Ley de los senos

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Propiedad de todos los triángulos en un plano euclidiano

Law of Sines

Figura 1, con círculo

Gráfico 2, Sin circuncírculo

Dos triángulos etiquetados con los componentes de la ley de los pecados.

α

β

γ

son los ángulos asociados con los vértices en la capital

A

B

, y

C

, respectivamente. Caso inferior

a

b

, y

c

son las longitudes de los lados opuestos a ellos. ()

a

es opuesto

α

, etc.)

En trigonometría, la ley de los senos, ley del seno, fórmula del seno o regla del seno es una ecuación que relaciona las longitudes de los lados de cualquier triángulo con los senos de sus ángulos. De acuerdo con la ley,

{displaystyle {frac {a}{sin {alpha }}},=,{frac {b}{sin {beta }}},=,{frac {c}{sin {gamma }}},=,2R,}

a, b

c

α, β

γ

R

{displaystyle {frac {sin {alpha }}{a}},=,{frac {sin {beta }}{b}},=,{frac {sin {gamma }}{c}}.}

ambiguo caso

La ley de los senos es una de las dos ecuaciones trigonométricas comúnmente aplicadas para encontrar longitudes y ángulos en triángulos escalenos, siendo la otra la ley de los cosenos.

La ley de los senos se puede generalizar a dimensiones superiores en superficies con curvatura constante.

Historia

Según Ubiratàn D'Ambrosio y Helaine Selin, la ley esférica de los senos se descubrió en el siglo X. Se atribuye de diversas formas a Abu-Mahmud Khojandi, Abu al-Wafa' Buzjani, Nasir al-Din al-Tusi y Abu Nasr Mansur.

El libro de los arcos desconocidos de una esfera de Ibn Muʿādh al-Jayyānī del siglo XI contiene la ley general de los senos. La ley plana de los senos fue establecida más tarde en el siglo XIII por Nasīr al-Dīn al-Tūsī. En su Sobre la figura del sector, estableció la ley de los senos para triángulos planos y esféricos, y proporcionó pruebas para esta ley.

Según Glen Van Brummelen, "La ley de los senos es realmente la base de Regiomontanus para sus soluciones de triángulos rectángulos en el Libro IV, y estas soluciones son a su vez las bases para sus soluciones de triángulos." Regiomontanus fue un matemático alemán del siglo XV.

Prueba

El área $T$ de cualquier triángulo se puede escribir como la mitad de su base por su altura. Seleccionando un lado del triángulo como base, la altura del triángulo relativa a esa base se calcula como la longitud de otro lado por el seno del ángulo entre el lado elegido y la base. Así, dependiendo de la selección de la base, el área del triángulo se puede escribir como cualquiera de:

{displaystyle T={frac {1}{2}}bleft(csin {alpha }right)={frac {1}{2}}cleft(asin {beta }right)={frac {1}{2}}aleft(bsin {gamma }right).}

2 / abc

{displaystyle {frac {2T}{abc}}={frac {sin {alpha }}{a}}={frac {sin {beta }}{b}}={frac {sin {gamma }}{c}},.}

El caso ambiguo de la solución del triángulo

Al usar la ley de los senos para encontrar un lado de un triángulo, se produce un caso ambiguo cuando se pueden construir dos triángulos separados a partir de los datos proporcionados (es decir, hay dos posibles soluciones diferentes para el triángulo). En el caso que se muestra a continuación, son triángulos $ABC$ y $ABC'$ .

Dado un triángulo general, las siguientes condiciones deberían cumplirse para que el caso sea ambiguo:

La única información conocida sobre el triángulo es el ángulo $α$ y los lados $a$ y $c$ .
El ángulo $α$ es agudo (es decir, $α$ - 90°.
El lado $a$ es más corto que el lado $c$ (es decir, $a . c$ ).
El lado $a$ es más largo que la altitud $h$ desde el ángulo $β$ , donde $h = c pecado α$ (es decir, $a ■ h$ ).

Si todas las condiciones anteriores son verdaderas, entonces cada uno de los ángulos $β$ y $β'$ produce un triángulo válido, lo que significa que ambos de los siguientes son verdaderos:

{displaystyle {gamma }'=arcsin {frac {csin {alpha }}{a}}quad {text{or}}quad {gamma }=pi -arcsin {frac {csin {alpha }}{a}}.}

A partir de ahí podemos encontrar el correspondiente $β$ y $b$ o $β'$ y $b'$ si es necesario, donde $b$ es el lado delimitado por los vértices $A$ y $C$ y $b'$ está delimitado por $A$ y $C'$ .

Ejemplos

Los siguientes son ejemplos de cómo resolver un problema usando la ley de los senos.

Ejemplo 1

Dado: lado $a = 20$ , lado $c = 24$ , y el ángulo $γ = 40°$ . Se desea el ángulo $α$ .

Usando la ley de los senos, concluimos que

{displaystyle {frac {sin alpha }{20}}={frac {sin(40^{circ })}{24}}.}

{displaystyle alpha =arcsin left({frac {20sin(40^{circ })}{24}}right)approx 32.39^{circ }.}

Tenga en cuenta que la solución potencial $α = 147,61°$ está excluida porque eso necesariamente daría $α + β + γ > 180°$ .

Ejemplo 2

Si las longitudes de dos lados del triángulo $a$ y $b$ son iguales a $x$ , el tercer lado tiene una longitud $c$ , y los ángulos opuestos a los lados de las longitudes $a$ , $b$ , y $c$ son $α$ , $β$ y $γ$ respectivamente, entonces

{displaystyle {begin{aligned}&alpha =beta ={frac {180^{circ }-gamma }{2}}=90^{circ }-{frac {gamma }{2}}\[6pt]&sin alpha =sin beta =sin left(90^{circ }-{frac {gamma }{2}}right)=cos left({frac {gamma }{2}}right)\[6pt]&{frac {c}{sin gamma }}={frac {a}{sin alpha }}={frac {x}{cos left({frac {gamma }{2}}right)}}\[6pt]&{frac {ccos left({frac {gamma }{2}}right)}{sin gamma }}=xend{aligned}}}

Relación con el circuncírculo

En la identidad

{displaystyle {frac {a}{sin {alpha }}}={frac {b}{sin {beta }}}={frac {c}{sin {gamma }}},}

Conducir la relación de la ley sine igual al diámetro circunscribiente. Note que triángulo

ADB

pasa por el centro del círculo circunscribiendo con diámetro

d

Prueba

Como se muestra en la figura, que haya un círculo con inscrito $triangle ABC$ y otro inscrito ${displaystyle triangle ADB}$ que pasa por el centro del círculo O. El ${displaystyle angle AOD}$ tiene un ángulo central ${displaystyle 180^{circ }}$ y así ${displaystyle angle ABD=90^{circ }}$ . Desde ${displaystyle triangle ABD}$ es un triángulo derecho,

{displaystyle sin {delta }={frac {text{opposite}}{text{hypotenuse}}}={frac {c}{2R}},}

{displaystyle R={frac {d}{2}}}

{gamma }

{delta }

{displaystyle {gamma }={delta }}

{displaystyle sin {delta }=sin {gamma }={frac {c}{2R}}.}

Reorganización de los rendimientos

{displaystyle 2R={frac {c}{sin {gamma }}}.}

Repita el proceso de creación ${displaystyle triangle ADB}$ con otros puntos da

${displaystyle {frac {a}{sin {alpha }}}={frac {b}{sin {beta }}}={frac {c}{sin {gamma }}}=2R.}$

Relación con el área del triángulo

El área de un triángulo es dada por ${textstyle T={frac {1}{2}}absin theta }$ , donde $theta$ es el ángulo encerrado por los lados de longitudes $a$ y $b$ . Sustituir la ley sine en esta ecuación da

{displaystyle T={frac {1}{2}}abcdot {frac {c}{2R}}.}

Tomando $R$ como el radio circunscribiendo,

${displaystyle T={frac {abc}{4R}}.}$

También se puede demostrar que esta igualdad implica

{displaystyle {begin{aligned}{frac {abc}{2T}}&={frac {abc}{2{sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\[6pt]&={frac {2abc}{sqrt {{(a^{2}+b^{2}+c^{2})}^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},end{aligned}}}

T

s

{textstyle s={frac {a+b+c}{2}}.}

La segunda igualdad anterior se simplifica fácilmente a la fórmula de Heron para el área.

La regla sine también se puede utilizar en la conducción de la siguiente fórmula para el área del triángulo: Denotar la semi-sum de los pecados de los ángulos como ${textstyle S={frac {sin A+sin B+sin C}{2}}}$ , tenemos

${displaystyle T=4R^{2}{sqrt {Sleft(S-sin Aright)left(S-sin Bright)left(S-sin Cright)}}}$

Donde $R$ es el radio del círculo: ${textstyle 2R={frac {a}{sin A}}={frac {b}{sin B}}={frac {c}{sin C}}}$ .

La ley esférica de los senos

La ley esférica de los senos trata con triángulos en una esfera, cuyos lados son arcos de grandes círculos.

Suponga que el radio de la esfera es 1. Sea $a$ , $b$ , y $c$ sean las longitudes de los grandes arcos que son los lados del triángulo. Porque es una esfera unitaria, $a$ , $b$ , y $c$ son los ángulos en el centro de la esfera subtendidos por esos arcos, en radianes. Sean $A$ , $B$ y $C$ los ángulos opuestos a sus respectivos lados. Estos son ángulos diédricos entre los planos de los tres grandes círculos.

Entonces la ley esférica de los senos dice:

{displaystyle {frac {sin A}{sin a}}={frac {sin B}{sin b}}={frac {sin C}{sin c}}.}

Prueba de vectores

Considere una esfera unitaria con tres vectores unitarios $OA$ , $OB$ y $OC$ dibujadas desde el origen hasta los vértices del triángulo. Así, los ángulos $α$ , $β$ y $γ$ son los ángulos $a$ , $b$ y $c$ , respectivamente. El arco $BC$ subtiende un ángulo de magnitud $a$ en el centro. Introduzca una base cartesiana con $OA$ a lo largo del eje $z$ y $OB$ en el plano $xz$ formando un ángulo $c$ con el eje $z$ . El vector $OC$ se proyecta a $ON$ en el $plano xy$ y el ángulo entre $ON$ y $x$ -el eje es $A$ . Por lo tanto, los tres vectores tienen componentes:

{displaystyle mathbf {OA} ={begin{pmatrix}0\0\1end{pmatrix}},quad mathbf {OB} ={begin{pmatrix}sin c\0\cos cend{pmatrix}},quad mathbf {OC} ={begin{pmatrix}sin bcos A\sin bsin A\cos bend{pmatrix}}.}

El triple producto escalar, $OA \cdot (OB \times OC)$ es el volumen del paralelepípedo formado por los vectores de posición de los vértices del triángulo esférico $OA$ , $OB$ y $OC$ . Este volumen es invariable al sistema de coordenadas específico utilizado para representar $OA$ , $OB$ y $OC$ . El valor del producto triple escalar $OA \cdot (OB \times OC)$ es el $3 \times 3$ determinante con $OA$ , $OB$ y $OC$ como sus filas. Con el eje $z$ a lo largo de $OA$ el cuadrado de este determinante es

{displaystyle {begin{aligned}{bigl (}mathbf {OA} cdot (mathbf {OB} times mathbf {OC}){bigr)}^{2}&=left(det {begin{pmatrix}mathbf {OA} &mathbf {OB} &mathbf {OC} end{pmatrix}}right)^{2}\[4pt]&={begin{vmatrix}0&0&1\sin c&0&cos c\sin bcos A&sin bsin A&cos bend{vmatrix}}^{2}=left(sin bsin csin Aright)^{2}.end{aligned}}}

z

OB

(sin c pecado a pecado B) 2

z

OC

(sin a pecado b pecado C) 2

(sin a pecado b pecado c) 2

{displaystyle {frac {sin ^{2}A}{sin ^{2}a}}={frac {sin ^{2}B}{sin ^{2}b}}={frac {sin ^{2}C}{sin ^{2}c}}={frac {V^{2}}{sin ^{2}(a)sin ^{2}(b)sin ^{2}(c)}},}

V

Es fácil ver cómo para triángulos esféricos pequeños, cuando el radio de la esfera es mucho mayor que los lados del triángulo, esta fórmula se convierte en la fórmula plana en el límite, ya que

{displaystyle lim _{ato 0}{frac {sin a}{a}}=1}

pecado b

pecado c

Prueba geométrica

Considere una esfera unitaria con:

{displaystyle OA=OB=OC=1}

Punto de construcción $D$ y punto $E$ tales que ${displaystyle angle ADO=angle AEO=90^{circ }}$

Punto de construcción $A'$ tales que ${displaystyle angle A'DO=angle A'EO=90^{circ }}$

Por lo tanto, se puede ver que ${displaystyle angle ADA'=B}$ y ${displaystyle angle AEA'=C}$

Note que $A'$ es la proyección de $A$ en avión $OBC$ . Por lo tanto ${displaystyle angle AA'D=angle AA'E=90^{circ }}$

Por trigonometría básica, tenemos:

{displaystyle AD=sin c}

{displaystyle AE=sin b}

Pero... ${displaystyle AA'=ADsin B=AEsin C}$

Combinándolos tenemos:

{displaystyle sin csin B=sin bsin C}

{displaystyle {frac {sin B}{sin b}}={frac {sin C}{sin c}}}

Al aplicar un razonamiento similar, obtenemos la ley esférica del seno:

{displaystyle {frac {sin A}{sin a}}={frac {sin B}{sin b}}={frac {sin C}{sin c}}}

Otras pruebas

Una prueba puramente algebraica se puede construir a partir de la ley esférica de los cosines. De la identidad ${displaystyle sin ^{2}A=1-cos ^{2}A}$ y la expresión explícita $cos A$ de la ley esférica de los cosines

{displaystyle {begin{aligned}sin ^{2}!A&=1-left({frac {cos a-cos b,cos c}{sin b,sin c}}right)^{2}\&={frac {left(1-cos ^{2}!bright)left(1-cos ^{2}!cright)-left(cos a-cos b,cos cright)^{2}}{sin ^{2}!b,sin ^{2}!c}}\[8pt]{frac {sin A}{sin a}}&={frac {left[1-cos ^{2}!a-cos ^{2}!b-cos ^{2}!c+2cos acos bcos cright]^{1/2}}{sin asin bsin c}}.end{aligned}}}

a,;b,;c

La figura utilizada en la prueba geométrica anterior es utilizada y proporcionada por Banerjee (consulte la Figura 3 en este documento) para derivar la ley del seno mediante álgebra lineal elemental y matrices de proyección.

Caso hiperbólico

En geometría hiperbólica cuando la curvatura es −1, la ley de los senos se convierte en

{displaystyle {frac {sin A}{sinh a}}={frac {sin B}{sinh b}}={frac {sin C}{sinh c}},.}

En el caso especial cuando $B$ es un ángulo recto, se obtiene

{displaystyle sin C={frac {sinh c}{sinh b}}}

que es el análogo de la fórmula en geometría euclidiana que expresa el seno de un ángulo como el lado opuesto dividido por la hipotenusa.

El caso de las superficies de curvatura constante

Define una función seno generalizada, dependiendo también de un parámetro real $K$ :

{displaystyle sin _{K}x=x-{frac {Kx^{3}}{3!}}+{frac {K^{2}x^{5}}{5!}}-{frac {K^{3}x^{7}}{7!}}+cdots.}

La ley de los senos en curvatura constante $K$ se lee como

{displaystyle {frac {sin A}{sin _{K}a}}={frac {sin B}{sin _{K}b}}={frac {sin C}{sin _{K}c}},.}

Sustituyendo $K = 0$ , $K = 1$ , y $K = -1$ , se obtienen respectivamente los casos euclidiano, esférico e hiperbólico de la ley de los senos descritos anteriormente.

Sea $p K (r)$ indicar la circunferencia de un círculo de radio $r$ en un espacio de curvatura constante $K . Entonces p K (r) = 2 π sin K r . Por lo tanto, la ley de los senos también se puede expresar como:$

{displaystyle {frac {sin A}{p_{K}(a)}}={frac {sin B}{p_{K}(b)}}={frac {sin C}{p_{K}(c)}},.}

Esta formulación fue descubierta por János Bolyai.

Dimensiones superiores

Para un símplex $n$ -dimensional (es decir, triángulo ( $n = 2$ ), tetraedro ( $n = 3$ ), pentátopo ( $n = 4$ ), etc.) en un espacio euclidiano $n$ -dimensional, el valor absoluto del seno polar ( $psin$ ) de los vectores normales de las facetas que se encuentran en un vértice, dividido por la hiperárea de la faceta opuesta al vértice es independiente de la elección del vértice. Escribir $V$ para el hipervolumen del símplex $n$ -dimensional y $P$ para el producto de las hiperáreas de su $(n - 1)$ -facetas dimensionales, la razón común es

{displaystyle {frac {(nV)^{n-1}}{(n-1)!P}}.}

Por ejemplo, un tetraedro tiene cuatro facetas triangulares. El valor absoluto del seno polar de los vectores normales a las tres facetas que comparten un vértice, dividido por el área de la cuarta faceta, no dependerá de la elección del vértice:

{displaystyle {begin{aligned}&{frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{2}}mathbf {n_{3}}mathbf {n_{4}})right|}{mathrm {Area} _{1}}}={frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{1}}mathbf {n_{3}}mathbf {n_{4}})right|}{mathrm {Area} _{2}}}={frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{1}}mathbf {n_{2}}mathbf {n_{4}})right|}{mathrm {Area} _{3}}}={frac {left|operatorname {psin} (mathbf {n_{1}}mathbf {n_{2}}mathbf {n_{3}})right|}{mathrm {Area} _{4}}}\[4pt]={}&{frac {(3operatorname {Volume} _{mathrm {tetrahedron} })^{2}}{2!~mathrm {Area} _{1}mathrm {Area} _{2}mathrm {Area} _{3}mathrm {Area} _{4}}},.end{aligned}}}

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