Ley cero-uno de Kolmogorov

En la teoría de la probabilidad, la ley cero-uno de Kolmogorov, nombrada así en honor a Andrey Nikolaevich Kolmogorov, especifica que cierto tipo de evento, a saber, un evento de cola de σ independiente -álgebras, casi seguramente sucederá o casi seguramente no sucederá; es decir, la probabilidad de que ocurra tal evento es cero o uno.

Los eventos de cola se definen en términos de familias contablemente infinitas de álgebras σ. Para fines ilustrativos, presentamos aquí el caso especial en el que cada álgebra de sigma es generada por una variable aleatoria Xk{displaystyle X_{k} para k▪ ▪ N{displaystyle kin mathbb {N}. Vamos F{displaystyle {fnMithcal}} ser el sigma-álgebra generado conjuntamente por todos los Xk{displaystyle X_{k}. Entonces, un evento de cola F▪ ▪ F{displaystyle Fin {fn} es un evento que es probabilísticamente independiente de cada subconjunto finito de estas variables aleatorias. (Nota: F{displaystyle F} pertenecientes a F{displaystyle {fnMithcal}} implica que la membresía F{displaystyle F} está determinado por los valores de los Xk{displaystyle X_{k}, pero esta última condición es estrictamente más débil y no basta para probar la ley cero-uno.) Por ejemplo, el evento que la secuencia de la Xk{displaystyle X_{k} converge, y el evento que su suma converge son ambos eventos de cola. Si Xk{displaystyle X_{k} son, por ejemplo, todos los Bernoulli-distribuidos, entonces el evento que hay infinitamente muchos k▪ ▪ N{displaystyle kin mathbb {N} tales que Xk=Xk+1=⋯ ⋯ =Xk+100=1{displaystyle X_{k}=X_{k+1}=dots =X_{k+100}=1} es un evento de cola. Si cada uno Xk{displaystyle X_{k} los resultados del k{displaystyle k}-th coin toss in a modeled, infinite sequence of coin tosses, this means that a sequence of 100 successive heads occurring infinitely many times is a tail event in this model.

Los eventos de cola son precisamente aquellos eventos cuya ocurrencia todavía puede determinarse si un segmento inicial arbitrariamente grande pero finito del segmento inicial Xk{displaystyle X_{k} es eliminado.

En muchas situaciones, puede ser fácil aplicar la ley cero-uno de Kolmogorov para mostrar que algún evento tiene una probabilidad de 0 o 1, pero sorprendentemente difícil determinar cuál de estos dos extremos valores es el correcto.

Formulación

Una declaración más general de la ley cero-uno de Kolmogorov se cumple para secuencias de σ-álgebras independientes. Sea (Ω,F,P) un espacio de probabilidad y sea F_n ser una secuencia de σ-álgebras contenidas en F. Dejar

Gn=σ σ ()⋃ ⋃ k=nJUEGO JUEGO Fk){displaystyle G_{n}=sigma {bigg (}bigcup _{k=n} {infty }F_{k}{bigg)}}

ser el más pequeño σ-algebra que contiene F_n, F_{n+ 1},.... El terminal σ-algebra de la F_n se define como T()()Fn)n▪ ▪ N)=⋂ ⋂ n=1JUEGO JUEGO Gn{displaystyle {mathcal {}(F_{n})_{nin mathbb {N}=bigcap _{n=1}{infty }G_{n}.

La ley cero de Kolmogorov – una afirma que, si la F_n son stochastically independientes, entonces para cualquier evento E▪ ▪ T()()Fn)n▪ ▪ N){displaystyle ¿Qué?, uno tiene P()E) = 0 o P()E)=1.

La declaración de la ley en términos de variables aleatorias se obtiene de este último tomando cada uno F_n para ser el álgebra σ generado por la variable aleatoria X_n. Un evento de cola es entonces por definición un evento que es mensurable con respecto al álgebra σ generada por todos X_n, pero que es independiente de cualquier número finito de X_n. Es decir, un evento de cola es precisamente un elemento de la terminal σ-algebra ⋂ ⋂ n=1JUEGO JUEGO Gn{displaystyle textstyle {bigcap ¿Qué? }G_{n}}.

Ejemplos

Una transformación invertible que conserva la medida en un espacio de probabilidad estándar que obedece la ley 0-1 se denomina automorfismo de Kolmogorov. Todos los automorfismos de Bernoulli son automorfismos de Kolmogorov pero no viceversa. La presencia de un cúmulo infinito en el contexto de la teoría de Percolación también obedece a la ley 0-1.