Ley de Curie-Weiss

format_list_bulleted Contenido keyboard_arrow_down

ImprimirCitar

Modelo de susceptibilidad magnética bajo ciertas condiciones

En magnetismo, la ley de Curie-Weiss describe la susceptibilidad magnética $χ$ de un ferroimán en la región paramagnética anterior. la temperatura de Curie:

{displaystyle chi ={frac {C}{T-T_{rm {C}}}}}

donde $C$ es una constante de Curie específica del material, $T$ es la temperatura absoluta y $T C$ es la temperatura de Curie, ambas medidas en kelvin. La ley predice una singularidad en la susceptibilidad en $T = T C$ . Por debajo de esta temperatura, el ferroimán tiene una magnetización espontánea. El nombre lleva el nombre de Pierre Curie y Pierre Weiss.

Fondo

Un momento magnético que está presente incluso en ausencia del campo magnético externo se llama magnetización espontánea. Los materiales con esta propiedad se conocen como ferroimanes, como el hierro, el níquel y la magnetita. Sin embargo, cuando estos materiales se calientan, a una determinada temperatura pierden su magnetización espontánea y se vuelven paramagnéticos. Este umbral de temperatura por debajo del cual un material es ferromagnético se llama temperatura de Curie y es diferente para cada material.

La ley Curie-Weiss describe los cambios en la susceptibilidad magnética de un material, ${displaystyle chi }$ , cerca de su temperatura Curie. La susceptibilidad magnética es la relación entre la magnetización del material y el campo magnético aplicado.

Limitaciones

En muchos materiales, la ley de Curie-Weiss no describe la susceptibilidad en las inmediaciones del punto de Curie, ya que se basa en una aproximación de campo medio. En cambio, hay un comportamiento crítico de la forma

{displaystyle chi propto {frac {1}{(T-T_{rm {C}})^{gamma }}}}

con el exponente crítico $γ$ . Sin embargo, a temperaturas $T ≫ T C$ la expresión de la ley de Curie-Weiss sigue siendo cierta, pero con $T C$ reemplazada por una temperatura $Θ$ eso es algo más alto que la temperatura Curie real. Algunos autores llaman $Θ$ la constante de Weiss para distinguirla de la temperatura del punto Curie real.

Enfoques clásicos de la susceptibilidad magnética y el teorema de Bohr-van Leeuwen

Según el teorema de Bohr-van Leeuwen, cuando la mecánica estadística y la mecánica clásica se aplican consistentemente, el promedio térmico de la magnetización es siempre cero. El magnetismo no se puede explicar sin la mecánica cuántica. Eso quiere decir que no se puede explicar sin tener en cuenta que la materia está formada por átomos. A continuación se enumeran algunos enfoques semiclásicos, utilizando un modelo atómico simple, ya que son fáciles de entender y relacionar aunque no sean perfectamente correctos.

El momento magnético de un átomo libre se debe al momento angular orbital y al espín de sus electrones y núcleo. Cuando los átomos son tales que sus capas están completamente llenas, no tienen ningún momento dipolar magnético neto en ausencia de un campo magnético externo. Cuando está presente, dicho campo distorsiona las trayectorias (concepto clásico) de los electrones, de modo que el campo aplicado podría oponerse como lo predice la ley de Lenz. En otras palabras, el dipolo magnético neto inducido por el campo externo está en la dirección opuesta y dichos materiales son repelidos por él. Estos se llaman materiales diamagnéticos.

A veces un átomo tiene un momento dipolar magnético neto incluso en ausencia de un campo magnético externo. Las contribuciones de los electrones individuales y del núcleo al momento angular total no se cancelan entre sí. Esto sucede cuando las capas de los átomos no están completamente llenas (Regla de Hund). Sin embargo, es posible que una colección de tales átomos no tenga ningún momento magnético neto ya que estos dipolos no están alineados. Un campo magnético externo puede servir para alinearlos hasta cierto punto y desarrollar un momento magnético neto por volumen. Dicha alineación depende de la temperatura, ya que la agitación térmica actúa para desorientar los dipolos. Estos materiales se denominan paramagnéticos.

En algunos materiales, los átomos (con momentos dipolares magnéticos netos) pueden interactuar entre sí para alinearse incluso en ausencia de cualquier campo magnético externo cuando la agitación térmica es lo suficientemente baja. La alineación puede ser paralela (ferromagnetismo) o antiparalela. En el caso del antiparalelo, los momentos dipolares pueden o no cancelarse entre sí (antiferromagnetismo, ferrimagnetismo).

Enfoque de matriz de densidad para la susceptibilidad magnética

Tomamos una situación muy simple en la que cada átomo puede aproximarse como un sistema de dos estados. La energía térmica es tan baja que el átomo se encuentra en el estado fundamental. En este estado fundamental, se supone que el átomo no tiene momento angular orbital neto, sino sólo un electrón desapareado para darle un espín de la mitad. En presencia de un campo magnético externo, el estado fundamental se dividirá en dos estados con una diferencia de energía proporcional al campo aplicado. El espín del electrón desapareado es paralelo al campo en el estado de mayor energía y antiparalelo en el inferior.

Una matriz de densidad, ${displaystyle rho }$ , es una matriz que describe un sistema cuántico en un estado mixto, un conjunto estadístico de varios estados cuánticos (aquí hay varios átomos de 2 estados similares). Esto debe ser contrastado con un solo vector de estado que describe un sistema cuántico en un estado puro. El valor de expectativa de una medición, ${displaystyle A}$ , sobre el conjunto ${displaystyle langle Arangle =operatorname {Tr} (Arho)}$ . En términos de un conjunto completo de estados, ${displaystyle |irangle }$ , uno puede escribir

{displaystyle rho =sum _{ij}rho _{ij}|irangle langle j|.}

La ecuación de von Neumann nos dice cómo evoluciona la matriz de densidad con el tiempo.

{displaystyle ihbar {frac {d}{dt}}rho (t)=[H,rho (t)]}

En equilibrio, uno tiene ${displaystyle [H,rho ]=0}$ , y las matrices de densidad permitidas son ${displaystyle f(H)}$ . El conjunto canónico tiene ${displaystyle rho =exp(-H/T)/Z}$ Donde ${displaystyle Z=operatorname {Tr} exp(-H/T)}$ .

Para el sistema de 2 estados, podemos escribir ${displaystyle H=-gamma hbar Bsigma _{3}}$ . Aquí. ${displaystyle gamma }$ es la relación gimagnética. Por lo tanto ${displaystyle Z=2cosh(gamma hbar B/(2T))}$ , y

{displaystyle rho (B,T)={frac {1}{2cosh(gamma hbar B/(2T))}}{begin{pmatrix}exp(-gamma hbar B/(2T))&0\0&exp(gamma hbar B/(2T))end{pmatrix}}.}

De donde

{displaystyle langle J_{x}rangle =langle J_{y}rangle =0,langle J_{z}rangle =-{frac {hbar }{2}}tanh(gamma hbar B/(2T)).}

Explicación del para y diamagnetismo utilizando la teoría de la perturbación

En presencia de un campo magnético exterior uniforme ${displaystyle B}$ a lo largo de la dirección z, el Hamiltoniano del átomo cambia por

{displaystyle Delta H=alpha J_{z}B+beta B^{2}sum _{i}(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}),}

Donde ${displaystyle alphabeta }$ son números reales positivos que son independientes de los cuales átomos estamos mirando pero dependen de la masa y la carga del electrón. ${displaystyle i}$ corresponde a electrones individuales del átomo.

Aplicamos la teoría de la perturbación de segundo orden a esta situación. Esto está justificado por el hecho de que incluso para las máximas fortalezas de campo actualmente alcanzables, los cambios en el nivel de energía debido a ${displaystyle Delta H}$ es bastante pequeña w.r.t. energías de excitación atómica. La degeneración del Hamiltoniano original se maneja escogiendo una base que diagonaliza ${displaystyle Delta H}$ en los subespacios degenerados. Vamos. ${displaystyle |nrangle }$ ser tal base para el estado del átomo (ya sea los electrones en el átomo). Vamos. ${displaystyle Delta E_{n}}$ ser el cambio de la energía en ${displaystyle |nrangle }$ . Así que...

{displaystyle Delta E_{n}=langle n|Delta H|nrangle +sum _{m,E_{m}neq E_{n}}{frac {|langle n|Delta H|mrangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}.}

En nuestro caso podemos ignorar ${displaystyle B^{3}}$ y términos de orden superior. Tenemos

{displaystyle Delta E_{n}=alpha Blangle n|J_{z}|nrangle +alpha ^{2}B^{2}sum _{m,E_{m}neq E_{n}}{frac {|langle n|J_{z}|mrangle |^{2}}{E_{n}-E_{m}}}+beta B^{2}sum _{i}langle n|x_{i}^{2}+y_{i}^{2}|nrangle.}

En el caso del material diamagnético, los dos primeros términos están ausentes ya que no tienen ningún momento angular en su estado fundamental. En el caso del material paramagnético, los tres términos contribuyen.

Agregar interacción giro-giro en el hamiltoniano: modelo de Ising

Hasta ahora, hemos asumido que los átomos no interactúan entre sí. Aunque se trata de una suposición razonable en el caso de sustancias diamagnéticas y paramagnéticas, esta suposición falla en el caso del ferromagnetismo, donde los giros del átomo tratan de alinearse entre sí en la medida permitida por la agitación térmica. En este caso, tenemos que considerar al Hamiltoniano del conjunto del átomo. Tal Hamiltoniano contendrá todos los términos descritos anteriormente para átomos individuales y términos correspondientes a la interacción entre los pares del átomo. El modelo de Ising es una de las aproximaciones más simples de tal interacción en pareja.

{displaystyle H_{text{pairs}}=-{frac {1}{2}}sum _{R,R'}S(R)cdot S(R')J(R-R')}

Aquí están los dos átomos de un par ${displaystyle R,R'}$ . Su interacción ${displaystyle J}$ está determinado por su vector de distancia ${displaystyle R-R'}$ . Para simplificar el cálculo, a menudo se supone que la interacción ocurre entre los átomos vecinos solamente y ${displaystyle J}$ es una constante. El efecto de tal interacción es a menudo aproximado como un campo medio y, en nuestro caso, el campo de Weiss.

Modificación de la ley de Curie debido al campo de Weiss

La ley Curie-Weiss es una versión adaptada de la ley de Curie, que para un material paramagnético puede ser escrito en unidades SI como sigue, asumiendo que ${displaystyle chi ll 1}$ :

{displaystyle chi ={frac {M}{H}}approx {frac {Mmu _{0}}{B}}={frac {C}{T}}.}

Aquí μ₀ es la permeabilidad del espacio libre; M la magnetización (momento magnético por unidad de volumen), $B = μ 0 H$ es el campo magnético y C la constante de Curie específica del material: