Ley de las cotangentes

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

En trigonometría, la ley de las cotangentes es una relación entre las longitudes de los lados de un triángulo y las cotangentes de las mitades de los tres ángulos. Esto también se conoce como el Teorema de Cot.

Así como tres cantidades cuya igualdad expresa la ley de los senos son iguales al diámetro de la circunferencia circunscrita del triángulo (o a su recíproco, según se exprese la ley), así también la ley de las cotangentes relaciona el radio de la circunferencia inscrita de un triángulo (el inradio) a sus lados y ángulos.

Declaración

Usando las notaciones habituales para un triángulo (ver la figura en la parte superior derecha), donde a, b, c son las longitudes de los tres lados, A, B, C son los vértices opuestos a esos tres lados respectivos, α, β, γ son los ángulos correspondientes en esos vértices, s es el semiperímetro, es decir, s =a + b + c/2, y r es el radio de la circunferencia inscrita, la ley de las cotangentes establece que ${displaystyle {frac {cot left({tfrac {alpha }{2}}right)}{sa}}={frac {cot left({tfrac {beta}{2 }}right)}{sb}}={frac {cot left({tfrac {gamma}{2}}right)}{sc}}={frac {1}{r}} ,}$

y además que el inradius está dado por $r={sqrt {frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}},.$

Prueba

En la figura superior, los puntos de tangencia de la circunferencia inscrita con los lados del triángulo rompen el perímetro en 6 segmentos, en 3 pares. En cada par los segmentos tienen la misma longitud. Por ejemplo, los 2 segmentos adyacentes al vértice A son iguales. Si tomamos un segmento de cada par, su suma será el semiperímetro s. Un ejemplo de esto son los segmentos que se muestran en color en la figura. Los dos segmentos que forman la línea roja suman a , por lo que el segmento azul debe tener una longitud de s − a. Obviamente, los otros cinco segmentos también deben tener longitudes s − a, s − b, o s − c, como se muestra en la figura inferior.

Por inspección de la figura, usando la definición de la función cotangente, tenemos ${displaystyle cot left({frac {alpha }{2}}right)={frac {sa}{r}},}$

y análogamente para los otros dos ángulos, probando la primera afirmación.

Para la segunda, la fórmula inradius, partimos de la fórmula de suma general: ${displaystyle cot(u+v+w)={frac {cot u+cot v+cot w-cot ucot vcot w}{1-cot ucot v-cot v cot w-cot wcot u}}.}$

Aplicar a la cuna (α/2+β/2+γ/2) = cunaπ/2= 0, obtenemos: ${displaystyle cot left({frac {alpha }{2}}right)cot left({frac {beta }{2}}right)cot left({frac { gamma }{2}}right)=cot left({frac {alpha }{2}}right)+cot left({frac {beta }{2}}right) +cot left({frac {gamma}{2}}right).}$

(Esta es también la triple identidad cotangente)

Sustituyendo los valores obtenidos en la primera parte, obtenemos: ${displaystyle {frac {(sa)}{r}}{frac {(sb)}{r}}{frac {(sc)}{r}}={frac {sa}{r}} +{frac {sb}{r}}+{frac {sc}{r}}={frac {3s-2s}{r}}={frac {s}{r}}.}$

Multiplicando porr/sda el valor de r, demostrando la segunda afirmación.

Algunas demostraciones usando la ley de las cotangentes

Se pueden derivar otros resultados de la ley de las cotangentes.

Fórmula de Garza. Tenga en cuenta que el área del triángulo ABC también se divide en 6 triángulos más pequeños, también en 3 pares, y los triángulos de cada par tienen la misma área. Por ejemplo, los dos triángulos cerca del vértice A, siendo triángulos rectángulos de ancho s − a y altura r, cada uno tiene un área de1/2r (s - un). Entonces, esos dos triángulos juntos tienen un área de r (s − a), y el área S del triángulo completo es, por lo tanto, ${displaystyle S=r(sa)+r(sb)+r(sc)=r{bigl (}3s-(a+b+c){bigr)}=r(3s-2s)=rs}$ Esto da el resultado ${displaystyle S={sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}}$ según sea necesario.
Primera fórmula de Mollweide. De la fórmula de la suma y la ley de las cotangentes tenemos ${displaystyle {frac {sin left({tfrac {alpha }{2}}-{tfrac {beta }{2}}right)}{sin left({tfrac { alfa {2}}+{tfrac {beta }{2}}right)}}={frac {cot left({tfrac {beta }{2}}right)-cot left({tfrac {alpha }{2}}right)}{cot left({tfrac {beta }{2}}right)+cot left({tfrac {alpha {2}}right)}}={frac {ab}{2s-ab}}.}$ Esto da el resultado ${displaystyle {dfrac {ab}{c}}={dfrac {sin left({tfrac {alpha }{2}}-{tfrac {beta}{2}}right)} {cos left({tfrac {gamma}{2}}right)}}}$ según sea necesario.
Segunda fórmula de Mollweide. De la fórmula de la suma y la ley de las cotangentes tenemos ${displaystyle {begin{alineado}&{frac {cos left({tfrac {alpha }{2}}-{tfrac {beta }{2}}right)}{cos izquierda({tfrac {alpha }{2}}+{tfrac {beta }{2}}right)}}={frac {cot left({tfrac {alpha }{2} }right)cot left({tfrac {beta }{2}}right)+1}{cot left({tfrac {alpha }{2}}right)cot left ({tfrac {beta }{2}}right)-1}}\[6pt]={}&{frac {cot left({tfrac {alpha }{2}}right)+cot left({tfrac {beta}{2}}right)+2cot left({tfrac {gamma}{2}}right)}{cot left({ tfrac {alpha }{2}}right)+cot left({tfrac {beta }{2}}right)}}={frac {4s-ab-2c}{2s-ab }}.end{alineado}}}$ Aquí, se requiere un paso adicional para transformar un producto en una suma, según la fórmula suma/producto.Esto da el resultado ${displaystyle {dfrac {b+a}{c}}={dfrac {cos left({tfrac {alpha }{2}}-{tfrac {beta }{2}}right)}{sin left({tfrac {gamma}{2}}right)}}}$ según sea necesario.
La ley de las tangentes también se puede derivar de esto (Silvester 2001, p. 99).

Contenido relacionado

Más resultados...