Ley de Rayleigh-Jeans

Comparación de la ley Rayleigh-Jeans con la aproximación de Wien y la ley de Planck, para un cuerpo de temperatura de 5800K.

En física, la ley de Rayleigh-Jeans es una aproximación a la radiación espectral de la radiación electromagnética en función de la longitud de onda de un cuerpo negro a una temperatura dada a través de argumentos clásicos. Para la longitud de onda λ, es:

Bλ λ ()T)=2ckBTλ λ 4,{displaystyle B_{lambda }(T)={frac {2ck_{mathrm {B}T}{lambda }}}}

Bλ λ {displaystyle B_{lambda }

c{displaystyle c}

kB{displaystyle k_{mathrm {B}

T{displaystyle T}

.. {displaystyle nu }

B.. ()T)=2.. 2kBTc2.{displaystyle B_{nu }(T)={frac {2nu ^{2}k_{mathrm {B}T} {c^{2}}}}

La ley de Rayleigh-Jeans concuerda con los resultados experimentales en longitudes de onda grandes (frecuencias bajas), pero discrepa fuertemente en longitudes de onda cortas (frecuencias altas). Esta inconsistencia entre las observaciones y las predicciones de la física clásica se conoce comúnmente como la catástrofe ultravioleta. La ley de Planck, que da la radiación correcta en todas las frecuencias, tiene la ley de Rayleigh-Jeans como límite de baja frecuencia.

Desarrollo histórico

En 1900, el físico británico Lord Rayleigh derivó la dependencia λ⁻⁴ de la ley de Rayleigh-Jeans basándose en argumentos físicos clásicos, basándose en el teorema de equipartición. Esta ley predijo una salida de energía que diverge hacia el infinito a medida que la longitud de onda se aproxima a cero (cuando la frecuencia tiende a infinito). Las mediciones de la emisión espectral de cuerpos negros reales revelaron que la emisión coincidía con el cálculo de Rayleigh en bajas frecuencias pero divergía en altas frecuencias; alcanzando un máximo y luego cayendo con la frecuencia, por lo que la energía total emitida es finita. Rayleigh reconoció el comportamiento no físico de su fórmula a altas frecuencias e introdujo un límite ad hoc para corregirlo, pero los experimentadores descubrieron que su límite no concordaba con los datos. Hendrik Lorentz también presentó una derivación de la dependencia de la longitud de onda en 1903. Derivaciones más completas, que incluían la constante de proporcionalidad, fueron presentadas en 1905 por Rayleigh y Sir James Jeans e, independientemente, por Albert Einstein. Rayleigh creía que esta discrepancia podría resolverse si el teorema de equipartición no era válido para vibraciones de alta frecuencia, mientras que Jeans argumentaba que la causa subyacente era que la materia y el éter luminífero no estaban en equilibrio térmico.

Rayleigh publicó su primera derivación de la dependencia de la frecuencia en junio de 1900. Planck descubrió la curva ahora conocida como ley de Planck en octubre de ese año y la presentó en diciembre. La intención original de Planck era encontrar una derivación satisfactoria de la expresión de Wien para la curva de radiación del cuerpo negro, que describiera con precisión los datos a altas frecuencias. Planck encontró inadecuada la derivación original de Wien e ideó la suya propia. Luego, después de enterarse de que los resultados experimentales más recientes no estaban de acuerdo con sus predicciones para las bajas frecuencias, Planck revisó su cálculo y obtuvo lo que ahora se llama la ley de Planck.

Comparación con la ley de Planck

En 1900, Max Planck obtuvo empíricamente una expresión para la radiación de cuerpo negro expresada en términos de longitud de onda λ = c/ ν (ley de Planck):

Bλ λ ()T)=2hc2λ λ 51ehcλ λ kBT− − 1,{displaystyle B_{lambda }(T)={frac {2hc^{2}{lambda ^{5}}}~{frac}}}{frac {1}{e^{frac} {hc}{lambda k_{mathrm {B}T}} {}}

ex=1+x+x22!+x33!+⋯ ⋯ .{displaystyle e^{x}=1+x+{x^{2} over 2!}+{x^{3} over 3!}+cdots.}

ehcλ λ kBT.. 1+hcλ λ kBT.{displaystyle e^{frac {hc}{lambda k_{mathrm {B}T}approx 1+{frac {hc}{lambda k_{mathrm - Sí.

Entonces,

1ehcλ λ kBT− − 1.. 1hcλ λ kBT=λ λ kBThc.{displaystyle {frac}{frac {fnhc}{fnhc}{fnK} {fn} {fnK}}} {fnK}} {fnK}} {fnK}} {f}fnK}f}}fnKfnKf} {f}f}}}f}}f}}}}}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}f}fnKfnfnf}f}f}f}f}fnKfnKfnKf}fnKf}fnf}fnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKfnKf}}fnKf}fnK k_{mathrm {B}T}}-1}approx {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc} {fnMicroc}} {fnMicroc} {fnMicroc} {fn}} {fnMicroc}} {fnMicroc}}} {fnMicroc} {f}}}}} {f} {f}}} {f}f}}}}} {f} {f} {f}} {f} {fnMicroc} {fnMicrocf}}}}}}}}} {f} {fnfnMicrocfnMicrocfnMicroc}}}}}} {f}} {fnMicrocf} {f}} {fnMicrocfnMicroc} {fnf}}}}}}}}}}}}}} {hc}{lambda k_{mathrm {B}T}={frac} {lambda k_{mathrm {B}T} {hc}}

Esto da como resultado que la fórmula del cuerpo negro de Planck se reduzca a

Bλ λ ()T)=2ckBTλ λ 4,{displaystyle B_{lambda }(T)={frac {2ck_{mathrm {B}T}{lambda }}}}

El mismo argumento se puede aplicar a la radiación del cuerpo negro expresada en términos de frecuencia . = c/λ. En el límite de las pequeñas frecuencias, eso es h.. ≪ ≪ kBT{displaystyle hnu ll k_{mathrm {B}T},

B.. ()T)=2h.. 3c21eh.. kBT− − 1.. 2h.. 3c2⋅ ⋅ kBTh.. =2.. 2kBTc2.{displaystyle B_{nu }(T)={frac {2hnu {} {fn} {fnK}} {fnMicroc} {1}{e^{frac} {hnu }{k_{mathrm {B}T}}-1}approx {fnMicroc {2hnu} ¿Qué? {fnMicroc {fnMicrom} {B}T}{hnu }={frac {2nu ^{2}k_{mathrm {B}T} {c^{2}}}}

Esta última expresión es la ley de Rayleigh-Jeans en el límite de las pequeñas frecuencias.

Coherencia de las expresiones dependientes de la frecuencia y la longitud de onda

Al comparar las expresiones dependientes de la frecuencia y la longitud de onda de la ley de Rayleigh-Jeans, es importante recordar que

dPdλ λ =Bλ λ ()T),{displaystyle {frac {fnK}{dlambda }=B_{lambda }(T),}

dPd.. =B.. ()T){displaystyle {frac {}{dnu} }=B_{nu }(T)}

Bλ λ ()T)ل ل B.. ()T){displaystyle B_{lambda }(T)neq B_{nu }(T)}

λ λ =c/.. {displaystyle lambda =c/nu }

Bλ λ ()T){displaystyle B_{lambda}(T)}

B.. ()T){displaystyle B_{nu }(T)}

Bλ λ dλ λ =dP=B.. d.. {displaystyle B_{lambda},dlambda - ¿Qué?

Comenzando con la ley de Rayleigh-Jeans en términos de longitud de onda, obtenemos

Bλ λ ()T)=B.. ()T)d.. dλ λ {displaystyle B_{lambda }(T)=B_{nu }(T),{frac {dnu }{dlambda }

d.. dλ λ =ddλ λ ()cλ λ )=− − cλ λ 2.{displaystyle {frac {fnfnfnfnfn\fn\\fn\\\fn\\\fn\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\fn\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ }{dlambda }={frac {d}{dlambda {fnMicrosoft Sans Serif}

Bλ λ ()T)=2kBT()cλ λ )2c2× × cλ λ 2=2ckBTλ λ 4.{displaystyle B_{lambda }(T)={frac {2k_{mathrm {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}} {fnMicroc {c}{lambda} {fnMicros} {fnMicros}} {fnMicros {fnMicroc}} {fnMicroc} {f}}} {fnMicroc}} {fnMis}}}}}}}}}} {c}}} {c}}}}}} {c}}}}} {cfnMis}fnMis}}fnMis}fnMis}fnMientras {fnMientras ^{2}={frac {2ck_{mathrm {B}T}{lambda }}}}

Otras formas de la ley de Rayleigh-Jeans

Dependiendo de la aplicación, la función de Planck se puede expresar de 3 formas diferentes. El primero involucra energía emitida por unidad de tiempo por unidad de área de superficie emisora, por unidad de ángulo sólido, por unidad espectral. De esta forma, la función de Planck y los límites de Rayleigh-Jeans asociados están dados por

Bλ λ ()T)=2hc2λ λ 51ehcλ λ kBT− − 1.. 2ckBTλ λ 4{displaystyle B_{lambda }(T)={frac {2hc^{2}{lambda ^{5}}}~{frac}}}{frac {1}{e^{frac} {hc}{lambda k_{mathrm {B}T}}-1}approx #frac {2ck_{mathrm {B}T}{lambda }} {}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}}}} {fn}

B.. ()T)=2h.. 3c21eh.. kBT− − 1.. 2kBT.. 2c2{displaystyle B_{nu }(T)={frac {2hnu {} {fn} {fnK}} {fnMicroc} {1}{e^{frac} {hnu }{k_{mathrm {B}T}}-1}approx {frac {2k_{mathrm} {B} }Tnu ^{2} {c^{2}}}

Alternativamente, la ley de Planck puede ser escrita como expresión I().. ,T)=π π B.. ()T){displaystyle I(nuT)=pi B_{nu }(T)} para poder emitido integrado sobre todos los ángulos sólidos. En esta forma, la función Planck y los límites asociados de Rayleigh-Jeans son dados por

I()λ λ ,T)=2π π hc2λ λ 51ehcλ λ kBT− − 1.. 2π π ckBTλ λ 4{displaystyle I(lambdaT)={frac {2pi hc^{2}{lambda ¿Qué? {1}{e^{frac} {hc}{lambda k_{mathrm {B}T}}-1}approx {fnMicroc {2ccH00} ck_{mathrm {B}T}{lambda }} {}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}}}} {fn}

I().. ,T)=2π π h.. 3c21eh.. kBT− − 1.. 2π π kBT.. 2c2{displaystyle I(nuT)={frac {2pi hnu {} {fn} {fnK}} {fnMicroc} {1}{e^{frac} {hnu }{k_{mathrm {B}T}}-1}approx {fnMicroc {2ccH00} k_{mathrm {B} }Tnu ^{2} {c^{2}}

En otros casos, la ley de Planck está escrita como u().. ,T)=4π π cB.. ()T){textstyle u(nuT)={frac {4pi - Sí. para energía por volumen de unidad (densidad de energía). En esta forma, la función Planck y los límites asociados de Rayleigh-Jeans son dados por

u()λ λ ,T)=8π π hcλ λ 51ehcλ λ kBT− − 1.. 8π π kBTλ λ 4{displaystyle u(lambdaT)={frac {8pihc}{lambda }}~{frac} {1}{e^{frac} {hc}{lambda k_{mathrm {B}T}}-1}approx {fnMicroc {8cH00} k_{mathrm {B}T}{lambda }} {}}} {fn}}} {fn}}}} {fn}}}} {fn}}}}}}}}}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}} {\fn}}}

u().. ,T)=8π π h.. 3c31eh.. kBT− − 1.. 8π π kBT.. 2c3{displaystyle u(nuT)={frac {8pi hnu {} {fn}} {fnMicroc} {1}{e^{frac} {hnu }{k_{mathrm {B}T}}-1}approx {fnMicroc {8cH00} k_{mathrm {B}Tnu ^{2} {c^{3}}}