf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnh}}}fnK {fnK}} {fnK}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}} {c} {c}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}} {}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {in ¿Qué? ¿Qué? } {kT}},dnu }$$

Para evaluar esta integral, haz una sustitución,

$${displaystyle {begin{aligned}u ventaja={frac {hnu } {kT}[6pt]du tarde={frac {h},dnu end{aligned}}$$

que da:

$${displaystyle {frac {fnK}={frac {2f}fnfnh} {fnK}}= {fnK}f}fnK} {fnK}}fnK}f} {fnK}f}}fnfnKfnKf}f}}f}fnKfnKfnKf}}}}fnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnKfnKfnKfnKfnKf}f}f}}f}fnKfnKfnKfnKf}fnKf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}fnKf}}fnK {fnMicroc}}}left({frac} {fnMicroc}}}left({fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnK}}}} {f}}}}}}}left({f} {fnMicroc} {f} {f} {f}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}left {left {left {left {left {left {left {left {left({left({m}} {m}{m}{m}{m}{m}{m}{f}{m}{ {kT} {h}right)}{4}int ¿Qué?$$

La integral de la derecha es estándar y va por muchos nombres: es un caso particular de una integral Bose-Einstein, el polilogaritmo o la función Riemann zeta ${displaystyle zeta (s)}$. El valor de la integral es ${displaystyle Gamma (4)zeta (4)={frac {pi}.$ (donde) ${displaystyle Gamma (s)}$ es la función Gamma), dando el resultado que, para una superficie perfecta del cuerpo negro:

$${displaystyle j^{star }=sigma T^{4}~,~~sigma ={frac {2pi ¿Qué? - ¿Qué?$$

Finalmente, esta prueba comenzó considerando solo una pequeña superficie plana. Sin embargo, cualquier superficie diferenciable se puede aproximar mediante una colección de pequeñas superficies planas. Siempre que la geometría de la superficie no haga que el cuerpo negro reabsorba su propia radiación, la energía total radiada es solo la suma de las energías radiadas por cada superficie; y el área de la superficie total es solo la suma de las áreas de cada superficie, por lo que esta ley también se cumple para todos los cuerpos negros convexos, siempre que la superficie tenga la misma temperatura en todas partes. La ley se extiende a la radiación de cuerpos no convexos utilizando el hecho de que el casco convexo de un cuerpo negro irradia como si fuera un cuerpo negro.

Densidad de energía

La densidad de energía total U se puede calcular de manera similar, excepto que la integración es sobre toda la esfera y no hay coseno, y el flujo de energía (U c) debe dividirse por la velocidad c para dar la densidad de energía U:

$${displaystyle U={frac}{c}int _{0}{infty }I(nuT),dnu int ,dOmega }$$

${textstyle int _{0}{pi /2}cos theta sin theta ,dtheta }$${textstyle int ¿Qué? }sin theta ,dtheta }$

Así, en total:

$${displaystyle U={frac}sigma,T^{4}$$