Leonhard Euler

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Leonhard Euler (15 de abril de 1707 - 18 de septiembre de 1783) fue un matemático, físico, astrónomo, geógrafo, lógico e ingeniero suizo que fundó los estudios de gráfico teoría y topología e hizo descubrimientos pioneros e influyentes en muchas otras ramas de las matemáticas, como la teoría analítica de números, el análisis complejo y el cálculo infinitesimal. Introdujo gran parte de la terminología y notación matemática moderna, incluida la noción de función matemática. También es conocido por su trabajo en mecánica, dinámica de fluidos, óptica, astronomía y teoría musical.

Euler es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia y el más grande del siglo XVIII. Una declaración atribuida a Pierre-Simon Laplace expresa la influencia de Euler en las matemáticas: "Lea a Euler, lea a Euler, él es el maestro de todos nosotros". Carl Friedrich Gauss comentó: "El estudio de las obras de Euler seguirá siendo la mejor escuela para los diferentes campos de las matemáticas, y nada más podrá reemplazarlo". Euler también es ampliamente considerado como el más prolífico; sus más de 850 publicaciones se recopilan en 92 volúmenes en cuarto (incluida su Opera Omnia) más que nadie en el campo. Pasó la mayor parte de su vida adulta en San Petersburgo, Rusia, y en Berlín, entonces la capital de Prusia.

A Euler se le atribuye la popularización de la letra griega Pi(pi minúscula) para denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro, además de usar primero la notación f(x)para el valor de una función, la letra ipara expresar la unidad imaginaria { sqrt {-1}}, la letra griega Sigma(sigma mayúscula) para expresar sumatorias, la letra griega delta mayúscula Deltapara diferencias finitas y letras minúsculas para representar los lados de un triángulo mientras se representan los ángulos como letras mayúsculas. Dio la definición actual de la constante mi, la base del logaritmo natural, ahora conocido como el número de Euler.

Euler también fue el primer practicante de la teoría de grafos (en parte como solución al problema de los Siete Puentes de Königsberg). Se hizo famoso, entre otros, por resolver el problema de Basilea, tras demostrar que la suma de las series infinitas de recíprocos enteros al cuadrado era exactamente igual a π /6, y por descubrir que la suma de los números de vértices y caras menos las aristas de un poliedro es igual a 2, un número ahora comúnmente conocido como la característica de Euler. En el campo de la física, Euler reformuló las leyes de la física de Newton en nuevas leyes en su obra de dos volúmenes Mechanica para explicar el movimiento de los cuerpos rígidos más fácilmente. También hizo contribuciones sustanciales al estudio de las deformaciones elásticas de los objetos sólidos.

Primeros años de vida

Leonhard Euler nació el 15 de abril de 1707 en Basilea, Suiza, hijo de Paul III Euler, pastor de la Iglesia Reformada, y Marguerite (de soltera Brucker), cuyos antepasados ​​incluyen varios eruditos conocidos en los clásicos. Era el mayor de cuatro hijos, tenía dos hermanas menores, Anna Maria y Maria Magdalena, y un hermano menor, Johann Heinrich. Poco después del nacimiento de Leonhard, la familia Euler se mudó de Basilea a la ciudad de Riehen, Suiza, donde su padre se convirtió en pastor de la iglesia local y Leonhard pasó la mayor parte de su infancia.

Desde muy joven, Euler recibió instrucción en matemáticas de su padre, quien había tomado cursos de Jacob Bernoulli algunos años antes en la Universidad de Basilea. Alrededor de los ocho años, Euler fue enviado a vivir a la casa de su abuela materna y se matriculó en la escuela de latín en Basilea. Además, recibió tutoría privada de Johannes Burckhardt, un joven teólogo con un gran interés por las matemáticas.

En 1720, a los trece años, Euler se matriculó en la Universidad de Basilea. Asistir a la universidad a una edad tan temprana no era inusual en ese momento. El curso de matemáticas elementales fue impartido por Johann Bernoulli, el hermano menor del difunto Jacob Bernoulli. Johann Bernoulli y Euler pronto se conocieron mejor. Así es como lo expresa Euler en su autobiografía:"el famoso profesor Johann Bernoulli [...] se complació especialmente en ayudarme en las ciencias matemáticas. Sin embargo, rechazó las lecciones privadas debido a su apretada agenda. Sin embargo, me dio un consejo mucho más saludable., que consistía en conseguir algunos de los libros matemáticos más difíciles y trabajar con ellos con gran diligencia, y si encontraba algunas objeciones o dificultades, me ofreció acceso gratuito a él todos los sábados por la tarde, y fue lo suficientemente amable para comentar las dificultades reunidas, lo cual se hizo con tan deseada ventaja que, cuando resolvió una de mis objeciones, desaparecieron de golpe otras diez, lo que ciertamente es el mejor método para hacer felices progresos en las ciencias matemáticas”.

Fue durante este tiempo que Euler, respaldado por Bernoulli, obtuvo el consentimiento de su padre para convertirse en matemático en lugar de pastor.

En 1723, Euler recibió una Maestría en Filosofía con una disertación que comparaba las filosofías de René Descartes e Isaac Newton. Posteriormente se matriculó en la facultad de teología de la Universidad de Basilea.

En 1726, Euler completó una disertación sobre la propagación del sonido con el título De Sono con la que intentó sin éxito obtener un puesto en la Universidad de Basilea. En 1727, participó por primera vez en el concurso del premio de la Academia de París (ofrecido anualmente y luego cada dos años por la academia a partir de 1720). El problema de ese año era encontrar la mejor manera de colocar los mástiles en un barco. Pierre Bouguer, que se hizo conocido como "el padre de la arquitectura naval", ganó y Euler ocupó el segundo lugar. Euler finalmente participó en esta competencia 15 veces, ganando 12 de ellas.

Carrera profesional

San Petersburgo

Los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolaus, entraron en servicio en la Academia Imperial Rusa de Ciencias en San Petersburgo en 1725, dejando a Euler con la seguridad de que lo recomendarían para un puesto cuando hubiera uno disponible. El 31 de julio de 1726, Nicolás murió de apendicitis después de pasar menos de un año en Rusia. Cuando Daniel asumió el puesto de su hermano en la división de matemáticas/física, recomendó que el puesto de fisiología que había dejado vacante lo ocupara su amigo Euler. En noviembre de 1726, Euler aceptó con entusiasmo la oferta, pero retrasó el viaje a San Petersburgo mientras solicitaba sin éxito una cátedra de física en la Universidad de Basilea.

Euler llegó a San Petersburgo en mayo de 1727. Fue ascendido de su puesto menor en el departamento médico de la academia a un puesto en el departamento de matemáticas. Se alojó con Daniel Bernoulli con quien trabajó en estrecha colaboración. Euler dominó el ruso, se instaló en San Petersburgo y asumió un trabajo adicional como médico en la Armada rusa.

La academia de San Petersburgo, establecida por Pedro el Grande, tenía como objetivo mejorar la educación en Rusia y cerrar la brecha científica con Europa Occidental. Como resultado, se hizo especialmente atractivo para académicos extranjeros como Euler. La benefactora de la academia, Catalina I, que había continuado con las políticas progresistas de su difunto marido, murió antes de la llegada de Euler a San Petersburgo. La nobleza conservadora rusa ganó el poder luego de la ascensión de Pedro II, de doce años. La nobleza, sospechosa de los científicos extranjeros de la academia, recortó los fondos para Euler y sus colegas e impidió la entrada de estudiantes extranjeros y no aristocráticos al Gimnasio y las Universidades.

Las condiciones mejoraron ligeramente después de la muerte de Pedro II en 1730 y asumió la influencia alemana de Ana de Rusia. Euler ascendió rápidamente en los rangos de la academia y fue nombrado profesor de física en 1731. También dejó la Armada rusa, negándose a ser ascendido a teniente. Dos años más tarde, Daniel Bernoulli, harto de la censura y la hostilidad que enfrentó en San Petersburgo, partió hacia Basilea. Euler lo sucedió como jefe del departamento de matemáticas. En enero de 1734 se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell. Federico II había intentado contratar los servicios de Euler para su Academia de Berlín recién establecida en 1740, pero Euler inicialmente prefirió quedarse en San Petersburgo.Pero después de que el emperador Ana muriera y Federico II accediera a pagar 1600 ecus (lo mismo que ganaba Euler en Rusia), accedió a trasladarse a Berlín. En 1741, solicitó permiso para partir a Berlín, argumentando que necesitaba un clima más templado para su vista. La academia rusa dio su consentimiento y le pagaría 200 rublos por año como uno de sus miembros activos.

Berlina

Preocupado por la continua agitación en Rusia, Euler dejó San Petersburgo en junio de 1741 para ocupar un puesto en la Academia de Berlín, que le había ofrecido Federico el Grande de Prusia. Vivió durante 25 años en Berlín, donde escribió varios cientos de artículos. En 1748 se publicó su texto sobre funciones llamado Introductio in analysin infinitorum y en 1755 se publicó un texto sobre cálculo diferencial llamado Institutiones calculi differenceis. En 1755, fue elegido miembro extranjero de la Real Academia Sueca de Ciencias y de la Academia Francesa de Ciencias. Los estudiantes notables de Euler en Berlín incluyeron a Stepan Rumovsky, más tarde considerado como el primer astrónomo ruso.En 1748 rechazó una oferta de la Universidad de Basilea para suceder al recién fallecido Johann Bernoulli. En 1753 compró una casa en Charlottenburg, en la que vivió con su familia y su madre viuda.

Euler se convirtió en el tutor de Friederike Charlotte de Brandenburg-Schwedt, la princesa de Anhalt-Dessau y sobrina de Federico. Él le escribió más de 200 cartas a principios de la década de 1760, que luego se compilaron en un volumen titulado Cartas de Euler sobre diferentes temas de filosofía natural dirigidas a una princesa alemana. Este trabajo contenía la exposición de Euler sobre varios temas relacionados con la física y las matemáticas y ofrecía información valiosa sobre la personalidad y las creencias religiosas de Euler. Fue traducido a varios idiomas, publicado en toda Europa y en los Estados Unidos, y fue más leído que cualquiera de sus obras matemáticas. La popularidad de las letrasda testimonio de la capacidad de Euler para comunicar asuntos científicos de manera efectiva a un público lego, una habilidad rara para un científico investigador dedicado.

A pesar de la inmensa contribución de Euler al prestigio de la academia y de haber sido presentado como candidato a la presidencia por Jean le Rond d'Alembert, Federico II se nombró a sí mismo presidente. El rey de Prusia tenía un gran círculo de intelectuales en su corte y encontró al matemático poco sofisticado y mal informado en asuntos más allá de los números y las cifras. Euler era un hombre sencillo y devotamente religioso que nunca cuestionó el orden social existente o las creencias convencionales, en muchos sentidos el polo opuesto de Voltaire, quien disfrutó de un alto lugar de prestigio en la corte de Federico. Euler no era un hábil debatidor y, a menudo, se esforzaba por discutir temas de los que sabía poco, lo que lo convertía en el objetivo frecuente del ingenio de Voltaire.Frederick también expresó su decepción con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler, afirmando:

Quería tener un chorro de agua en mi jardín: Euler calculó la fuerza de las ruedas necesaria para elevar el agua hasta un depósito, desde donde debería volver a caer por unos canales, para finalmente brotar en Sanssouci. Mi molino estaba hecho geométricamente y no podía levantar un bocado de agua a menos de cincuenta pasos del depósito. ¡Vanidad de vanidades! ¡Vanidad de la geometría!

A lo largo de su estancia en Berlín, mantuvo una fuerte conexión con la academia de San Petersburgo y también publicó 109 artículos en Rusia. También ayudó a los estudiantes de la academia de San Petersburgo y, en ocasiones, acogió a estudiantes rusos en su casa de Berlín. En 1760, con la Guerra de los Siete Años en pleno apogeo, la granja de Euler en Charlottenburg fue saqueada por las tropas rusas que avanzaban. Al enterarse de este evento, el general Ivan Petrovich Saltykov pagó una compensación por los daños causados ​​​​a la herencia de Euler, y la emperatriz Isabel de Rusia agregó más tarde un pago adicional de 4000 rublos, una cantidad exorbitante en ese momento. Euler decidió abandonar Berlín en 1766 y regresar a Rusia.

Durante sus años en Berlín (1741-1766), Euler estuvo en la cima de su productividad. Escribió 380 obras, 275 de las cuales fueron publicadas. Esto incluyó 125 memorias en la Academia de Berlín y más de 100 memorias enviadas a la Academia de San Petersburgo, que lo retuvo como miembro y le pagó un estipendio anual. La Introductio in Analysin Infinitorum de Euler se publicó en dos partes en 1748. Además de su propia investigación, Euler supervisó la biblioteca, el observatorio, el jardín botánico y la publicación de calendarios y mapas de los que obtenía ingresos la academia. Incluso estuvo involucrado en el diseño de las fuentes de agua en Sans Souci, el palacio de verano del Rey.

Volver a rusia

La situación política en Rusia se estabilizó después del ascenso al trono de Catalina la Grande, por lo que en 1766 Euler aceptó una invitación para regresar a la Academia de San Petersburgo. Sus condiciones eran bastante exorbitantes: un salario anual de 3000 rublos, una pensión para su esposa y la promesa de nombramientos de alto rango para sus hijos. En la universidad fue asistido por su alumno Anders Johan Lexell. Mientras vivía en San Petersburgo, un incendio en 1771 destruyó su casa.

Vida personal

El 7 de enero de 1734 se casó con Katharina Gsell (1707-1773), hija de Georg Gsell, pintor del Academy Gymnasium de San Petersburgo. La joven pareja compró una casa junto al río Neva.

De sus trece hijos, solo cinco sobrevivieron a la infancia, tres hijos y dos hijas. Su primer hijo fue Johann Albrecht Euler, cuyo padrino fue Christian Goldbach.

Tres años después de la muerte de su esposa en 1773, Euler se casó con su media hermana, Salome Abigail Gsell (1723-1794). Este matrimonio duró hasta su muerte en 1783.

Su hermano Johann Heinrich se instaló en San Petersburgo en 1735 y trabajó como pintor en la academia.

Deterioro de la vista

La vista de Euler empeoró a lo largo de su carrera matemática. En 1738, tres años después de casi morir de fiebre, quedó casi ciego del ojo derecho. Euler culpó de su condición a la cartografía que realizó para la Academia de San Petersburgo, pero la causa de su ceguera sigue siendo objeto de especulación. La visión de Euler en ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, hasta el punto de que Federico se refirió a él como "cíclope". Euler comentó sobre su pérdida de visión y dijo: "Ahora tendré menos distracciones".En 1766 se descubrió una catarata en su ojo izquierdo, y unas semanas más tarde una restauración quirúrgica fallida lo dejó casi totalmente ciego. Sin embargo, su condición parecía tener poco efecto en su productividad. Con la ayuda de sus escribas, la productividad de Euler en muchas áreas de estudio aumentó y en 1775 produjo, en promedio, un artículo matemático cada semana.

Muerte

En San Petersburgo, el 18 de septiembre de 1783, después de un almuerzo con su familia, Euler estaba hablando con Lexell sobre el planeta Urano recién descubierto y su órbita cuando colapsó y murió de una hemorragia cerebral. Jacob von Staehlin [ de ] escribió un breve obituario para la Academia de Ciencias de Rusia y el matemático ruso Nicolas Fuss, uno de los discípulos de Euler, escribió un elogio más detallado, que pronunció en una reunión conmemorativa. En su elogio de la Academia Francesa, el matemático y filósofo francés Marqués de Condorcet escribió:

il cessa de calculer et de vivre -... dejó de calcular y de vivir.

Euler fue enterrado junto a Katharina en el cementerio luterano de Smolensk en la isla Vasilievsky. En 1837, la Academia Rusa de Ciencias instaló un nuevo monumento, reemplazando su placa funeraria cubierta de maleza. Para conmemorar el 250 aniversario del nacimiento de Euler en 1957, su tumba fue trasladada al Cementerio Lazarevskoe en el Monasterio Alexander Nevsky.

Contribuciones a las matemáticas y la física.

Parte de una serie de artículos sobre la
constante matemática e
Fórmula de Euler.svg
Propiedades
Logaritmo naturalFuncion exponencial
Aplicaciones
interés compuestola identidad de eulerfórmula de Eulervidas medias crecimiento exponencial y decaimiento
Definición de e
prueba de que e es irracionalrepresentaciones de eTeorema de Lindemann-Weierstrass
Gente
Juan NapierLeonhard Euler
Temas relacionados
la conjetura de schanuel
vtmi

Euler trabajó en casi todas las áreas de las matemáticas, como geometría, cálculo infinitesimal, trigonometría, álgebra y teoría de números, así como física continua, teoría lunar y otras áreas de la física. Es una figura seminal en la historia de las matemáticas; si se imprimieran, sus obras, muchas de las cuales son de fundamental interés, ocuparían entre 60 y 80 volúmenes en cuarto. Se ha propuesto que Euler fue responsable de un tercio de toda la producción científica y matemática del siglo XVIII.El nombre de Euler está asociado a una gran cantidad de temas. El trabajo de Euler tiene un promedio de 800 páginas al año desde 1725 hasta 1783. También escribió más de 4500 cartas y cientos de manuscritos. Se ha estimado que Leonard Euler fue el autor de una cuarta parte de la producción combinada de matemáticas, física, mecánica, astronomía y navegación en el siglo XVIII.

Notación matemática

Euler introdujo y popularizó varias convenciones de notación a través de sus numerosos y ampliamente difundidos libros de texto. En particular, introdujo el concepto de función y fue el primero en escribir f (x) para denotar la función f aplicada al argumento x. También introdujo la notación moderna para las funciones trigonométricas, la letra e para la base del logaritmo natural (ahora también conocido como número de Euler), la letra griega Σ para sumatorias y la letra i para denotar la unidad imaginaria. El uso de la letra griega πpara denotar la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro también fue popularizado por Euler, aunque se originó con el matemático galés William Jones.

Análisis

El desarrollo del cálculo infinitesimal estuvo a la vanguardia de la investigación matemática del siglo XVIII, y los Bernoulli, amigos de la familia de Euler, fueron responsables de gran parte de los primeros avances en este campo. Gracias a su influencia, el estudio del cálculo se convirtió en el foco principal del trabajo de Euler. Si bien algunas de las demostraciones de Euler no son aceptables según los estándares modernos de rigor matemático (en particular, su confianza en el principio de la generalidad del álgebra), sus ideas condujeron a muchos grandes avances. Euler es bien conocido en análisis por su frecuente uso y desarrollo de series de potencias, la expresión de funciones como sumas de infinitos términos, como

{displaystyle e^{x}=sum _{n=0}^{infty }{x^{n} over n!}=lim _{nto infty }left({frac {1}{0!}}+{frac {x}{1!}}+{frac {x^{2}}{2!}}+cdots +{frac {x^{n}} {n!}}derecha).}

El uso de series de potencias de Euler le permitió resolver el famoso problema de Basilea en 1735 (proporcionó un argumento más elaborado en 1741):

{displaystyle sum _{n=1}^{infty}{1over n^{2}}=lim _{nto infty}left({frac {1}{1^{ 2}}}+{frac {1}{2^{2}}}+{frac {1}{3^{2}}}+cdots +{frac {1}{n^{2} }}derecha)={frac {pi ^{2}}{6}}.}

introdujo la constante

{displaystyle gamma =lim _{nrightarrow infty }left(1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{3}}+{frac {1}{ 4}}+cdots +{frac {1}{n}}-ln(n)right)aprox. 0,5772,}

ahora conocida como la constante de Euler o la constante de Euler-Mascheroni, y estudió su relación con la serie armónica, la función gamma y los valores de la función zeta de Riemann.

Euler introdujo el uso de la función exponencial y los logaritmos en las pruebas analíticas. Descubrió formas de expresar varias funciones logarítmicas utilizando series de potencias y definió con éxito logaritmos para números negativos y complejos, ampliando así en gran medida el alcance de las aplicaciones matemáticas de los logaritmos. También definió la función exponencial para números complejos y descubrió su relación con las funciones trigonométricas. Para cualquier número real φ (considerado en radianes), la fórmula de Euler establece que la función exponencial compleja satisface

{displaystyle e^{ivarphi }=cos varphi +isin varphi.}

llamada "la fórmula más notable en matemáticas" por Richard P. Feynman

Un caso especial de la fórmula anterior se conoce como identidad de Euler,

{displaystyle e^{ipi}+1=0}

Euler elaboró ​​la teoría de las funciones trascendentales superiores al introducir la función gamma e introdujo un nuevo método para resolver ecuaciones cuárticas. Encontró una manera de calcular integrales con límites complejos, presagiando el desarrollo del análisis complejo moderno. Inventó el cálculo de variaciones y formuló la ecuación de Euler-Lagrange para reducir los problemas de optimización en esta área a la solución de ecuaciones diferenciales.

Euler fue pionero en el uso de métodos analíticos para resolver problemas de teoría de números. Al hacerlo, unió dos ramas dispares de las matemáticas e introdujo un nuevo campo de estudio, la teoría analítica de números. Al abrir camino a este nuevo campo, Euler creó la teoría de las series hipergeométricas, las series q, las funciones trigonométricas hiperbólicas y la teoría analítica de las fracciones continuas. Por ejemplo, demostró la infinitud de los números primos utilizando la divergencia de la serie armónica y utilizó métodos analíticos para comprender mejor la forma en que se distribuyen los números primos. El trabajo de Euler en esta área condujo al desarrollo del teorema de los números primos.

Teoría de los números

El interés de Euler por la teoría de los números se remonta a la influencia de Christian Goldbach, su amigo en la Academia de San Petersburgo. Gran parte del trabajo inicial de Euler sobre teoría de números se basó en el trabajo de Pierre de Fermat. Euler desarrolló algunas de las ideas de Fermat y refutó algunas de sus conjeturas, como su conjetura de que todos los números de la forma {estilo de texto 2^{2^{n}}+1}(números de Fermat) son primos.

Euler vinculó la naturaleza de la distribución prima con ideas en análisis. Demostró que la suma de los recíprocos de los números primos diverge. Al hacerlo, descubrió la conexión entre la función zeta de Riemann y los números primos; esto se conoce como la fórmula del producto de Euler para la función zeta de Riemann.

Euler inventó la función totient φ(n), el número de enteros positivos menores o iguales al entero n que son coprimos con n. Usando las propiedades de esta función, generalizó el pequeño teorema de Fermat a lo que ahora se conoce como el teorema de Euler. Contribuyó significativamente a la teoría de los números perfectos, que había fascinado a los matemáticos desde Euclides. Demostró que la relación que se muestra entre los números perfectos pares y los números primos de Mersenne demostrado anteriormente por Euclides era de uno a uno, un resultado también conocido como el teorema de Euclides-Euler.Euler también conjeturó la ley de reciprocidad cuadrática. El concepto es considerado como un teorema fundamental de la teoría de números, y sus ideas allanaron el camino para el trabajo de Carl Friedrich Gauss, particularmente Disquisitiones Arithmeticae. En 1772, Euler había demostrado que 2 − 1 = 2 147 483 647 es un número primo de Mersenne. Es posible que haya sido el número primo más grande conocido hasta 1867.

Euler contribuyó con importantes desarrollos a la teoría de las particiones de un número entero.

Teoría de grafos

En 1735, Euler presentó una solución al problema conocido como los Siete Puentes de Königsberg. La ciudad de Königsberg, Prusia, estaba ubicada en el río Pregel e incluía dos islas grandes que estaban conectadas entre sí y con el continente por siete puentes. El problema es decidir si es posible seguir un camino que cruce cada puente exactamente una vez y regrese al punto de partida. No es posible: no hay circuito euleriano. Esta solución se considera el primer teorema de la teoría de grafos.

Euler también descubrió la fórmula V-E+F=2que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo y, por lo tanto, de un gráfico plano. La constante en esta fórmula ahora se conoce como la característica de Euler para el gráfico (u otro objeto matemático) y está relacionada con el género del objeto. El estudio y generalización de esta fórmula, concretamente por parte de Cauchy y L'Huilier, está en el origen de la topología.

Física, astronomía e ingeniería.

Algunos de los mayores éxitos de Euler fueron la resolución analítica de problemas del mundo real y la descripción de numerosas aplicaciones de los números de Bernoulli, las series de Fourier, los números de Euler, las constantes e y π, las fracciones continuas y las integrales. Integró el cálculo diferencial de Leibniz con el método de fluxiones de Newton y desarrolló herramientas que facilitaron la aplicación del cálculo a problemas físicos. Hizo grandes avances en la mejora de la aproximación numérica de integrales, inventando lo que ahora se conoce como las aproximaciones de Euler. Las más notables de estas aproximaciones son el método de Euler y la fórmula de Euler-Maclaurin.

Euler ayudó a desarrollar la ecuación de la viga de Euler-Bernoulli, que se convirtió en la piedra angular de la ingeniería. Además de aplicar con éxito sus herramientas analíticas a problemas de mecánica clásica, Euler aplicó estas técnicas a problemas celestes. Su trabajo en astronomía fue reconocido con múltiples premios de la Academia de París a lo largo de su carrera. Sus logros incluyen determinar con gran precisión las órbitas de los cometas y otros cuerpos celestes, comprender la naturaleza de los cometas y calcular la paralaje del Sol. Sus cálculos contribuyeron al desarrollo de tablas de longitud precisas.

Euler hizo importantes contribuciones en óptica. No estaba de acuerdo con la teoría corpuscular de la luz de Newton, que era entonces la teoría predominante. Sus artículos sobre óptica de la década de 1740 ayudaron a garantizar que la teoría ondulatoria de la luz propuesta por Christiaan Huygens se convirtiera en el modo de pensamiento dominante, al menos hasta el desarrollo de la teoría cuántica de la luz.

En dinámica de fluidos, Euler fue el primero en predecir el fenómeno de la cavitación, en 1754, mucho antes de su primera observación a fines del siglo XIX, y el número de Euler utilizado en los cálculos de flujo de fluidos proviene de su trabajo relacionado sobre la eficiencia de las turbinas. En 1757 publicó un importante conjunto de ecuaciones para el flujo no viscoso en dinámica de fluidos, que ahora se conocen como ecuaciones de Euler.

Euler es bien conocido en ingeniería estructural por su fórmula que proporciona la carga crítica de Euler, la carga crítica de pandeo de una biela ideal, que depende únicamente de su longitud y rigidez a la flexión.

Lógica

A Euler se le atribuye el uso de curvas cerradas para ilustrar el razonamiento silogístico (1768). Estos diagramas se conocen como diagramas de Euler.

Un diagrama de Euler es un medio esquemático para representar conjuntos y sus relaciones. Los diagramas de Euler consisten en curvas cerradas simples (generalmente círculos) en el plano que representan conjuntos. Cada curva de Euler divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Los tamaños o formas de las curvas no son importantes; la importancia del diagrama está en cómo se superponen. Las relaciones espaciales entre las regiones delimitadas por cada curva (superposición, contención o ninguna) corresponden a relaciones de teoría de conjuntos (intersección, subconjunto y disyunción). Las curvas cuyas zonas interiores no se cortan representan conjuntos disjuntos. Dos curvas cuyas zonas interiores se cortan representan conjuntos que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva que está contenida completamente dentro de la zona interior de otra representa un subconjunto de la misma.

Los diagramas de Euler (y su refinamiento a los diagramas de Venn) se incorporaron como parte de la instrucción en la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático en la década de 1960. Desde entonces, se han generalizado como una forma de visualizar combinaciones de características.

Música

Uno de los intereses más inusuales de Euler fue la aplicación de ideas matemáticas en la música. En 1739 escribió Tentamen novae theoriae musicae (Intento de una nueva teoría de la música), con la esperanza de incorporar eventualmente la teoría musical como parte de las matemáticas. Esta parte de su trabajo, sin embargo, no recibió mucha atención y una vez fue descrita como demasiado matemática para los músicos y demasiado musical para los matemáticos. Incluso cuando se trata de música, el enfoque de Euler es principalmente matemático, incluida, por ejemplo, la introducción de logaritmos binarios como una forma de describir numéricamente la subdivisión de octavas en partes fraccionarias.Sus escritos sobre música no son especialmente numerosos (unos cientos de páginas, en su producción total de unas treinta mil páginas), pero reflejan una inquietud temprana y que no lo abandonará a lo largo de su vida.

Un primer punto de la teoría musical de Euler es la definición de "géneros", es decir, de posibles divisiones de octava utilizando los números primos 3 y 5. Euler describe 18 de estos géneros, con la definición general 2 A, donde A es el "exponente". del género (es decir, la suma de los exponentes de 3 y 5) y 2 (donde "m es un número indefinido, pequeño o grande, siempre que los sonidos sean perceptibles"), expresa que la relación se cumple independientemente del número de octavas en cuestión. El primer género, con A = 1, es la octava misma (o sus duplicados); el segundo género, 2.3, es la octava dividida por la quinta (quinta + cuarta, C–G–C); el tercer género es 2.5, tercera mayor + sexta menor (C–E–C); el cuarto es 2.3,-C); el quinto es 2.3.5 (C–E–G–B–C); etc. Los géneros 12 (2.3.5), 13 (2.3.5) y 14 (2.3.5) son versiones corregidas de la diatónica, cromática y enarmónica, respectivamente, de los Antiguos. El género 18 (2.3.5) es el "diatónico-cromático", "usado generalmente en todas las composiciones", y que resulta ser idéntico al sistema descrito por Johann Mattheson. Euler luego imaginó la posibilidad de describir géneros que incluyeran el número primo 7.

Euler ideó un gráfico específico, el Speculum musicum, para ilustrar el género diatónico-cromático, y discutió caminos en este gráfico para intervalos específicos, recordando su interés en los Siete Puentes de Königsberg (ver arriba). El dispositivo atrajo un renovado interés como Tonnetz en la teoría neo-riemanniana (ver también Lattice (música)).

Euler usó además el principio del "exponente" para proponer una derivación del gradus suavitatis (grado de suavidad, de amabilidad) de intervalos y acordes a partir de sus factores primos; hay que tener en cuenta que consideró la entonación justa, es decir, 1 y el números primos 3 y 5 solamente. Se han propuesto fórmulas que extienden este sistema a cualquier número de números primos, por ejemplo, en la forma

{displaystyle ds=sum_{i}(k_{i}p_{i}-k_{i})+1,}

donde p i son números primos y k i sus exponentes.

Filosofía personal y creencias religiosas.

Euler contrapuso los conceptos del monadismo de Leibniz y la filosofía de Christian Wolff. Euler insistió en que el conocimiento se funda en parte sobre la base de leyes cuantitativas precisas, algo que el monadismo y la ciencia wolffiana no pudieron proporcionar. Las inclinaciones religiosas de Euler también podrían haber influido en su disgusto por la doctrina; llegó a etiquetar las ideas de Wolff como "paganas y ateas".

Euler siguió siendo una persona religiosa durante toda su vida. Gran parte de lo que se sabe de las creencias religiosas de Euler se puede deducir de sus Cartas a una princesa alemana y de una obra anterior, Rettung der Göttlichen Offenbahrung gegen die Einwürfe der Freygeister (Defensa de la revelación divina contra las objeciones de los librepensadores). Estas obras muestran que Euler era un cristiano devoto que creía que la Biblia era inspirada; el Rettung fue principalmente un argumento a favor de la inspiración divina de las Escrituras.

Hay una famosa leyenda inspirada en las discusiones de Euler con los filósofos seculares sobre la religión, que se desarrolla durante el segundo período de Euler en la Academia de San Petersburgo. El filósofo francés Denis Diderot estaba de visita en Rusia por invitación de Catalina la Grande. Sin embargo, la emperatriz se alarmó de que los argumentos del filósofo a favor del ateísmo estuvieran influyendo en los miembros de su corte, por lo que se le pidió a Euler que confrontara al francés. Diderot fue informado de que un erudito matemático había presentado una prueba de la existencia de Dios: accedió a ver la prueba tal como se presentó ante el tribunal. Apareció Euler, avanzó hacia Diderot, y en tono de perfecta convicción anunció este non sequitur: "Señor,a+b/norte= x, por lo tanto, Dios existe: ¡respuesta!" Diderot, para quien (dice la historia) todas las matemáticas eran tonterías, se quedó estupefacto mientras estallaban carcajadas en la corte. Avergonzado, pidió salir de Rusia, una solicitud que fue graciosamente concedida por la emperatriz. Por divertida que sea la anécdota, es apócrifa, dado que el propio Diderot investigó en matemáticas. La leyenda aparentemente fue contada por primera vez por Dieudonné Thiébault con adornos de Augustus De Morgan.

Conmemoraciones

Euler apareció tanto en la sexta como en la séptima serie del billete de 10 francos suizos y en numerosos sellos postales suizos, alemanes y rusos. En 1782 fue elegido Miembro Honorario Extranjero de la Academia Estadounidense de las Artes y las Ciencias. El asteroide 2002 Euler fue nombrado en su honor.

Bibliografía seleccionada

Euler tiene una extensa bibliografía. Sus libros incluyen:

La mayor parte de las obras póstumas de Euler tardaron hasta 1830 en publicarse individualmente, con un lote adicional de 61 obras inéditas descubiertas por Paul Heinrich von Fuss, bisnieto de Euler e hijo de Nicolas Fuss, y publicadas como colección en 1862. Después de varias retrasos en el siglo XIX, una colección definitiva de las obras de Euler, titulada Opera Omnia, ha sido publicada desde 1911 por la Comisión Euler de la Academia Suiza de Ciencias. El matemático sueco Gustaf Eneström compiló un catálogo cronológico de las obras de Euler y lo publicó entre 1910 y 1913, y las obras de Euler a menudo se citan por su número en el índice de Eneström, desde E1 hasta E866.El Archivo Euler se inició en Dartmouth College antes de trasladarse a la Asociación Matemática de América y, más recientemente, a la Universidad del Pacífico en 2017.

En 1907, la Academia Suiza de Ciencias creó la comisión Euler y le encargó la publicación de las obras completas de Euler. Este proyecto comenzó en 1911, pero el descubrimiento de nuevos manuscritos siguió aumentando la magnitud de este proyecto. Afortunadamente, la publicación de la Opera Omnia de Euler ha progresado constantemente, con más de 70 volúmenes publicados hasta la fecha.Los 71 volúmenes de esta lista se publican en 74 tomos con un promedio de 426 páginas por volumen. Estos volúmenes están organizados en cuatro series. La primera serie recopila los trabajos de análisis, álgebra y teoría de números y tiene 29 volúmenes y más de 14.000 páginas. Los 31 tomos de la Serie II, que suman 10.660 páginas, contienen las obras de mecánica, astronomía e ingeniería. La serie III contiene 12 volúmenes sobre física. La publicación de la correspondencia masiva de Euler y de los manuscritos y notas inéditos recién comenzó en 1967. Este material constituirá la Serie IV, que se proyecta abarcará 16 volúmenes, nueve de los cuales han aparecido.