Lenguaje omega

En la teoría formal del lenguaje dentro de la ciencia informática teórica, una Palabra infinita es una secuencia de longitud infinita (específicamente, una secuencia de longitud ω) de símbolos, y una ω-language es un conjunto de palabras infinitas. Aquí, ω se refiere al primer número ordinal infinito, modelando un conjunto de números naturales.

Definición formal

Dejar que la Autoridad sea un conjunto de símbolos (no necesariamente finitos). Siguiendo la definición estándar de la teoría formal del lenguaje, la^* es el conjunto de todos finito palabras sobre la bah. Cada palabra finita tiene una longitud, que es un número natural. Dad una palabra. w de longitud n, w se puede ver como una función del conjunto {0,1,...,n−1} → bah, con el valor a i dando el símbolo en posición i. Las palabras infinitas, o ω-words, también se pueden ver como funciones de ${\displaystyle \mathbb {N}$ . El conjunto de todas las palabras infinitas sobre la^⋅. El conjunto de todo finito y Palabras infinitas sobre A veces se escribe la^JUEGO o la^≤.

Por lo tanto, un lenguaje ω L sobre Σ es un subconjunto de Σ^ω.

Operaciones

Algunas operaciones comunes definidas en lenguajes ω son:

Intersección y unión

Given ω-languages L y M, ambos L ∪ M y L ∩ M son ω-languages.

Concatenación izquierda

Vamos. L ser un lenguaje ω, y K ser un lenguaje de palabras finitas solamente. Entonces... K puede ser concatenado a la izquierda, y sólo a la izquierda, a L para ceder el nuevo lenguaje ω KL.

Omega (infinita iteración)

Como indica la notación, la operación ${\displaystyle (\cdot)^{\omega }$ es la versión infinita del operador estrella Kleene en lenguajes de longitud finita. Dado un idioma oficial L, L^⋅ es el lenguaje ω de todas las secuencias infinitas de palabras L; en la opinión funcional, de todas las funciones ${\displaystyle \mathbb {N} \to L}$.

Prefijos

Vamos. w Sé una palabra NIC. Entonces el idioma formal Pref(w) contiene cada uno finito prefijo de w.

Limit

Dada una lengua de longitud finita L, un ω-word w está en límite de L si Pref(w∩ L es un infinito Listo. En otras palabras, para un número natural arbitrariamente grande n, siempre es posible elegir alguna palabra en L, cuya longitud es mayor que n, y que es un prefijo de w. La operación límite en L puede ser escrito L^δ o ${\displaystyle {\vec}}$.

Distancia entre palabras ω

El conjunto de la^⋅ se puede convertir en un espacio métrico por definición de la métrica ${\displaystyle d:\Sigma ^{\omega }\times \Sigma ^{\omega }\rightarrow \mathbb {R}$ como:

${\displaystyle d(w,v)=\inf\{2^{-Sobre la vida eterna}\mid x\in \Sigma ^{*}\ {\text{y}\f} {\f}}\cap {\text{\f} {\f} {\f}\f}}}}$

Donde vivxtención se interpreta como "la longitud de x" (número de símbolos en x), y inf es el infimum sobre conjuntos de números reales. Si ${\displaystyle w=v}$ entonces no hay prefijo más largo x y así ${\displaystyle d(w,v)=0}$. La simetría está clara. Transitivity follows from the fact that if w y v tener un prefijo compartido maximal de longitud m y v y u tener un prefijo compartido maximal de longitud n entonces el primero ${\displaystyle \min\{m,n}$ personajes w y u debe ser lo mismo. $[\displaystyle d(w,u)\leq 2^{-\min\{m,n\}\leq 2^{-m}+2^{-n}=d(w,v)+d(v,u)}$. Por lo tanto d es una métrica.

Subclases importantes

La subclase más utilizada de las lenguas ω es el conjunto de lenguas ω-regulares, que disfrutan de la útil propiedad de ser reconocibles por los autómatas de Büchi. Por lo tanto, el problema de decisión de la pertenencia a un lenguaje ω-regular se puede decidir utilizando un autómata Büchi y es bastante sencillo de calcular.

Si el lenguaje Σ es el conjunto potencia de un conjunto (llamado "proposiciones atómicas"), entonces el lenguaje ω es una propiedad del tiempo lineal, que se estudia en la verificación de modelos.