Lemniscata

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El lemniscate de Bernoulli y sus dos foci

En geometría algebraica, una lemniscata (o) es cualquiera de varias curvas con forma de ocho o de . La palabra proviene del latín lēmniscātus, que significa "decorado con cintas", del griego λημνίσκος (lēmnískos), que significa "cinta", o que alternativamente puede referirse a la lana de la que se hacían las cintas.

Las curvas que se han denominado lemniscatas incluyen tres curvas planas de grado cuártico: la hipopeda o lemniscata de Booth, la lemniscata de Bernoulli y la lemniscata de Gerono. La hipopeda fue estudiada por Proclo (siglo V), pero el término "lemniscata" no se utilizó hasta el trabajo de Jacob Bernoulli a fines del siglo XVII.

Historia y ejemplos

Lemniscate of Booth

Lemniscate of Booth

El estudio de las curvas con forma de ocho se remonta a Proclo, un filósofo y matemático neoplatónico griego que vivió en el siglo V d. C. Proclo consideró las secciones transversales de un toro mediante un plano paralelo al eje del toro. Como observó, para la mayoría de estas secciones, la sección transversal consta de uno o dos óvalos; sin embargo, cuando el plano es tangente a la superficie interna del toro, la sección transversal adquiere una forma de ocho, que Proclo llamó grillete de caballo (un dispositivo para mantener juntas las dos patas de un caballo), o "hipopótamo" en griego. El nombre "lemniscata de Booth" para esta curva se remonta a su estudio por el matemático del siglo XIX James Booth.

El lemniscate puede definirse como una curva algebraica, el conjunto cero del polinomio cuartico cuando el parámetro d es negativo (o cero para el caso especial donde la lemniscate se convierte en un par de círculos externamente tangentes). Para valores positivos d uno obtiene el oval de Booth.

Lemniscate of Bernoulli

Lemniscate of Bernoulli

En 1680, Cassini estudió una familia de curvas, hoy denominada óvalo de Cassini, definida de la siguiente manera: el lugar geométrico de todos los puntos cuyo producto de las distancias a dos puntos fijos, los focos de las curvas, es una constante. En circunstancias muy particulares (cuando la semidistancia entre los puntos es igual a la raíz cuadrada de la constante) esto da lugar a una lemniscata.

En 1694, Johann Bernoulli estudió el caso de lemniscate del oval de Cassini, ahora conocido como el lemniscate de Bernoulli (shown above), en relación con un problema de "isocrones" que había sido planteado anteriormente por Leibniz. Como el hippopede, es una curva algebraica, el conjunto cero del polinomio . El hermano de Bernoulli Jacob Bernoulli también estudió la misma curva en el mismo año, y le dio su nombre, el lemniscate. También puede definirse geométricamente como el locus de puntos cuyo producto de distancias de dos foci equivale a la plaza de la mitad de la distancia interfocal. Es un caso especial de la hippopede (lemniscate de Booth), con , y puede ser formado como una sección transversal de un toro cuyo agujero interior y secciones circulares tienen el mismo diámetro que el otro. Las funciones elípticas lemniscatas son análogos de funciones trigonométricas para el lemniscate de Bernoulli, y las constantes de lemniscate surgen para evaluar la longitud del arco de este lemniscate.

Lemniscate de Gerono

Lemniscate de Gerono: conjunto de soluciones x4x2 + Sí.2 = 0

Otro lemniscate, el lemniscate de Gerono o lemniscate de Huygens, es el conjunto cero del polinomio cuartico . La curva de Viviani, una curva tridimensional formada por la intersección de una esfera con un cilindro, también tiene una figura ocho forma, y tiene la lemniscate de Gerono como su proyección planaria.

Otros

Otras curvas algebraicas con forma de ocho incluyen:

  • La curva del diablo, una curva definida por la ecuación cuartica en el que un componente conectado tiene una forma de figura-ocho,
  • La curva de Watt, una curva de forma de figura-ocho formada por una vinculación mecánica. La curva de Watt es el conjunto cero de la ecuación polinomio grado-seis y tiene el lemniscate de Bernoulli como un caso especial.

Véase también

  • Analemma, la curva en forma de figura-ocho trazada por las posiciones de mediodía del sol en el cielo durante un año
  • Símbolo infinito
  • Lemniscates as generalized conics
  • Lorenz, un sistema dinámico tridimensional que exhibe una forma de lemniscate
  • Lemniscate polinomio, un nivel del valor absoluto de un complejo polinomio

Referencias

  1. ^ "lemniscate". Dictionary.com Unbridged (Online). N.D.
  2. ^ a b c d Schappacher, Norbert (1997), "Algunos hitos de la lemniscatomy", Geometría algebraica (Ankara, 1995), Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics, vol. 193, New York: Dekker, pp. 257–290, MR 1483331.
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  • "Lemniscates", Enciclopedia de Matemáticas, EMS Press, 2001 [1994]