Lemniscata de Bernoulli

Un lemniscate de Bernoulli y sus dos foci F₁ y F₂

El lemniscate de Bernoulli es la curva de pedal de una hiperbola rectangular

espirales sinusoidales (rⁿ = 1ⁿ Porque...No.), Silencio = π/2) en coordenadas polares y sus equivalentes en coordenadas rectangulares:

n = 2: Hiperbola equivalente

n = 1 -: Línea

n = 1/2: Parabola

n = 1/2: Cardioide

n = 1: Círculo

n = 2: Lemniscate de Bernoulli

En geometría, la lemniscata de Bernoulli es una curva plana definida a partir de dos puntos dados F₁ y F₂, conocidos como focos, a distancia 2c entre sí como el lugar geométrico de los puntos P de modo que PF₁·PF₂ = c². La curva tiene una forma similar al número 8 y al símbolo ∞. Su nombre proviene de lemniscatus, que en latín significa "decorado con cintas colgantes". Es un caso especial del óvalo de Cassini y es una curva algebraica racional de grado 4.

Esta lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como una modificación de una elipse, que es el lugar geométrico de los puntos para los cuales la suma de las distancias a cada uno de dos puntos focales fijos es una constante. Un óvalo de Cassini, por el contrario, es el lugar geométrico de los puntos para los cuales el producto de estas distancias es constante. En el caso de que la curva pase por el punto medio entre los focos, el óvalo es una lemniscata de Bernoulli.

Esta curva se puede obtener como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo de inversión centrado en el centro de la hipérbola (bisectriz de sus dos focos). También puede dibujarse mediante un enlace mecánico en forma de enlace de Watt, con las longitudes de las tres barras del enlace y la distancia entre sus puntos finales elegidos para formar un paralelogramo cruzado.

Ecuaciones

Las ecuaciones se pueden expresar en términos de la distancia focal c o la mitad del ancho a de una lemniscata. Estos parámetros están relacionados como a = c√2.

• Su ecuación cartesiana es (hasta traducción y rotación):

  ()x2+Sí.2)2=a2()x2− − Sí.2)=2c2()x2− − Sí.2){displaystyle {begin{aligned}left(x^{2}+y^{2}right)^{2} {2}left(x^{2}-y^{2}right)\2c^{2}left(x^{2}-y^{2}right)end{aligned}}}}}}}}

• Como ecuación paramétrica:

  x=a#⁡ ⁡ t1+pecado2⁡ ⁡ t;Sí.=apecado⁡ ⁡ t#⁡ ⁡ t1+pecado2⁡ ⁡ t{displaystyle x={frac {acos t}{1+sin ^{2}t};qquad y={frac {asin tcos t}{1+sin ^{2}t}}}} {f}}}}}} {f}}}}}}}

• Una parametrización racional:

  x=at+t31+t4;Sí.=at− − t31+t4{displaystyle x=a{frac {t+t^{3}{1+t^{4}}}qquad Y=a{frac {T-t^{3}{1+t^{4}}

• En coordenadas polares:

  r2=a2#⁡ ⁡ 2Silencio Silencio {displaystyle.

• Su ecuación en el plano complejo es:

  Silencioz− − cSilencioSilencioz+cSilencio=c2{displaystyle ← }

• En coordenadas bipolar de dos centavos:

  rr.=c2{displaystyle rr'=c^{2}

• En coordenadas polares racionales:

  Q=2s− − 1{displaystyle Q=2s-1}

Longitud de arco y funciones elípticas

La lemniscate sine y cosine relacionan la longitud del arco de un arco de la lemniscate a la distancia de un punto final del origen.

La determinación de la longitud de arco de los arcos de la lemniscata conduce a integrales elípticas, como se descubrió en el siglo XVIII. Alrededor de 1800, las funciones elípticas que invierten esas integrales fueron estudiadas por C. F. Gauss (en gran parte inéditas en ese momento, pero con alusiones en las notas de sus Disquisitiones Arithmeticae). Los retículos de período tienen una forma muy especial, siendo proporcionales a los enteros gaussianos. Por esta razón, el caso de funciones elípticas con multiplicación compleja por √−1 se denomina caso lemniscatic en algunas fuentes.

Usando la integral elíptica

arcsl⁡ ⁡ x=def∫ ∫ 0xdt1− − t4{displaystyle operatorname {arcsl} x{stackrel {fnMicrosoft} {fnK}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}} {f}}}}} {f}}}} {f}}}}}} {f}}}}} {f}}} {f}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} { ¿Qué? {dt}{sqrt {1-t^{4}}}}

la fórmula de la longitud del arco L se puede dar como

L=42c∫ ∫ 01dt1− − t4=42carcsl⁡ ⁡ 1=.. ()1/4)2π π c=2π π M⁡ ⁡ ()1,1/2)c.. 7.416⋅ ⋅ c{displaystyle {begin{aligned}L ventaja=4{sqrt {2},cint _{0}{1}{frac {dt}{sqrt {1-t^{4}}=4{sqrt {2},c,fone {arcsl} 1[6pt] {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} },c={frac {2pi} ##### ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ## ##operatorname {M} (1,1/{sqrt {2}}}}capprox 7{}416cdot cend{aligned}}}

Donde .. {displaystyle "Gamma" es la función gamma y M{displaystyle operatorname {M} es la media aritmética-geométrica.

Ángulos

Dados dos puntos distintos A{displaystyle {rm {}}} y B{displaystyle {rm {}}}, vamos M{displaystyle {rm {}}} ser el punto medio de AB{displaystyle {rm {}}}. Luego el lemniscate del diámetro AB{displaystyle {rm {}}} también se puede definir como el conjunto de puntos A{displaystyle {rm {}}}, B{displaystyle {rm {}}}, M{displaystyle {rm {}}}, junto con el locus de los puntos P{displaystyle {rm {}}} tales que SilencioAPM^ ^ − − BPM^ ^ Silencio{fnMicrosoft Sans Serif} {APM}}-{widehat {rm {BPM}tuvo} es un ángulo recto (cf. el teorema de Thales y su contra).

relación entre ángulos en la lemniscate de Bernoulli

El siguiente teorema sobre los ángulos que aparecen en la lemniscata se debe al matemático alemán Gerhard Christoph Hermann Vechtmann, quien lo describió en 1843 en su disertación sobre las lemniscatas.

F₁ y F₂ son el foci de la lemniscate, O es el punto medio del segmento de línea F₁F₂ y P es cualquier punto en el lemniscate fuera de la línea de conexión F₁ y F₂. La normalidad n de la lemniscate en P intersecta la línea que conecta F₁ y F₂ dentro R. Ahora el ángulo interior del triángulo OPR a O es un tercio del ángulo exterior del triángulo R (ver también trisección de ángulo). Además el ángulo interior P es el doble del ángulo interior O.

Otras propiedades

La inversión de hiperbola produce un lemniscate

• El lemniscate es simétrico a la línea que conecta su foci F₁ y F₂ y también al bisector perpendicular del segmento de línea F₁F₂.
• El lemniscate es simétrico al punto medio del segmento de línea F₁F₂.
• El área encerrada por el lemniscate es a² = 2c².
• El lemniscate es la inversión del círculo de una hiperbola y viceversa.
• Los dos tangentes en el punto medio O son perpendiculares, y cada uno de ellos forma un ángulo π/4 con la línea de conexión F₁ y F₂.
• La sección transversal plano de un tangente torus estándar a su ecuador interior es un lemniscate.
• La curvatura ()x,Sí.){displaystyle (x,y)} es 3a2x2+Sí.2{displaystyle {3 over a^{2}{sqrt {x^{2}+y^{2}}}. La curvatura máxima, que ocurre en ()± ± a,0){displaystyle (pm a,0)}Por lo tanto, 3/a{displaystyle 3/a}.

Aplicaciones

La dinámica de esta curva y sus versiones más generalizadas se estudian en modelos casi unidimensionales.