Ley de las tangentes

En trigonometría, la ley de las tangentes o regla de la tangente es un enunciado sobre la relación entre las tangentes de dos ángulos de un triángulo y las longitudes de los lados opuestos.

En la Figura 1, a, b y c son las longitudes de los tres lados del triángulo, y α, β y γ son los ángulos opuesto a esos tres lados respectivos. La ley de las tangentes establece que

a− − ba+b=#⁡ ⁡ 12()α α − − β β )#⁡ ⁡ 12()α α +β β ).{fnMicroc} {fnMicroc {tfrac {}{2}(alpha -beta)}{tan {tfrac {1} {2}} {alpha +beta)}}}}}}} {fnMicroc {c} {cH0}}}}} {cH0}}}} {b}} {b}}}}}}}} {b}}}}}}} {b} {b}}}}}} {b} {cccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccH0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

La ley de las tangentes, aunque no tan comúnmente conocida como la ley de los senos o la ley de los cosenos, es equivalente a la ley de los senos, y se puede usar en cualquier caso donde dos lados y el ángulo incluido, o dos ángulos y un lado, son conocidos.

Prueba

Para probar la ley de las tangentes se puede empezar con la ley de los senos:

apecado⁡ ⁡ α α =bpecado⁡ ⁡ β β .{displaystyle {frac}{sin alpha {fnMicroc {b}{sin beta }}

Dejar

d=apecado⁡ ⁡ α α =bpecado⁡ ⁡ β β {displaystyle d={frac {a}{sin alpha {fnMicroc {b}{sin beta }

para que

a=dpecado⁡ ⁡ α α yb=dpecado⁡ ⁡ β β .{displaystyle a=dsin alpha quad {text{and}quad b=dsin beta.}

Se sigue que

a− − ba+b=dpecado⁡ ⁡ α α − − dpecado⁡ ⁡ β β dpecado⁡ ⁡ α α +dpecado⁡ ⁡ β β =pecado⁡ ⁡ α α − − pecado⁡ ⁡ β β pecado⁡ ⁡ α α +pecado⁡ ⁡ β β .{fnMicroc} {a-b}{a+b}={frac} {dsin alpha -dsin beta }{dsin alpha +dsin beta }={frac {sin alpha -sin beta }{sin alpha +sin beta }}

Usando la identidad trigonométrica, la fórmula factorial para senos específicamente

pecado⁡ ⁡ α α ± ± pecado⁡ ⁡ β β =2pecado⁡ ⁡ 12()α α ± ± β β )#⁡ ⁡ 12()α α ∓ ∓ β β ),{displaystyle sin alpha pm sin beta =2sin {tfrac {1}{2} {alpha pm beta),cos {tfrac {1} {2} {alpha mp beta),}}}

obtenemos

a− − ba+b=2pecado⁡ ⁡ 12()α α − − β β )#⁡ ⁡ 12()α α +β β )2pecado⁡ ⁡ 12()α α +β β )#⁡ ⁡ 12()α α − − β β )=pecado⁡ ⁡ 12()α α − − β β )#⁡ ⁡ 12()α α − − β β )/pecado⁡ ⁡ 12()α α +β β )#⁡ ⁡ 12()α α +β β )=#⁡ ⁡ 12()α α − − β β )#⁡ ⁡ 12()α α +β β ).{fnMicroc} {a-b}{a+b}={frac} {2c} {c} {c} {c} {c}} {c}} {c} {c} {c} {c}} {c} {c}} {c} {c} {cc}cc} {cc} {ccc}cccc}ccccccc}}ccccc}cccccccccccccccccH00}cccccccccccccccH00}}}ccccccccccccH00}}cH00}}cccccccccccccc Bigg /}{frac {tfrac {1}{2} {alpha +beta)}{cos {1}{2} {alpha +beta)}=frac {tan {tfrac {1}{2}} {alpha -beta)}{tan {tfrac} {tfrac} {} {}}}} {} {}}}}}}}}}}}}} {}}}}} {}}}}}} {}}} {}}}}}}}}} {}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}} {

Como alternativa al uso de la identidad para la suma o diferencia de dos senos, se puede citar la identidad trigonométrica

#⁡ ⁡ 12()α α ± ± β β )=pecado⁡ ⁡ α α ± ± pecado⁡ ⁡ β β #⁡ ⁡ α α +#⁡ ⁡ β β {displaystyle tan {tfrac {1}{2}}(alpha pm beta)={frac {sin alpha pm sin beta }{cos alpha +cos beta }

(ver fórmula de medio ángulo tangente).

Solicitud

La ley de las tangentes se puede usar para calcular el lado faltante y los ángulos de un triángulo en el que dos lados a y b y el ángulo encerrado γ se dan. De

#⁡ ⁡ 12()α α − − β β )=a− − ba+b#⁡ ⁡ 12()α α +β β )=a− − ba+bcot⁡ ⁡ 12γ γ {displaystyle tan {tfrac {2} {alpha -beta)={frac {a-b}{a-+b}tan {tfrac {1}{2} {alpha +beta)={frac {a-b}{a+b} {fnMicroc {1} {fnK}gnK}}gnK}

uno puede calcular α − β; junto con α + β = 180° − γ esto produce α y β; el lado restante c se puede calcular usando la ley de los senos. Antes de que estuvieran disponibles las calculadoras electrónicas, este método era preferible a una aplicación de la ley de los cosenos c = √a² + b² − 2ab porque γ, ya que esta última ley requería una búsqueda adicional en una tabla de logaritmos para calcular la raíz cuadrada. En los tiempos modernos, la ley de las tangentes puede tener mejores propiedades numéricas que la ley de los cosenos: si γ es pequeño y a y b son casi iguales, entonces una aplicación de la ley de los cosenos conduce a una resta de valores casi iguales, incurriendo en una cancelación catastrófica.

Versión esférica

En una esfera de radio unidad, los lados del triángulo son arcos de grandes círculos. En consecuencia, sus longitudes se pueden expresar en radianes o en cualquier otra unidad de medida angular. Sean A, B, C sean los ángulos en los tres vértices del triángulo y sea a, b, c las longitudes respectivas de los lados opuestos. La ley esférica de las tangentes dice

#⁡ ⁡ 12()A− − B)#⁡ ⁡ 12()A+B)=#⁡ ⁡ 12()a− − b)#⁡ ⁡ 12()a+b).{fnMicroc {fnMicroc {1}} {fnMicroc} {tan {tfrac {1} {c} {fn0}}} {fnMicroc {tan {tfrac}{2} {} {c} {c} {c} {cH00} {c}} {c}}}} {c}}}}} {c}}}} {c}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}}} {c}}}} {c}}}} {c}}}}}}}}}} {c}}}}} {b} {b}}}} {b}}} {c}}}} {b}}} {cc}}}}}}}}} {b}}}}}}}}} {b}}}}}}}} {c}}}}}}}}

Historia

La ley de las tangentes para triángulos planos fue descrita en el siglo XI por Ibn Muʿādh al-Jayyānī.

La ley de las tangentes para triángulos esféricos fue descrita en el siglo XIII por el matemático persa Nasir al-Din al-Tusi (1201–1274), quien también presentó la ley de los senos para triángulos planos en su obra de cinco volúmenes Tratado del Cuadrilátero.