Ley de la tricotomía

En matemáticas, la ley de la tricotomía establece que todo número real es positivo, negativo o cero.

De manera más general, una relación binaria R en un conjunto X es tricotómica si para todo x y y en X, exactamente uno de xRy, yRx y x =  y aguanta. Escribiendo R como <, esto se expresa en lógica formal como:

<math alttext="{displaystyle forall xin X,forall yin X,([x<y,land ,lnot (y<x),land ,lnot (x=y)],lor ,[lnot (x<y),land ,y<x,land ,lnot (x=y)],lor ,[lnot (x<y),land ,lnot (yО О x▪ ▪ XО О Sí.▪ ▪ X()[x.Sí.∧ ∧ ¬ ¬ ()Sí..x)∧ ∧ ¬ ¬ ()x=Sí.)]Alternativa Alternativa [¬ ¬ ()x.Sí.)∧ ∧ Sí..x∧ ∧ ¬ ¬ ()x=Sí.)]Alternativa Alternativa [¬ ¬ ()x.Sí.)∧ ∧ ¬ ¬ ()Sí..x)∧ ∧ x=Sí.]).{displaystyle forall xin X,forall yin X,(xtraducido,land ,lnot (y escrito),land ,lnot (x=y)],lor ,[lnot (xtraducido),land ,y identificadox,land ,lnot (x=y)],lor ,[lnoty]<img alt="{displaystyle forall xin X,forall yin X,([x<y,land ,lnot (y<x),land ,lnot (x=y)],lor ,[lnot (x<y),land ,y<x,land ,lnot (x=y)],lor ,[lnot (x<y),land ,lnot (y

Propiedades

• Una relación es tricotópica si, y sólo si, es asimétrica y conectada.
• Si una relación tricotópica es también transitiva, entonces es un orden total estricto; este es un caso especial de un orden débil estricto.

Ejemplos

• En el set X =a,b,c}, la relación R = {}a,b), (a,c), (b,c) es transitivo y tricotómico, y por lo tanto un estricto orden total.
• En el mismo conjunto, la relación cíclica R = {}a,b), (b,c), (c,a) es tricotómico, pero no transitivo; es incluso antitransitivo.

Tricotomía en números

Una ley de tricotomía en algún conjunto X de números generalmente expresa que alguna relación de orden dada tácitamente en X es tricotómica. Un ejemplo es la ley "Para números reales arbitrarios x y y, exactamente uno de x < y, y < x, o x = y se aplica"; algunos autores incluso fijan y en cero, basándose en la estructura de grupo aditiva y ordenada linealmente de los números reales. Este último es un grupo dotado de un orden tricotómico.

En lógica clásica, este axioma de tricotomía se aplica a comparaciones ordinarias entre números reales y, por tanto, también a comparaciones entre números enteros y entre números racionales. La ley no se cumple en general en la lógica intuicionista.

En la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel y la teoría de conjuntos de Bernays, la ley de la tricotomía se cumple entre los números cardinales de conjuntos bien ordenables incluso sin el axioma de elección. Si se cumple el axioma de elección, entonces la tricotomía se cumple entre números cardinales arbitrarios (porque en ese caso todos son bien ordenables).