Ley de conservación

En física, una ley de conservación establece que una propiedad medible particular de un sistema físico aislado no cambia a medida que el sistema evoluciona con el tiempo. Las leyes exactas de conservación incluyen la conservación de la masa y la energía, la conservación del momento lineal, la conservación del momento angular y la conservación de la carga eléctrica. También hay muchas leyes de conservación aproximadas, que se aplican a cantidades tales como masa, paridad, número de leptones, número de bariones, extrañeza, hipercarga, etc. Estas cantidades se conservan en ciertas clases de procesos físicos, pero no en todos.

Una ley de conservación local generalmente se expresa matemáticamente como una ecuación de continuidad, una ecuación diferencial parcial que proporciona una relación entre la cantidad y el "transporte" de esa cantidad. Establece que la cantidad de la cantidad conservada en un punto o dentro de un volumen solo puede cambiar por la cantidad de la cantidad que entra o sale del volumen.

A partir del teorema de Noether, cada ley de conservación está asociada con una simetría en la física subyacente.

Las leyes de conservación como leyes fundamentales de la naturaleza

Las leyes de conservación son fundamentales para nuestra comprensión del mundo físico, ya que describen qué procesos pueden ocurrir o no en la naturaleza. Por ejemplo, la ley de conservación de la energía establece que la cantidad total de energía en un sistema aislado no cambia, aunque puede cambiar de forma. En general, la cantidad total de la propiedad regida por esa ley permanece sin cambios durante los procesos físicos. Con respecto a la física clásica, las leyes de conservación incluyen la conservación de la energía, la masa (o la materia), el momento lineal, el momento angular y la carga eléctrica. Con respecto a la física de partículas, las partículas no pueden crearse ni destruirse excepto en pares, donde una es ordinaria y la otra es una antipartícula. Con respecto a los principios de simetría e invariancia, se han descrito tres leyes especiales de conservación, asociadas con la inversión o inversión del espacio, el tiempo y la carga.

Las leyes de conservación se consideran leyes fundamentales de la naturaleza, con una amplia aplicación en la física, así como en otros campos como la química, la biología, la geología y la ingeniería.

La mayoría de las leyes de conservación son exactas o absolutas, en el sentido de que se aplican a todos los procesos posibles. Algunas leyes de conservación son parciales, ya que se cumplen para algunos procesos pero no para otros.

Un resultado particularmente importante sobre las leyes de conservación es el teorema de Noether, que establece que existe una correspondencia biunívoca entre cada una de ellas y una simetría diferenciable de la naturaleza. Por ejemplo, la conservación de la energía se deriva de la invariancia en el tiempo de los sistemas físicos, y la conservación del momento angular surge del hecho de que los sistemas físicos se comportan de la misma manera independientemente de cómo estén orientados en el espacio.

Leyes exactas

Una lista parcial de ecuaciones físicas de conservación debido a la simetría que se dice que son leyes exactas, o más precisamente nunca se ha demostrado que se violen:

Leyes aproximadas

También hay leyes de conservación aproximadas. Estos son aproximadamente ciertos en situaciones particulares, como velocidades bajas, escalas de tiempo cortas o ciertas interacciones.

• Conservación de la energía mecánica
• Conservación de masa (aproximadamente verdadera para velocidades no relativistas)
• Conservación del número de baryon (ver anomalía chiral y esphaleron)
• Conservación del número de leptón (en el modelo estándar)
• Conservación del sabor (violado por la interacción débil)
• Conservación de la rareza (violada por la débil interacción)
• Conservación de la paridad espacial (violada por la débil interacción)
• Conservación de la paridad de carga (violada por la débil interacción)
• Conservación de la paridad del tiempo (violada por la débil interacción)
• Conservación de la paridad CP (violada por la interacción débil); en el Modelo Estándar, esto es equivalente a la conservación de la paridad del tiempo.

Leyes de conservación globales y locales

La cantidad total de alguna cantidad conservada en el universo podría permanecer sin cambios si una cantidad igual apareciera en un punto A y simultáneamente desapareciera de otro punto separado B. Por ejemplo, una cantidad de energía podría aparecer en la Tierra sin cambiar la cantidad total en el Universo si la misma cantidad de energía desapareciera de alguna otra región del Universo. Esta forma débil de "global" la conservación realmente no es una ley de conservación porque no es invariante de Lorentz, por lo que fenómenos como los anteriores no ocurren en la naturaleza. Debido a la relatividad especial, si la aparición de la energía en A y la desaparición de la energía en B son simultáneas en un marco de referencia inercial, no serán simultáneas en otro marco de referencia inercial. marcos de referencia que se mueven con respecto al primero. En un cuadro en movimiento uno ocurrirá antes que el otro; la energía en A aparecerá antes o después de que la energía en B desaparezca. En ambos casos, durante el intervalo no se conservará la energía.

Una forma más fuerte de ley de conservación requiere que, para que cambie la cantidad de una cantidad conservada en un punto, debe haber un flujo o flujo de la cantidad hacia o desde el punto. Por ejemplo, nunca se encuentra que la cantidad de carga eléctrica en un punto cambie sin que entre o salga una corriente eléctrica del punto que lleva la diferencia de carga. Dado que solo involucra cambios locales continuos, este tipo más fuerte de ley de conservación es invariante de Lorentz; una cantidad conservada en un marco de referencia se conserva en todos los marcos de referencia en movimiento. Esto se llama una ley de conservación local. La conservación local implica también la conservación global; que la cantidad total de la cantidad conservada en el Universo permanece constante. Todas las leyes de conservación enumeradas anteriormente son leyes de conservación locales. Una ley de conservación local se expresa matemáticamente mediante una ecuación de continuidad, que establece que el cambio en la cantidad en un volumen es igual al "flujo" neto total; de la cantidad a través de la superficie del volumen. Las siguientes secciones discuten las ecuaciones de continuidad en general.

Formas diferenciales

En la mecánica de medios continuos, la forma más general de una ley de conservación exacta viene dada por una ecuación de continuidad. Por ejemplo, la conservación de la carga eléctrica q es

∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t=− − Silencio Silencio ⋅ ⋅ j{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}=-nabla cdot mathbf {j}

donde ∇⋅ es el operador de divergencia, ρ es la densidad de q (cantidad por unidad de volumen), j es el flujo de q (cantidad que cruza una unidad de área en la unidad de tiempo), y t es el tiempo.

Si asumimos que el movimiento u de la carga es una función continua de la posición y el tiempo, entonces

j=*** *** u{displaystyle mathbf {j} =rho mathbf {u}

∂ ∂ *** *** ∂ ∂ t=− − Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()*** *** u).{displaystyle {frac {partial rho }{partial t}=-nabla cdot (rho mathbf {u}),.}

En una dimensión espacial, esto se puede poner en forma de una ecuación hiperbólica cuasilineal homogénea de primer orden:

Sí.t+A()Sí.)Sí.x=0{displaystyle Y...

donde la variable dependiente y se denomina densidad de una cantidad conservada, y A(y) se denomina jacobiano actual, y se ha empleado la notación de subíndices para derivadas parciales. El caso no homogéneo más general:

Sí.t+A()Sí.)Sí.x=s{displaystyle Y...

no es una ecuación de conservación sino el tipo general de ecuación de equilibrio que describe un sistema disipativo. La variable dependiente y se denomina cantidad no conservada, y el término no homogéneo s(y,x ,t) es la-fuente, o disipación. Por ejemplo, las ecuaciones de balance de este tipo son las ecuaciones de Navier-Stokes de cantidad de movimiento y energía, o el balance de entropía para un sistema aislado general.

En el espacio unidimensional, una ecuación de conservación es una ecuación hiperbólica cuasilineal de primer orden que se puede poner en la forma de advección:

Sí.t+a()Sí.)Sí.x=0{displaystyle Y...

donde la variable dependiente y(x,t) se denomina densidad de la conservada (escalar) cantidad, y a(y) se llama el coeficiente de corriente, normalmente correspondiente a la derivada parcial en la cantidad conservada de una densidad de corriente de la cantidad conservada j(y):

a()Sí.)=jSí.()Sí.){displaystyle a(y)=j_{y}(y)}

En este caso, dado que se aplica la regla de la cadena:

jx=jSí.()Sí.)Sí.x=a()Sí.)Sí.x{displaystyle ¿Qué?

La ecuación de conservación se puede poner en la forma de densidad de corriente:

Sí.t+jx()Sí.)=0{displaystyle Y...

En un espacio con más de una dimensión la definición anterior se puede extender a una ecuación que se puede poner en la forma:

Sí.t+a()Sí.)⋅ ⋅ Silencio Silencio Sí.=0{displaystyle y_{t}+mathbf {a} (y)cdot nabla y=0}

Donde cantidad conservada es Sí.()r,t), ⋅ ⋅ {displaystyle cdot } denota el producto del cuero cabelludo, Silencio es el operador de nabla, aquí indicando un gradiente, y a()Sí.) es un vector de coeficientes actuales, que corresponde analógicamente a la divergencia de una densidad de corriente vectorial asociada a la cantidad conservada j()Sí.):

Sí.t+Silencio Silencio ⋅ ⋅ j()Sí.)=0{displaystyle y_{t}+nabla cdot mathbf {j} (y)=0}

Este es el caso de la ecuación de continuidad:

*** *** t+Silencio Silencio ⋅ ⋅ ()*** *** u)=0{displaystyle rho _{t}+nabla cdot (rho mathbf {u}=0}

Aquí la cantidad conservada es la masa, con densidad ρ(r,t) y densidad de corriente ρu, idéntico a la densidad de momento, mientras que u(r,t) es la velocidad del flujo.

En el caso general una ecuación de conservación puede ser también un sistema de este tipo de ecuaciones (una ecuación vectorial) en la forma:

Sí.t+A()Sí.)⋅ ⋅ Silencio Silencio Sí.=0{displaystyle mathbf {y} ¿Por qué?

donde y se llama la cantidad conservada (vector), ∇ y es su gradiente, 0 es el vector cero, y A(y) se llama el jacobiano de la densidad de corriente. De hecho, como en el caso escalar anterior, también en el caso vectorial A(y) normalmente correspondiente al jacobiano de una matriz de densidad de corriente J (y):

A()Sí.)=JSí.()Sí.){displaystyle mathbf {A} (mathbf {y})=mathbf {J} _{mathbf {y} }(mathbf {y})}

y la ecuación de conservación se puede poner en la forma:

Sí.t+Silencio Silencio ⋅ ⋅ J()Sí.)=0{displaystyle mathbf {y} _{t}+nabla cdot mathbf {J} (mathbf {y})=mathbf {0}

Por ejemplo, este es el caso de las ecuaciones de Euler (dinámica de fluidos). En el caso simple incompresible son:

Silencio Silencio ⋅ ⋅ u=0∂ ∂ u∂ ∂ t+u⋅ ⋅ Silencio Silencio u+Silencio Silencio s=0,{displaystyle {begin{aligned}nabla cdot mathbf {u} &=0\\{frac {partial mathbf {u} {}{partial t}+mathbf {u} cdot nabla mathbf {u}} {u}} {u} {}}} ################################################################################################################################################################################################################################################################

donde:

• u es el vector de velocidad de flujo, con componentes en un espacio N-dimensional u₁, u₂,... u_N,
• s es la presión específica (presión por densidad de unidad) que da el término fuente,

Se puede demostrar que la cantidad conservada (vector) y la matriz de densidad de corriente para estas ecuaciones son respectivamente:

Sí.=()1u);J=()uu⊗ ⊗ u+sI);{displaystyle {Mathbf} }={begin{pmatrix}1\Mathbf {u}end{pmatrix}}qquad {mathbf {J} }={begin{pmatrix}mathbf {u} \Mathbf {u} otimes mathbf {u} ##smathbf {I} end{pmatrix}};qquad }

Donde ⊗ ⊗ {displaystyle otimes } denota el producto exterior.

Formas integrales y débiles

Las ecuaciones de conservación también se pueden expresar en forma integral: la ventaja de esta última es sustancialmente que requiere menos suavidad de la solución, lo que allana el camino a la forma débil, ampliando la clase de soluciones admisibles para incluir soluciones discontinuas. Al integrar en cualquier dominio de espacio-tiempo la forma de densidad actual en el espacio 1-D:

Sí.t+jx()Sí.)=0{displaystyle Y...

y usando el teorema de Green, la forma integral es:

∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO Sí.dx+∫ ∫ 0JUEGO JUEGO j()Sí.)dt=0{displaystyle int _{-infty }{infty }y,dx+int _{0}^{infty }j(y),dt=0}

De manera similar, para el espacio multidimensional escalar, la forma integral es:

∮ ∮ [Sí.dNr+j()Sí.)dt]=0{displaystyle oint left[y,d^{N}r+j(y),dtright]=0}

donde la integración de línea se realiza a lo largo del límite del dominio, en sentido contrario a las agujas del reloj.

Además, al definir una función de prueba φ(r,t) continuamente diferenciable tanto en tiempo como en espacio con soporte compacto, el débil La forma puede obtenerse pivotando sobre la condición inicial. En el espacio 1-D es:

∫ ∫ 0JUEGO JUEGO ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO φ φ tSí.+φ φ xj()Sí.)dxdt=− − ∫ ∫ − − JUEGO JUEGO JUEGO JUEGO φ φ ()x,0)Sí.()x,0)dx{displaystyle int _{0}{infty }int ¿Por qué?

Tenga en cuenta que en la forma débil todas las derivadas parciales de la densidad y la densidad de corriente se han pasado a la función de prueba, que con la hipótesis anterior es lo suficientemente suave para admitir estas derivadas.