Ley de enfriamiento de Newton

En el estudio de la transferencia de calor, la ley de enfriamiento de Newton es una ley física que establece que

La tasa de pérdida de calor de un cuerpo es directamente proporcional a la diferencia en las temperaturas entre el cuerpo y su entorno.

La ley se califica con frecuencia para incluir la condición de que la diferencia de temperatura sea pequeña y la naturaleza del mecanismo de transferencia de calor permanezca igual. Como tal, es equivalente a afirmar que el coeficiente de transferencia de calor, que media entre las pérdidas de calor y las diferencias de temperatura, es una constante.

En la conducción del calor, generalmente se sigue la Ley de Newton como consecuencia de la ley de Fourier. La conductividad térmica de la mayoría de los materiales solo depende débilmente de la temperatura, por lo que generalmente se cumple la condición de coeficiente de transferencia de calor constante. En la transferencia de calor por convección, la Ley de Newton se sigue para el enfriamiento por aire forzado o fluido bombeado, donde las propiedades del fluido no varían mucho con la temperatura, pero solo es aproximadamente cierta para la convección impulsada por flotabilidad, donde la velocidad de el caudal aumenta con la diferencia de temperatura. En el caso de la transferencia de calor por radiación térmica, la ley de enfriamiento de Newton se cumple solo para diferencias de temperatura muy pequeñas.

Cuando se expresa en términos de diferencias de temperatura, la ley de Newton (con varias suposiciones simplificadas adicionales, como un número de Biot bajo y una capacidad calorífica independiente de la temperatura) da como resultado una ecuación diferencial simple que expresa la diferencia de temperatura como función del tiempo. La solución a esa ecuación describe una disminución exponencial de la diferencia de temperatura con el tiempo. Esta disminución característica de la diferencia de temperatura también está asociada con la ley de enfriamiento de Newton.

Antecedentes históricos

Isaac Newton publicó su trabajo sobre el enfriamiento de forma anónima en 1701 como "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & señal" en Philosophical Transactions, volumen 22, número 270.

Newton originalmente no estableció su ley en la forma anterior en 1701. Más bien, usando los términos actuales, Newton notó después de algunas manipulaciones matemáticas que la tasa de cambio de temperatura de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y su entorno. Esta última versión más simple de la ley, dada por el propio Newton, se debió en parte a la confusión en la época de Newton entre los conceptos de calor y temperatura, que no se desentrañarían por completo hasta mucho más tarde.

En 2020, Maruyama y Moriya repitieron los experimentos de Newton con aparatos modernos y aplicaron técnicas modernas de reducción de datos. En particular, estos investigadores tomaron en cuenta la radiación térmica a altas temperaturas (como en el caso de los metales fundidos que usó Newton) y los efectos de flotabilidad en el flujo de aire. En comparación con los datos originales de Newton, concluyeron que sus medidas (de 1692 a 1693) habían sido 'bastante precisas'.

Relación con el mecanismo de enfriamiento

A veces se dice que el enfriamiento por convección se rige por la "ley de enfriamiento de Newton". Cuando el coeficiente de transferencia de calor es independiente, o relativamente independiente, de la diferencia de temperatura entre el objeto y el ambiente, se sigue la ley de Newton. La ley se cumple bien para el aire forzado y el enfriamiento por líquido bombeado, donde la velocidad del fluido no aumenta con el aumento de la diferencia de temperatura. La ley de Newton se obedece más de cerca en el enfriamiento de tipo puramente por conducción. Sin embargo, el coeficiente de transferencia de calor es una función de la diferencia de temperatura en la transferencia de calor por convección natural (impulsada por la flotabilidad). En ese caso, la ley de Newton solo aproxima el resultado cuando la diferencia de temperatura es relativamente pequeña. El propio Newton se dio cuenta de esta limitación.

Dulong y Petit realizaron en 1817 una corrección a la ley de Newton relativa a la convección para diferenciales de temperatura más grandes mediante la inclusión de un exponente. (Estos hombres son más conocidos por su formulación de la ley de Dulong-Petit sobre la capacidad calorífica específica molar de un cristal).

Otra situación que no obedece la ley de Newton es la transferencia de calor por radiación. El enfriamiento radiativo se describe mejor con la ley de Stefan-Boltzmann, en la que la tasa de transferencia de calor varía como la diferencia en las cuartas potencias de las temperaturas absolutas del objeto y de su entorno.

Formulación matemática de la ley de Newton

La declaración de la ley de Newton utilizada en la literatura de transferencia de calor traslada a las matemáticas la idea de que la tasa de pérdida de calor de un cuerpo es proporcional a la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y su entorno. Para un coeficiente de transferencia de calor independiente de la temperatura, la afirmación es:

QÍ Í =hA()T()t)− − Tenv)=hAΔ Δ T()t),{displaystyle {dot {}=hAleft(T(t)-T_{text{env}right)=hA,Delta T(t),}

• QÍ Í {displaystyle { dot {}}} es la tasa de transferencia de calor fuera del cuerpo (unidad SI: watt),
• h{displaystyle h} es el coeficiente de transferencia de calor (supuesto independiente de T y promediado sobre la superficie) (unidad I: W/m²⋅K),
• A{displaystyle A} es la superficie de transferencia de calor (unidad SI: m²),
• T{displaystyle T} es la temperatura de la superficie del objeto (unidad I: K),
• Tenv{displaystyle T_{text{env}} es la temperatura del medio ambiente; es decir, la temperatura convenientemente lejos de la superficie (unidad SI: K),
• Δ Δ T()t)=T()t)− − Tenv{displaystyle Delta T(t)=T(t)-T_{text{env} es la diferencia de temperatura dependiente del tiempo entre el medio ambiente y el objeto (unidad SI: K).

El coeficiente de transferencia de calor h depende de las propiedades físicas del fluido y de la situación física en la que se produce la convección. Por lo tanto, se debe derivar o encontrar experimentalmente un único coeficiente de transferencia de calor utilizable (uno que no varíe significativamente a lo largo de los rangos de diferencia de temperatura cubiertos durante el enfriamiento y el calentamiento) para cada sistema que se va a analizar.

Las fórmulas y las correlaciones están disponibles en muchas referencias para calcular los coeficientes de transferencia de calor para configuraciones y fluidos típicos. Para los flujos laminares, el coeficiente de transferencia de calor suele ser menor que en los flujos turbulentos porque los flujos turbulentos tienen una fuerte mezcla dentro de la capa límite en la superficie de transferencia de calor. Note los cambios en el coeficiente de transferencia de calor en un sistema cuando ocurre una transición de flujo laminar a turbulento.

Formulación simplificada

Al no dimensionalizar, la ecuación diferencial se convierte en

TÍ Í =r()Tenv− − T()t)),{displaystyle {dot}=rleft(T_{text{env}-T(t)right),}

• TÍ Í {displaystyle { dot {}}} es la tasa de pérdida de calor (unidad SI: K/segundo),
• T{displaystyle T} es la temperatura de la superficie del objeto (unidad I: K),
• Tenv{displaystyle T_{text{env}} es la temperatura del medio ambiente; es decir, la temperatura convenientemente lejos de la superficie (unidad SI: K),
• r{displaystyle r} es el coeficiente de transferencia de calor (unidad I: 1/segundo).

Resolviendo el problema de valor inicial usando la separación de variables da

T()t)=Tenv+()T()0)− − Tenv)e− − rt.{displaystyle T(t)=T_{text{env}+(T(0)-T_{text{env}})e^{-rt}

El número de Biot

El número de Biot, una cantidad adimensional, se define para un cuerpo como

Bi=hLCkb,{displaystyle {text{Bi}={frac} {hL_{rm} {C}{k_{rm} ♪ ♪♪

• h = coeficiente de transferencia de calor o coeficiente de transferencia de calor convectivo,
• L_C = longitud característica, que se define comúnmente como el volumen del cuerpo dividido por la superficie del cuerpo, tal que LC=Vcuerpo/Asuperficie{displaystyle L_{rm {C}=V_{text{body}/A_{text{surface}},
• k_b = conductividad térmica del cuerpo.

El significado físico del número de Biot se puede entender imaginando el flujo de calor desde una esfera de metal caliente que se sumerge repentinamente en una piscina hacia el fluido circundante. El flujo de calor experimenta dos resistencias: la primera fuera de la superficie de la esfera y la segunda dentro del metal sólido (que está influenciado tanto por el tamaño como por la composición de la esfera). La relación de estas resistencias es el número de Biot adimensional.

Si la resistencia térmica en la interfaz fluido/esfera supera la resistencia térmica que ofrece el interior de la esfera metálica, el número de Biot será menor que uno. Para sistemas en los que es mucho menor que uno, se puede suponer que el interior de la esfera siempre tiene la misma temperatura, aunque esta temperatura puede cambiar, a medida que el calor pasa a la esfera desde la superficie. La ecuación para describir este cambio en la temperatura (relativamente uniforme) dentro del objeto es la exponencial simple descrita en la ley de enfriamiento de Newton expresada en términos de diferencia de temperatura (ver más abajo).

Por el contrario, la esfera de metal puede ser grande, lo que hace que la longitud característica aumente hasta el punto de que el número de Biot sea mayor que uno. En este caso, los gradientes de temperatura dentro de la esfera se vuelven importantes, aunque el material de la esfera sea un buen conductor. De manera equivalente, si la esfera está hecha de un material térmicamente aislante (pobremente conductor), como madera o espuma de poliestireno, la resistencia interior al flujo de calor excederá la del límite fluido/esfera, incluso con una esfera mucho más pequeña. En este caso, de nuevo, el número de Biot será mayor que uno.

Los valores del número de Biot inferiores a 0,1 implican que la conducción de calor dentro del cuerpo es mucho más rápida que la convección de calor fuera de su superficie, y que los gradientes de temperatura son insignificantes en su interior. Esto puede indicar la aplicabilidad (o inaplicabilidad) de ciertos métodos para resolver problemas de transferencia de calor transitorios. Por ejemplo, un número de Biot inferior a 0,1 generalmente indica que habrá un error de menos del 5% cuando se asume un modelo de capacitancia global de transferencia de calor transitoria (también llamado análisis de sistema global). Por lo general, este tipo de análisis conduce a un comportamiento de calentamiento o enfriamiento exponencial simple (enfriamiento o calentamiento "newtoniano"), ya que la energía interna del cuerpo es directamente proporcional a su temperatura, que a su vez determina la tasa de transferencia de calor. dentro o fuera de ella. Esto conduce a una ecuación diferencial simple de primer orden que describe la transferencia de calor en estos sistemas.

Tener un número de Biot inferior a 0,1 etiqueta una sustancia como "térmicamente delgada" y se puede suponer que la temperatura es constante en todo el volumen del material. Lo contrario también es cierto: un número de Biot superior a 0,1 (una sustancia 'térmicamente espesa') indica que no se puede hacer esta suposición, y ecuaciones de transferencia de calor más complicadas para la 'conducción de calor transitorio' será requerido para describir el campo de temperatura variable en el tiempo y no espacialmente uniforme dentro del cuerpo material. Los métodos analíticos para manejar estos problemas, que pueden existir para formas geométricas simples y conductividad térmica uniforme del material, se describen en el artículo sobre la ecuación del calor.

Aplicación de la ley de enfriamiento transitorio de Newton

Se pueden obtener soluciones simples para el enfriamiento transitorio de un objeto cuando la resistencia térmica interna dentro del objeto es pequeña en comparación con la resistencia a la transferencia de calor fuera de la superficie del objeto (por conducción externa o convección), que es la condición para la cual el número de Biot es inferior a aproximadamente 0,1. Esta condición permite la presunción de una sola temperatura aproximadamente uniforme dentro del cuerpo, que varía con el tiempo pero no con la posición. (De lo contrario, el cuerpo tendría muchas temperaturas diferentes en su interior al mismo tiempo). Esta temperatura única generalmente cambiará exponencialmente a medida que pasa el tiempo (ver más abajo).

La condición de número de Biot bajo conduce al llamado modelo de capacitancia concentrada. En este modelo, la energía interna (la cantidad de energía térmica en el cuerpo) se calcula suponiendo una capacidad calorífica constante. En ese caso, la energía interna del cuerpo es una función lineal de la temperatura interna única del cuerpo.

La siguiente solución de capacitancia concentrada asume un coeficiente de transferencia de calor constante, como sería el caso en la convección forzada. Para la convección libre, el modelo de capacitancia concentrada se puede resolver con un coeficiente de transferencia de calor que varía con la diferencia de temperatura.

Respuesta transitoria de primer orden de objetos de capacitancia concentrada

Un cuerpo tratado como un objeto de condensación bultado, con una energía interna total U{displaystyle U} (en joules), se caracteriza por una sola temperatura interna uniforme, T()t){displaystyle T(t)}. La capacitancia de calor, C{displaystyle C}, del cuerpo es C=dU/dT{displaystyle C=dU/dT (en J/K), para el caso de un material incompresible. La energía interna se puede escribir en términos de la temperatura del cuerpo, la capacitancia térmica (que se toma para ser independiente de la temperatura), y una temperatura de referencia a la que la energía interna es cero: U=C()T− − Tref){displaystyle U=C(T-T_{text{ref}) }.

Diferenciación U{displaystyle U} con respecto al tiempo da:

dUdt=CdTdt.{fnMicroc}=C,{fnMicroc {dT} {dt}}

Aplicar la primera ley de la termodinámica al objeto bultado da dUdt=− − QÍ Í {textstyle {frac {dU} {dt}=-{dot {}}, donde la tasa de transferencia de calor fuera del cuerpo, QÍ Í {displaystyle { dot {}}}, puede ser expresado por la ley de refrigeración de Newton, y donde no se produce transferencia de trabajo para un material incompresible. Así,

dT()t)dt=− − hAC()T()t)− − Tenv)=− − 1τ τ Δ Δ T()t),{displaystyle {frac {dT(t)}{dt}=-{frac {hA}{C}(T(t)-T_{text{env}})=-{frac {1}{tau }\Delta T(t),}}}} {f}} {fnMicroc}} {f}}}f}f}f}f}f}f}\\\\\f}f}f}f}f}\\fnMit]fnMit]\fnMit]}fnMit}f}f}fnMit]}fnMit}fnMit}\fnMit}\fnMit]

τ τ =C/()hA){displaystyle tau =C/(hA)}.

C{displaystyle C}

c{displaystyle c}

m{displaystyle m}

τ τ =mc/()hA){displaystyle tau =mc/(hA)}.

Cuando la temperatura ambiental es constante en el tiempo, podemos definir Δ Δ T()t)=T()t)− − Tenv{displaystyle Delta T(t)=T(t)-T_{text{env}. La ecuación se convierte

dT()t)dt=dΔ Δ T()t)dt=− − 1τ τ Δ Δ T()t).{displaystyle {frac {}{dt}={frac {dDelta T(t)}{dt}=-{frac {1}{tau Delta T(t).

La solución de esta ecuación diferencial, por integración a partir de la condición inicial, es

Δ Δ T()t)=Δ Δ T()0)e− − t/τ τ .{displaystyle Delta T(t)=Delta T(0),e^{-t/tau }

Δ Δ T()0){displaystyle Delta T(0)}

T()t)=Tenv+()T()0)− − Tenv)e− − t/τ τ .{displaystyle T(t)=T_{text{env}+(T(0)-T_{text{env}),e^{-t/tau }

La diferencia de temperatura entre el cuerpo y el ambiente decae exponencialmente en función del tiempo.