Ley de gauss

La ley de Gauss en su forma integral es muy útil cuando, por razones de simetría, se puede encontrar una superficie cerrada (SG) a lo largo de la cual el campo eléctrico es uniforme. El flujo eléctrico es entonces un producto simple de la superficie y la fuerza del campo eléctrico, y es proporcional a la carga total encerrada por la superficie. Aquí, el campo eléctrico fuera (r■R) y dentro (r.R) de una esfera cargada se está calculando (ver Wikiversity).

En física y electromagnetismo, la ley de Gauss, también conocida como teorema del flujo de Gauss, (o a veces simplemente llamada ley de Gauss teorema) es una ley que relaciona la distribución de carga eléctrica con el campo eléctrico resultante. En su forma integral, establece que el flujo del campo eléctrico que sale de una superficie cerrada arbitraria es proporcional a la carga eléctrica encerrada por la superficie, independientemente de cómo se distribuya esa carga. Aunque la ley por sí sola es insuficiente para determinar el campo eléctrico a través de una superficie que encierra cualquier distribución de carga, esto puede ser posible en los casos en que la simetría exige la uniformidad del campo. Donde no existe tal simetría, la ley de Gauss se puede utilizar en su forma diferencial, que establece que la divergencia del campo eléctrico es proporcional a la densidad local de carga.

La ley fue formulada por primera vez por Joseph-Louis Lagrange en 1773, seguido por Carl Friedrich Gauss en 1835, ambos en el contexto de la atracción de elipsoides. Es una de las cuatro ecuaciones de Maxwell, que constituye la base de la electrodinámica clásica. La ley de Gauss se puede utilizar para derivar la ley de Coulomb y viceversa.

Descripción cualitativa

En palabras, la ley de Gauss establece:

El flujo eléctrico neto a través de cualquier superficie cerrada hipotética es igual a 1/ε₀ veces la carga eléctrica neta encerrada dentro de esa superficie cerrada. La superficie cerrada también se conoce como superficie Gaussiana.

La ley de Gauss tiene una gran similitud matemática con varias leyes de otras áreas de la física, como la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de Gauss para la gravedad. De hecho, cualquier ley del cuadrado inverso se puede formular de manera similar a la ley de Gauss: por ejemplo, la ley de Gauss en sí es esencialmente equivalente a la ley de Coulomb, y la ley de Gauss es equivalente a la de Coulomb. La ley de la gravedad de Newton es esencialmente equivalente a la ley de la gravedad de Newton, ambas leyes del inverso del cuadrado.

La ley se puede expresar matemáticamente usando cálculo vectorial en forma integral y forma diferencial; ambos son equivalentes ya que están relacionados por el teorema de la divergencia, también llamado teorema de Gauss. Cada una de estas formas a su vez también se puede expresar de dos maneras: en términos de una relación entre el campo eléctrico E y la carga eléctrica total, o en términos del campo de desplazamiento eléctrico D y la carga eléctrica libre.

Ecuación que involucra el campo E

La ley de Gauss se puede establecer usando el campo eléctrico E o el campo de desplazamiento eléctrico D. Esta sección muestra algunos de los formularios con E; el formulario con D está debajo, al igual que otros formularios con E.

Forma integral

El flujo eléctrico a través de una superficie arbitraria es proporcional a la carga total encerrada por la superficie.

La esfera no tiene carga. El flujo eléctrico a través de su superficie es cero.

La ley de Gauss se puede expresar como:

$${displaystyle Phi ¿Qué? {Q}{varepsilon ♪♪$$

donde Φ_E es el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada S que encierra cualquier volumen V, Q es la carga total encerrada dentro de V, y ε₀ es la constante eléctrica. El flujo eléctrico Φ_E se define como una integral de superficie del campo eléctrico:

${displaystyle Phi _{E}=$ ${displaystyle scriptstyle ¿Qué?$ ${displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {A}$

donde E es el campo eléctrico, dA es un vector que representa un elemento infinitesimal del área de la superficie, y · representa el producto escalar de dos vectores.

En un espacio-tiempo curvo, el flujo de un campo electromagnético a través de una superficie cerrada se expresa como

${displaystyle Phi _{E}=c}$ ${displaystyle scriptstyle ¿Qué?$ ${displaystyle F^{kappa # {fnMicrosoft # {-g},mathrm {d} S_{kappa }$

Donde ${displaystyle c}$ es la velocidad de la luz; ${displaystyle F^{kappa #$ denota los componentes del tiempo del tensor electromagnético; ${displaystyle g}$ es el determinante del tensor métrico; ${displaystyle mathrm {d} S_{kappa }=mathrm {d} S^{ij}=mathrm {d} x^{i}mathrm {d} x^{j}$ es un elemento ortonormal de la superficie bidimensional que rodea la carga ${displaystyle Q}$; índices ${displaystyle i,j,kappa =1,2,3}$ y no coincidan entre sí.

Dado que el flujo se define como una integral del campo eléctrico, esta expresión de la ley de Gauss se denomina forma integral.

Una pequeña caja de Gauss cuyos lados son perpendiculares a la superficie de un conductor se utiliza para encontrar la carga de superficie local una vez que el potencial eléctrico y el campo eléctrico se calculan resolviendo la ecuación de Laplace. El campo eléctrico es perpendicular, localmente, a la superficie del conductor y cero dentro; su flujo πa²·E, por la ley de Gauss igual πa²·σ/ε₀. Así, σ = ε₀E.

En problemas que involucran conductores establecidos a potenciales conocidos, el potencial que se aleja de ellos se obtiene resolviendo la ecuación de Laplace, ya sea analítica o numéricamente. Luego, el campo eléctrico se calcula como el gradiente negativo del potencial. La ley de Gauss permite encontrar la distribución de la carga eléctrica: la carga en cualquier región dada del conductor se puede deducir integrando el campo eléctrico para encontrar el flujo a través de una pequeña caja cuyos lados son perpendiculares al conductor. 39;s superficie y observando que el campo eléctrico es perpendicular a la superficie, y cero dentro del conductor.

El problema inverso, cuando se conoce la distribución de la carga eléctrica y se debe calcular el campo eléctrico, es mucho más difícil. El flujo total a través de una superficie dada da poca información sobre el campo eléctrico y puede entrar y salir de la superficie en patrones arbitrariamente complicados.

Una excepción es si hay alguna simetría en el problema, lo que exige que el campo eléctrico pase a través de la superficie de manera uniforme. Entonces, si se conoce el flujo total, el campo mismo se puede deducir en cada punto. Los ejemplos comunes de simetrías que se prestan a la ley de Gauss incluyen: simetría cilíndrica, simetría plana y simetría esférica. Consulte el artículo Superficie gaussiana para ver ejemplos en los que se explotan estas simetrías para calcular campos eléctricos.

Forma diferencial

Por el teorema de la divergencia, la ley de Gauss se puede escribir alternativamente en la forma diferencial:

$${displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon _{0}varepsilon ♪♪$$

Donde . E es la divergencia del campo eléctrico, ε₀ es la autorización de vacío, ${displaystyle varepsilon _{r}$ es la relativa autorización, y *** es la densidad de carga de volumen (carga por volumen de unidad).

Equivalencia de formas integrales y diferenciales

Las formas integral y diferencial son matemáticamente equivalentes, por el teorema de la divergencia. Aquí está el argumento más específicamente.

Esquema de la prueba

La forma integral de la ley de Gauss es:

${displaystyle {scriptstyle - Sí.$ ${displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {A}$${displaystyle ={frac}{varepsilon ♪♪$

para cualquier superficie cerrada S carga que contiene Q. Por el teorema de divergencia, esta ecuación equivale a:

$${displaystyle iiint _{V}nabla cdot mathbf V={frac} {Q}{varepsilon ♪♪$$

para cualquier volumen V carga que contiene Q. Por la relación entre la densidad de carga y carga, esta ecuación equivale a:

$${displaystyle iiint _{V}nabla cdot mathbf V=iiint ¿Qué? ¿Qué? V.$$

para cualquier volumen V. Para que esta ecuación sea simultáneamente verdadero para cada uno volumen posible V, es necesario (y suficiente) que los integrantes sean iguales en todas partes. Por lo tanto, esta ecuación equivale a:

$${displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho }{varepsilon - Sí.$$

Así las formas integrales y diferenciales son equivalentes.

Ecuación que involucra el campo D

Cobro gratuito, encuadernado y total

La carga eléctrica que surge en las situaciones más sencillas de los libros de texto se clasificaría como "carga libre"; por ejemplo, la carga que se transfiere en forma de electricidad estática o la carga en una placa de capacitor. Por el contrario, el "cargo vinculado" surge solo en el contexto de materiales dieléctricos (polarizables). (Todos los materiales son polarizables hasta cierto punto). Cuando dichos materiales se colocan en un campo eléctrico externo, los electrones permanecen unidos a sus respectivos átomos, pero cambian una distancia microscópica en respuesta al campo, de modo que están más en un lado del átomo que el otro. Todos estos desplazamientos microscópicos se suman para dar una distribución de carga neta macroscópica, y esto constituye la "carga ligada".

Aunque microscópicamente todas las cargas son fundamentalmente iguales, a menudo existen razones prácticas para querer tratar la carga ligada de forma diferente a la carga gratuita. El resultado es que la ley de Gauss más fundamental, en términos de E (arriba), a veces se pone en la forma equivalente a continuación, que es en términos de D y el cargo gratuito únicamente.

Forma integral

Esta formulación de la ley de Gauss establece la forma de carga total:

$${displaystyle Phi ¿Qué?$$

donde Φ_D es el flujo de campo D a través de una superficie estilo S que encierra un volumen V, y Q_gratis es el cargo gratuito contenido en V< /lapso>. El flujo Φ_D se define de manera análoga al flujo Φ_E del campo eléctrico E hasta S:

${displaystyle Phi _{D}=}$ ${displaystyle {scriptstyle - Sí.$ ${displaystyle mathbf {D} cdot mathrm {d} mathbf {A}$

Forma diferencial

La forma diferencial de la ley de Gauss, que implica solo carga gratuita, establece:

$${displaystyle nabla cdot mathbf {D} =rho _{mathrm {free}}$$

donde ∇ · D es la divergencia del campo de desplazamiento eléctrico, y ρ_free es la densidad de carga eléctrica libre.

Equivalencia de estados de cuenta totales y gratuitos

Prueba de que las formulaciones de la ley de Gauss en términos de libre cargo son equivalentes a las formulaciones que implican una carga total.

En esta prueba, demostraremos que la ecuación

$${displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={dfrac {rho }{varepsilon ♪♪$$

es equivalente a la ecuación

$${displaystyle nabla cdot mathbf {D} =rho _{mathrm {free}}$$

Tenga en cuenta que sólo estamos tratando con las formas diferenciales, no las formas integrales, pero eso es suficiente ya que las formas diferenciales e integrales son equivalentes en cada caso, por el teorema de divergencia.

Presentamos la densidad de polarización P, que tiene la siguiente relación con E y D:

$${displaystyle mathbf {D} = 'varepsilon ♪♪Mathbf {E} +mathbf {P}$$

y la siguiente relación con la carga atada:

$${displaystyle rho _{mathrm {bound} }=-nabla cdot mathbf {P}$$

Ahora, considere las tres ecuaciones:

$${displaystyle {begin{aligned}rho _{mathrm {bound} } {=nabla cdot (-mathbf {P})\\rho _{mathrm {free} } {=nabla cdot mathbfff {D} \\rho 'nabla cdot (varepsilon _{0}mathbf {E}end{aligned}}}$$

La idea clave es que la suma de las dos primeras ecuaciones es la tercera ecuación. Esto completa la prueba: La primera ecuación es verdadera por definición, y por lo tanto la segunda ecuación es verdadera si y sólo si la tercera ecuación es verdadera. Así que las ecuaciones segunda y tercera son equivalentes, lo que es lo que queríamos probar.

Ecuación para materiales lineales

En materiales homogéneos, isotrópicos, no dispersivos y lineales, existe una relación simple entre E y D:

$${displaystyle mathbf {D} =varepsilon mathbf {E}$$

donde ε es la permitividad del material. Para el caso del vacío (también conocido como espacio libre), ε = ε₀. Bajo estas circunstancias, la ley de Gauss se modifica a

$${displaystyle Phi _{E}={frac {Q_{mathrm {free}{varepsilon }$$

para la forma integral, y

$${displaystyle nabla cdot mathbf {E} ={frac {rho _{mathrm {free}}{varepsilon }$$

para la forma diferencial.

Interpretaciones

En términos de campos de fuerza

El teorema de Gauss se puede interpretar en términos de las líneas de fuerza del campo de la siguiente manera:

El flujo a través de una superficie cerrada depende tanto de la magnitud como de la dirección de las líneas de campo eléctrico que penetran en la superficie. En general, un flujo positivo se define por estas líneas que salen de la superficie y un flujo negativo por las líneas que entran en esta superficie. Esto da como resultado cargas positivas que generan un flujo positivo y cargas negativas que crean un flujo negativo. Estas líneas de campo eléctrico se extenderán hasta el infinito, disminuyendo su fuerza en un factor de uno sobre la distancia desde la fuente de la carga al cuadrado. Cuanto mayor sea el número de líneas de campo que emanan de una carga, mayor será la magnitud de la carga, y cuanto más juntas estén las líneas de campo, mayor será la magnitud del campo eléctrico. Esto tiene el resultado natural de que el campo eléctrico se vuelve más débil a medida que uno se aleja de una partícula cargada, pero el área de la superficie también aumenta, de modo que el campo eléctrico neto que sale de esta partícula permanecerá igual. En otras palabras, la integral cerrada del campo eléctrico y el producto escalar de la derivada del área serán iguales a la carga neta encerrada dividida por la permitividad del espacio libre.

Relación con la ley de Coulomb

Derivar la ley de Gauss a partir de la ley de Coulomb

Estrictamente hablando, la ley de Gauss no puede derivarse solo de la ley de Coulomb, ya que la ley de Coulomb proporciona el campo eléctrico debido a una carga puntual electrostática individual únicamente. Sin embargo, la ley de Gauss puede demostrarse a partir de la ley de Coulomb si se supone, además, que el campo eléctrico obedece al principio de superposición. El principio de superposición establece que el campo resultante es la suma vectorial de los campos generados por cada partícula (o la integral, si las cargas se distribuyen uniformemente en el espacio).

Esquema de la prueba

La ley de Coulomb establece que el campo eléctrico debido a una carga fija es:

$${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r}={frac {q}{4pi} varepsilon {fnK} {fnMicroc {fnMicrosoft} ¿Qué?$$

Donde

• e_r es el vector de unidad radial,
• r es el radio, SilenciorSilencio,
• ε₀ es la constante eléctrica,
• q es la carga de la partícula, que se supone que se encuentra en el origen.

Usando la expresión de la ley de Coulomb, obtenemos el campo total en r utilizando una integral para resumir el campo r debido a la carga infinitesimal uno en otro punto s en el espacio, para dar

$${displaystyle mathbf {E} {f}={frac {1}{4pi varepsilon _{0}}}int {frac {rho (mathbf { s})(mathbf {r} -mathbf {s})} {f}} {f}} {f}}}} {f}}}}f}}} {f}}f}}}}f}}}}}f} {f}f}}}}}} {f} {f} {f}}}}}f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}} {f}f} {f} {f}f}f} {f} {f}}f}}}f}}}}}}f}f}}}}}}}}}}}} - 'Mathbf {s} 'Mathbf {s} '$$

Donde *** es la densidad de carga. Si tomamos la divergencia de ambos lados de esta ecuación con respecto a r, y utilizar el teorema conocido

$${displaystyle nabla cdot left({frac {mathbf {r} {}{ Anteriormathbf {r} }}}right)=4pi delta (mathbf {r})}}}}}$$

Donde δ()r) es la función Dirac delta, el resultado es

$${displaystyle nabla cdot mathbf {E} {cHFF} {cH00} {cH0} {cH0} {cH0} {cH0}} {cH0} {cH0} {cH0} {cH0} {cH0} {cH0} {cH0} {cH00}}} {cH0}}} {cH0}}} {cH0} {cH0} {cH00} {cH00}} {cH00}}}} {cH0} {cH00} {cH00} {cH00}}}}}}}} {cH00} {cH00} {cH00} {cH00} {cH00}} {cH00} {cH00} {cH00}} {cH0} {cH00} {ccH00}} {cH00}}} {cH00} ¿Por qué?$$

Usando la "propiedad" de la función Dirac delta, llegamos a

$${displaystyle nabla cdot mathbf {E} (mathbf {r})={frac {rho (mathbf {r})}{varepsilon ♪♪$$

que es la forma diferencial de la ley de Gauss, como se desea.

Dado que la ley de Coulomb solo se aplica a las cargas estacionarias, no hay razón para esperar que la ley de Gauss se cumpla para las cargas en movimiento basándose únicamente en esta derivación. De hecho, la ley de Gauss se cumple para cargas en movimiento y, en este sentido, la ley de Gauss es más general que la ley de Coulomb.

Prueba (sin Dirac Delta)

Vamos ${displaystyle Omega subseteq R^{3}}$ ser un conjunto abierto atado, y

$${displaystyle mathbf {fn} {fn} {fn} {fn}} {4fnfnh} varepsilon ¿Por qué? - Mathbf {r} ' {leftfnMithbf {r} - Mathbf {r} {fnh} {fnh} {fnh} {fnh}fnh} {fn} {fn} {cc}cccH00cH00}cH00}cH00cH00} {cH00}ccH00}cH00cH00}cH00}cH0}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}cH00}}cH00}}}}cH00} ¿Por qué? {}}$$

ser el campo eléctrico, con ${displaystyle rho (mathbf {r} ')}$ una función continua (densidad de carga).

Es verdad para todos ${displaystyle mathbf {r} neq mathbf {r}$ que ${displaystyle nabla _{mathbf {r} }cdot mathbf {e} (mathbf {r,r'}=0}$.

Considere ahora un conjunto compacto ${displaystyle Vsubseteq R^{3}$ teniendo un borde liso ${displaystyle partial V}$ tales que ${displaystyle Omega cap V=emptyset }$. De ello se desprende que ${displaystyle e(mathbf {r,mathbf {r})in C^{1}(Vtimes Omega)}$ y así, para el teorema de la divergencia:

$${displaystyle oint _{partial V. {E} {S} =int _{V}mathbf {nabla } cdot mathbf ¿Qué?$$

Pero... ${displaystyle e(mathbf {r,mathbf {r})in C^{1}(Vtimes Omega)}$,

$${displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {fn} {fn} {fn} {fn}} {4fnfnh} varepsilon ¿Por qué? Omega }cdot e(mathbf {r,mathbf {r}){mathrm {d} {r} '=0'$$

para el argumento anterior (${displaystyle Omega cap V=emptyset implies forall mathbf {r} in V forall mathbf {r'} in Omega mathbf {r} neq mathbf {r'} }$ y luego ${displaystyle nabla _{mathbf {r} }cdot mathbf {e} (mathbf {r,r'}=0}$)

Por lo tanto el flujo a través de una superficie cerrada generada por alguna densidad de carga externa (la superficie) es nula.

Ahora considere ${displaystyle mathbf {r} _{0}in Omega }$, y ${displaystyle B_{R}(mathbf {r})subseteq Omega }$ como la esfera centrada en ${displaystyle mathbf {r} ¿Qué?$ teniendo ${displaystyle R.$ como radio (existe porque ${displaystyle Omega }$ es un conjunto abierto).

Vamos ${displaystyle mathbf {E} _{B_{R}}$ y ${displaystyle mathbf {E} _{C}$ ser el campo eléctrico creado dentro y fuera de la esfera respectivamente. Entonces,

${displaystyle mathbf {E} ¿Por qué? {1}{4pi varepsilon ################################################################################################################################################################################################################################################################ {}}$, ${displaystyle mathbf {fnMicroc}{4pi} varepsilon ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ {}}$ y ${displaystyle mathbf {E} ¿Por qué? {E} {C}=Mathbf {E}$

$${displaystyle Phi (R)=oint _{partial B_{R}(mathbf {r} _{0})}mathbf {E} _{0}cdot dmathbf {S} =oint _{partial B_{R}(mathbf {r})}mathbf {E} ¿Por qué? ¿Qué? {S} =oint _{partial B_{R}(mathbf {r})}mathbf {E} ¿Por qué? {S}$$

La última igualdad sigue observando que ${displaystyle (Omega setminus B_{R}(mathbf {r} _{0})cap B_{R}(mathbf {r} _{0})=emptyset }$, y el argumento anterior.

El RHS es el flujo eléctrico generado por una esfera cargada, y así:

$${displaystyle Phi (R)={frac {Q(R)}{varepsilon ¿Qué? ¿Por qué? "Mathbf {r}={1}{varepsilon ¿Por qué?$$

con ${displaystyle ¿Qué?$

Donde la última igualdad sigue por el teorema de valor medio para los integrales. Usando el teorema de presión y la continuidad de ${displaystyle rho }$, uno llega a:

$${displaystyle mathbf {nabla } cdot mathbf {E} _{0}(mathbf {r})=lim _{Rto 0}{frac {1}{0} {fn}fnh}}phi (R)={frac {1}{varepsilon ¿Qué?$$

Derivar la ley de Coulomb a partir de la ley de Gauss

Estrictamente hablando, la ley de Coulomb no se puede derivar solo de la ley de Gauss, ya que la ley de Gauss no brinda ninguna información sobre el rotacional de E (ver descomposición de Helmholtz y ley de Faraday). Sin embargo, la ley de Coulomb puede demostrarse a partir de la ley de Gauss si se supone, además, que el campo eléctrico de una carga puntual es esféricamente simétrica (esta suposición, como la de Coulomb& La ley de #39 es exactamente verdadera si la carga está estacionaria y aproximadamente verdadera si la carga está en movimiento).

Esquema de la prueba

Tomando S en la forma integral de la ley de Gauss para ser una superficie esférica de radio r, centrado en el cargo de punto Q, tenemos

$${displaystyle oint _{S}mathbf {E} cdot dmathbf {A} ={frac {Q}{varepsilon ♪♪$$

Con la suposición de la simetría esférica, el integrado es una constante que se puede sacar de la integral. El resultado es

$${displaystyle 4pi r^{2}{hat {mathbf} }cdot mathbf {E} {fn} {fnK} {fnK} {cHFF} {cHFF} {cHFF} {f}} {fn}} {fn}} {fn} {fn} {fn}}} {fn}} {f}}fn}}f}}} {f}f} {f}f}}}}f}f}}f}f}fnf}f}fnf}fn}f}fnfnfnfnfnfn}f}fnf}fnfnfnfnfnfnMitHFF} {fnKf}fnfnfnf}}fnfn}fn}}fnf}fnfn}fnf}}}f}fn ♪♪$$

Donde r̂ es un vector unidad apuntando radialmente lejos de la carga. Otra vez por simetría esférica, E puntos en la dirección radial, y así obtenemos

$${displaystyle mathbf {E} (mathbf {r})={frac {Q}{4pi varepsilon ¿Qué? } {r^{2}}}$$

que es esencialmente equivalente a la ley de Coulomb. Así, la inversa dependencia de la ley del campo eléctrico en la ley de Coulomb se deriva de la ley de Gauss.