Ley de Betz

En aerodinámica, la ley de Betz indica la potencia máxima que se puede extraer del viento, independientemente del diseño de una turbina eólica en flujo abierto. Fue publicada en 1919 por el físico alemán Albert Betz. La ley se deriva de los principios de conservación de la masa y el momento de la corriente de aire que fluye a través de un "disco actuador" idealizado que extrae energía de la corriente de viento. Según la ley de Betz, ninguna turbina eólica de ningún mecanismo puede capturar más de 16/27 (59,3 %) de la energía cinética del viento. El factor 16/27 (0,593) se conoce como coeficiente de Betz. Las turbinas eólicas a escala de servicio público prácticas alcanzan en el pico el 75-80 % del límite de Betz.

El límite de Betz se basa en un actuador de disco abierto. Si se utiliza un difusor para recoger el flujo de viento adicional y dirigirlo a través de la turbina, se puede extraer más energía, pero el límite sigue aplicándose a la sección transversal de toda la estructura.

La ley de Betz se aplica a todos los fluidos newtonianos, incluido el viento. Si toda la energía procedente del movimiento del viento a través de una turbina se extrajera como energía útil, la velocidad del viento caería después a cero. Si el viento dejara de moverse a la salida de la turbina, entonces no podría entrar más viento fresco; quedaría bloqueado. Para que el viento siga moviéndose a través de la turbina, tiene que haber algún movimiento de viento, por pequeño que sea, en el otro lado con una velocidad del viento mayor que cero. La ley de Betz muestra que, a medida que el aire fluye a través de una determinada área, y a medida que la velocidad del viento disminuye debido a la pérdida de energía para la extracción de una turbina, el flujo de aire debe distribuirse a un área más amplia. Como resultado, la geometría limita la eficiencia máxima de cualquier turbina.

El científico británico Frederick W. Lanchester obtuvo el mismo resultado máximo en 1915. El líder de la escuela aerodinámica rusa, Nikolay Zhukowsky, también publicó el mismo resultado para una turbina eólica ideal en 1920, el mismo año que Betz. Se trata, por tanto, de un ejemplo de la ley de Stigler, que postula que ningún descubrimiento científico recibe el nombre de su verdadero descubridor.

El límite de Betz es la máxima energía posible que puede extraerse mediante un rotor infinitamente delgado de un fluido que fluye a una velocidad determinada.

Para calcular la máxima eficiencia teórica de un rotor delgado (por ejemplo, de una turbina eólica), se supone que se lo sustituye por un disco que absorbe energía del fluido que pasa a través de él. A cierta distancia detrás de este disco, el fluido que ha pasado a través del disco tiene una velocidad reducida, pero no nula.

1. El disco es ideal, sin hub (para que si se conceptualiza como rotor, podría tener un número infinito de cuchillas que no tienen arrastre). Cualquier no-idealidad se supone que reduce la eficiencia.
2. Como un modelo eficaz de 1-D, el flujo dentro y fuera del disco es axial, y todas las velocidades son transversalmente uniformes. Este es un análisis de volumen de control; el volumen de control debe contener todo el flujo entrante y saliente para utilizar las ecuaciones de conservación.
3. El flujo no es admisible. La densidad es constante, y no hay transferencia de calor.
4. La presión uniforme se aplica al disco. (No dependencia radial de la presión en este modelo 1-D.)

Aplicando la conservación de la masa al volumen de control, el caudal másico (la masa de fluido que fluye por unidad de tiempo) es

$${\displaystyle {\ dot}=\rho A_{1}v_{1}=\rho Sv=\rho A_{2}v_{2},}$$

Donde v₁ es la velocidad en la parte delantera del rotor, v₂ es la velocidad de abajo del rotor, v es la velocidad del dispositivo de alimentación del fluido, *** es la densidad del fluido, ${\displaystyle S.$ es el área de la turbina, y ${\displaystyle A_{1}$ y ${\displaystyle A_{2}$ son las áreas del fluido antes y después de la turbina (la entrada y salida del volumen de control).

La densidad multiplicada por el área y la velocidad debe ser igual en cada una de las tres regiones: antes de la turbina, al pasar por la turbina y más allá de la turbina.

La fuerza ejercida sobre el viento por el rotor es la masa de aire multiplicada por su aceleración: $${\displaystyle {\begin{aligned}F limit=ma\\\\fnMic} {dv} {dt}\\\\fn}\\\\fnh}\\\\\fnh}\\\\\\fn}}\\\\\\\fn}\\\\\cH00}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnH3}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fnH3}}}}\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}}}}\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\fn}}}}}}}}}}}}\\\\\\]\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ {m}\,\Delta v\\\\fn\\\\\\cH3n}-v_{2}\end{aligned}}}$$

El trabajo incremental realizado por la fuerza puede escribirse

$${\displaystyle dE=F\,dx,}$$

y la potencia (tasa de trabajo realizado) del viento es

$${\displaystyle P={\frac {dE} {dt}=F{\frac} {dx} {dt}=Fv.}$$

Sustituyendo la fuerza F calculada anteriormente en la ecuación de potencia se obtiene la potencia extraída del viento,

$${\displaystyle P=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}). }$$

Sin embargo, la potencia se puede calcular de otra manera, utilizando la energía cinética. Aplicando la ecuación de conservación de la energía al volumen de control se obtiene:

$${\displaystyle P={\frac {\Delta E}{\ Delta t}={\tfrac {1}{2} {\dot {m}(v_{1}^{2}-v_{2}}{2}}). }$$

Sustituyendo el caudal másico en la ecuación de continuidad obtenemos:

$${\displaystyle P={\tfrac {2}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}{2}}} {2}). }$$

Ambas expresiones para la potencia son válidas; una se derivó examinando el trabajo incremental y la otra mediante la conservación de la energía. Al equiparar estas dos expresiones se obtiene:

$${\displaystyle P={2} {2}\rho Sv(v_{1}^{2}-v_{2}}=\rho Sv^{2}(v_{1}-v_{2}). }$$

La densidad no puede ser cero para ningún v y S, por lo que

$$[\displaystyle {\tfrac {1} {2} {2}} {2}-v_{2} {2}}={\tfrac {1} {2} {2}}(v_{1}-v_{2})(v_{1}+v_{2})=v(v_{1}-v_{2}),}$$

o

$${\displaystyle v={} {2}(v_{1}+v_{2}). }$$

La velocidad constante del viento a través del rotor puede tomarse como el promedio de las velocidades ascendentes y descendentes. Podría decirse que esta es la etapa más contraintuitiva de la derivación de la ley de Betz. Es una consecuencia directa de la suposición de "flujo axial", que no permite ningún flujo de masa radial en la región del disco del actuador. Sin escape de masa y un diámetro constante en la región del actuador, la velocidad del aire no puede cambiar en la región de interacción. Por lo tanto, no se puede extraer energía más que en la parte delantera y trasera de la región de interacción, lo que fija la velocidad del aire del disco del actuador como el promedio. (Eliminar esa restricción puede permitir un rendimiento mayor que el que permite la ley de Betz, pero también se deben considerar otros efectos radiales. Este efecto de velocidad constante es distinto de la pérdida de energía cinética radial que también se ignora).

Volviendo a la expresión anterior para la potencia basada en la energía cinética:

${\displaystyle {\begin{aligned}Piéndose={\tfrac {1}{2}{\dot {m}(v_{1} {2}-v_{2}}\\c}\\\\\c\c\c\c\c} {2}}}\rho}\rho Sv(v_{1}{2}-v_{2})\\\\={1}{4}\rho S(v_{1}+v_{2})(v_{1}{2} {2}-v_{2}}\c}\c_}\c}\c\c}\c\cH0} Sv_{1}\left(1+\left({\frac Bueno... {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} {v_{2} {v_{1}}}\derecha)}\end{aligned}}}}}}$

Diferenciando ${\displaystyle P}$ con respecto a ${\fnMicroc} {V_{2} {v_{1}}}}$ para una velocidad de líquido dada v₁ y una zona determinada S, uno encuentra el máximo o mínimo valor para ${\displaystyle P}$. El resultado es que ${\displaystyle P}$ alcanza el valor máximo cuando ${\fnMicroc} {\fnK} {\f}}={\tfrac} {1}{3}}$.

Sustituyendo este valor obtenemos:

$${\displaystyle P_{\text{max}={\tfrac {16}}\cdot {1}\rho Sv_{1} {3}}$$

La potencia que se puede obtener de un cilindro de fluido con área de sección transversal S y velocidad v₁ es

$${\displaystyle P=C_{\text{P}\cdot {\tfrac {1}{2}\rho Sv_{1} {3}$$

La potencia de referencia para el cálculo de la eficiencia de Betz es la potencia en un fluido en movimiento en un cilindro con área de sección transversal S y velocidad v₁:

$${\displaystyle P_{\text{wind}={\tfrac {1}{2}\rho Sv_{1} {3}$$

El coeficiente de potencia C_P (= P/P_viento) es la relación adimensional entre la potencia extraíble P y la potencia cinética P_viento disponible en la corriente no distribuida. Tiene un valor máximo C_{P máx.} = 16/27 = 0,593 (o 59,3 %; sin embargo, los coeficientes de rendimiento suelen expresarse como un decimal, no como un porcentaje). La expresión resultante es:

$${\displaystyle C_{P}\left({\frac {\fnK} {\fnK}}}\derecha)={\tfrac {1}{2}\left(1+\left({\frac Bueno... {\fnMicrosoft Sans Serif} {\fnMicrosoft Sans Serif} ¿Qué?$$

Las grandes turbinas eólicas modernas alcanzan valores máximos de C_P en el rango de 0,45 a 0,50, aproximadamente el 75-85 % del máximo teóricamente posible. Con vientos de alta velocidad, cuando la turbina está funcionando a su potencia nominal, la turbina gira (inclina) sus palas para reducir C_P para protegerse de daños. La potencia del viento aumenta en un factor de 8, de 12,5 a 25 m/s, por lo que C_P debe disminuir en consecuencia, llegando a 0,06 para vientos de 25 m/s.

La relación de velocidad ${\fnMicroc} {\fnK} {\f}}={\tfrac} {1}{3}}$ entre el viento saliente y el viento entrante implica que el aire saliente sólo tiene ${\displaystyle ({\tfrac {1}{2}={\tfrac} {1}{9}}$ la energía cinética del aire entrante, y eso ${\fnMicroc} {8}{9}}$ de la energía del aire entrante fue extraída. Este es un cálculo correcto, pero sólo considera el aire entrante que eventualmente viaja a través del rotor.

El último paso para calcular la eficiencia de Betz C_p es dividir el poder calculado extraído del flujo por un poder de referencia. Como su poder de referencia, el análisis Betz utiliza el poder del aire en movimiento hacia arriba V₁ a través de la zona transversal S del rotor. Desde ${\displaystyle A_{1}={\tfrac {2} {3}S}$ en el límite Betz, los extractos del rotor ${\fnMicroc} {8}{9}}$ de ${\fnMicroc} {2}{3}}$o ${\displaystyle {\tfrac {16}{27}}$ de la energía cinética entrante.

Debido a que el área de la sección transversal del viento que fluye a través del rotor cambia, debe haber algún flujo de aire en las direcciones perpendiculares al eje del rotor. Cualquier energía cinética asociada con este flujo radial no tiene efecto en el cálculo porque el cálculo solo considera los estados inicial y final del aire en el sistema.

Aunque a menudo se lo promociona (por ejemplo) como el límite superior definitivo de la extracción de energía por cualquier turbina eólica posible, no lo es. A pesar del título engañoso de su artículo, Betz (ni Lanchester) nunca hicieron una afirmación tan incondicional. Cabe destacar que una turbina eólica que funciona con la máxima eficiencia de Betz tiene una estela de velocidad del viento distinta de cero. Cualquier disco actuador colocado aguas abajo del primero extraerá energía adicional y, por lo tanto, el complejo de actuadores duales combinado excede el límite de Betz. El segundo disco actuador podría estar, pero no necesariamente, en la zona de viento de campo lejano (línea de corriente paralela) para que se cumpla esta consideración.

La razón de esta sorprendente excepción a una ley basada únicamente en leyes de conservación de la energía y del flujo se esconde en la suposición aparentemente modesta de uniformidad transversal del perfil axial del viento dentro de las líneas de corriente. Por ejemplo, la turbina eólica de doble actuador antes mencionada tiene, aguas abajo, un perfil transversal del viento que tiene dos velocidades distintas y, por lo tanto, no está limitado por los límites del disco actuador único.

Matemáticamente, la derivación para un solo disco actuador incorpora implícitamente la suposición de que el viento no cambia de velocidad a medida que transita por el actuador "infinitamente delgado"; en contraste, en el híbrido de actuador dual, el viento sí cambia de velocidad a medida que transita, invalidando el paso clave de la derivación que requiere una velocidad constante. Un solo actuador infinitamente delgado no puede cambiar la velocidad porque de lo contrario no conservaría el flujo, pero en el par híbrido, el flujo puede desprenderse (fuera de la sección transversal) entre los actuadores, lo que permite una velocidad de salida final diferente a la velocidad de entrada.

Se han analizado aerogeneradores físicos de rotores multicoaxiales. Aunque en la práctica no superan el límite de Betz, esto puede deberse al hecho de que los rotores no solo tienen pérdidas, sino que también deben obedecer al momento angular y a la teoría del momento de las palas, lo que limita su eficiencia por debajo del límite de Betz.

La investigación moderna ha sugerido que un límite superior más relajado ${\fnMicroc} {2}{3}}$ se puede lograr cuando se eliminan las "suposiciones sin necesidad" en la derivación de la ley de Betz.

La mayoría de las turbinas eólicas reales son aerodinámicamente "delgadas", lo que las hace aproximarse a los supuestos de la ley de Betz. En la medida en que una turbina eólica típica se aproxima a los supuestos de la ley de Betz, entonces el límite de Betz establece un límite superior aproximado a la energía anual que se puede extraer en un sitio. Incluso si un viento hipotético soplara de manera constante durante un año completo, cualquier turbina eólica que se aproxime bien mediante el modelo de disco del actuador no puede extraer más que el límite de Betz de la energía contenida en el viento de ese año.

El aumento de la eficiencia económica del sistema se produce básicamente a partir de una mayor producción por unidad, medida por metro cuadrado de exposición de las aspas. Se requiere un aumento de la eficiencia del sistema para reducir el coste de la producción de energía eléctrica. Los aumentos de la eficiencia pueden ser el resultado de la ingeniería de los dispositivos de captura de viento, como la configuración y la dinámica de las turbinas eólicas, que pueden aumentar la generación de energía de estos sistemas dentro del límite de Betz. Los aumentos de la eficiencia del sistema en la aplicación, transmisión o almacenamiento de energía también pueden contribuir a un menor coste de la energía por unidad.

Las suposiciones de la derivación de Betz imponen algunas restricciones físicas sobre la naturaleza de las turbinas eólicas a las que se aplica (velocidad de entrada/salida idéntica, por ejemplo). Pero más allá de esas suposiciones, el límite de Betz no depende de la mecánica interna del sistema de extracción de viento, por lo tanto, S puede adoptar cualquier forma siempre que el flujo se desplace desde la entrada hasta el volumen de control y la salida, y el volumen de control tenga velocidades de entrada y salida uniformes. Cualquier efecto extraño solo puede reducir el rendimiento del sistema (normalmente una turbina), ya que este análisis se idealizó para ignorar la fricción. Cualquier efecto no ideal restaría valor a la energía disponible en el fluido entrante, lo que reduciría la eficiencia general.

Algunos fabricantes e inventores han afirmado que han superado el límite mediante el uso de toberas y otros dispositivos para desviar el viento, generalmente tergiversando el límite de Betz y calculando únicamente el área del rotor y no la entrada total de aire que contribuye a la energía eólica extraída del sistema.

El límite de Betz no tiene relevancia al calcular la eficiencia de una turbina en una aplicación móvil, como un vehículo eólico, ya que en este caso la eficiencia podría acercarse teóricamente al 100% menos las pérdidas de las palas si el flujo de fluido a través del disco de la turbina (o equivalente) se retardara solo de manera imperceptible. Como esto requeriría una estructura infinitamente grande, los dispositivos prácticos rara vez alcanzan el 90% o más. La cantidad de energía extraída del flujo de fluido con altas eficiencias de la turbina es menor que el límite de Betz, que no es el mismo tipo de eficiencia.

En 1934, H. Glauert derivó la expresión para la eficiencia de la turbina, cuando se tiene en cuenta el componente angular de la velocidad, aplicando un balance de energía a lo largo del plano del rotor. Debido al modelo de Glauert, la eficiencia está por debajo del límite de Betz y se aproxima asintóticamente a este límite cuando la relación de velocidad de la punta tiende al infinito.

En 2001, Gorban, Gorlov y Silantyev introdujeron un modelo exactamente solucionable (GGS), que considera la distribución de presión no uniforme y el flujo curvilíneo a través del plano de la turbina (cuestiones no incluidas en el enfoque de Betz). Utilizaron y modificaron el modelo de Kirchhoff, que describe la estela turbulenta detrás del actuador como el flujo "degenerado" y utiliza la ecuación de Euler fuera del área degenerada. El modelo GGS predice que la eficiencia máxima se logra cuando el flujo a través de la turbina es aproximadamente el 61% del flujo total, lo que es muy similar al resultado de Betz de 2/3 para un flujo que resulta en eficiencia máxima, pero el GGS predijo que la eficiencia máxima en sí es mucho menor: 30,1%.

En 2008, se aplicaron cálculos viscosos basados en dinámica de fluidos computacional (CFD) al modelado de turbinas eólicas y se demostró que concordaban satisfactoriamente con los experimentos. La eficiencia óptima calculada se encuentra, por lo general, entre el límite de Betz y la solución GGS.

• Pierre Lecanu, Joel Breard, Dominique Mouazé. Límite de betz aplicado a la teoría de la turbina del eje vertical