Lema de itô

En matemáticas, el lema de Itô o fórmula de Itô (también llamada fórmula de Itô-Doeblin, especialmente en la literatura francesa) es una identidad utilizada en el cálculo de Itô para encontrar el diferencial de una función dependiente del tiempo de un proceso estocástico. Sirve como la contraparte del cálculo estocástico de la regla de la cadena. Se puede derivar heurísticamente formando la expansión de la función en serie de Taylor hasta sus segundas derivadas y reteniendo los términos hasta el primer orden en el incremento de tiempo y el segundo orden en el incremento del proceso de Wiener. El lema se emplea ampliamente en finanzas matemáticas y su aplicación más conocida es la derivación de la ecuación de Black-Scholes para valores de opciones.

Motivación

Supongamos que nos dan la ecuación diferencial estocástica

dXt=μ μ tdt+σ σ tdBt,{displaystyle dX_{t}=mu ¿Qué? DB_{t},}

μ μ t,σ σ t{displaystyle mu _{t},sigma ¿Qué?

Xt{displaystyle X_{t}

Bt.{displaystyle B_{t}.

Xt=∫ ∫ 0tμ μ sds+∫ ∫ 0tσ σ sdBs.{displaystyle X_{t}=int ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? DB_{s}.

Esta expresión nos permite leer fácilmente la media y la varianza de Xt{displaystyle X_{t} (que no tiene momentos más altos). Primero, note que cada dBt{displaystyle mathrm {d} B_{t} individualmente significa 0, así que el valor de expectativa Xt{displaystyle X_{t} es simplemente la parte integral de la función de deriva:

E[Xt]=∫ ∫ 0tμ μ sds.{displaystyle mathrm {E} [X_{t]=int ¿Qué? - Sí.

Del mismo modo, porque dB{displaystyle dB} los términos tienen varianza 1 y ninguna correlación entre sí, la diferencia Xt{displaystyle X_{t} es simplemente la parte integral de la varianza de cada paso infinitesimal en el paseo al azar:

Var[Xt]=∫ ∫ 0tσ σ s2ds.{displaystyle mathrm {Var} [X_{t]=int _{0}sigma} ¿Qué?

Sin embargo, a veces nos enfrentamos a una ecuación diferencial estocástica para un proceso más complejo Yt,{displaystyle Y... en el cual el proceso aparece en ambos lados de la ecuación diferencial. Eso es, digamos

dYt=a1()Yt,t)dt+a2()Yt,t)dBt,{displaystyle ¿Qué? DB_{t},}

a1{displaystyle A_{1}

a2.{displaystyle a_{2}.

Yt{displaystyle Y...

Xt{displaystyle X_{t}

f()t,x),μ μ t,{displaystyle f(t,x),mu _{t},}

σ σ t,{displaystyle sigma _{t},}

Yt=f()t,Xt){displaystyle Sí.

dXt=μ μ tdt+σ σ tdBt.{displaystyle dX_{t}=mu ¿Qué? DB_{t}.

Derivación informal

Una prueba formal del lema se basa en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias. Este enfoque no se presenta aquí ya que implica una serie de detalles técnicos. En cambio, damos un bosquejo de cómo se puede derivar el lema de It al expandir una serie de Taylor y aplicar las reglas del cálculo estocástico.

Suponga que X_t es un proceso de difusión de deriva de Itô que satisface el estocástico ecuación diferencial

dXt=μ μ tdt+σ σ tdBt,{displaystyle dX_{t}=mu ¿Qué? ¿Qué?

donde B_t es un proceso de Wiener.

Si f(t,x) es una función escalar dos veces diferenciable, su expansión en una serie de Taylor es

df=∂ ∂ f∂ ∂ tdt+12∂ ∂ 2f∂ ∂ t2dt2+⋯ ⋯ +∂ ∂ f∂ ∂ xdx+12∂ ∂ 2f∂ ∂ x2dx2+⋯ ⋯ .{displaystyle df={frac {partial f}{partial {fnMicroc} {fnMicroc {f} {f} {f} {f} {f} {f} {f}} {f}} {f}f}}f}f}f} {f} {f}} {f}f}}f}f}}}}}}}}}\\\\f}\\f}\\f}f}f}\\f}f}f}\\\f}\\\f}\\\f}\\\\f}\\\\f}\f}\f}f}\\f}\\f}f}f}\\f}\\\f}f}f}\\\\\\f}\\f} ¿Qué? ##{frac {partial f}{partial ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué?

Sustituyendo X_t por x y por lo tanto μ_t dt + σ_t dB_t para dx da

df=∂ ∂ f∂ ∂ tdt+12∂ ∂ 2f∂ ∂ t2dt2+⋯ ⋯ +∂ ∂ f∂ ∂ x()μ μ tdt+σ σ tdBt)+12∂ ∂ 2f∂ ∂ x2()μ μ t2dt2+2μ μ tσ σ tdtdBt+σ σ t2dBt2)+⋯ ⋯ .{displaystyle df={frac {partial f}{partial {fnMicrosoft Sans Serif} ##{frac {partial f}{partial x}mu _{t},dt+sigma ¿Por qué? {2}{2} {f}m}m}m}m}m}m} {m} {m} {m} {f}}}}}m}}}m} {m}}m} {m} {m}}}m} {m} {m}}}}m} {m}}}}} {m}}}}}}}}}}m}}m}mmm}m}m}m}mm}m}mmmmmm}m}m}m}m}}mmm}mmmmmmmm}m}m}mmmmmmmm}m}m}m}m}m}m}m}m}m}mm}}}}m}} ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué?

En el límite dt → 0, los términos dt ² y dt dB_t tiende a cero más rápido que dB², que es O(dt). Configuración de dt² y dt dB_t términos a cero, sustituyendo dt por dB² (debido a la variación cuadrática de un proceso de Wiener), y recolectando los <span class="texhtml" dt y dB términos, obtenemos

df=()∂ ∂ f∂ ∂ t+μ μ t∂ ∂ f∂ ∂ x+σ σ t22∂ ∂ 2f∂ ∂ x2)dt+σ σ t∂ ∂ f∂ ∂ xdBt{displaystyle df=left({frac {partial f}{partial {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} # {fnMicroc {sigma} {f} {f}f}}derecha)dt+sigma {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} ♪♪

según sea necesario.

Formulación matemática del lema de Itô

En las siguientes subsecciones analizamos versiones del lema de It para diferentes tipos de procesos estocásticos.

Procesos de deriva-difusión de Itô (debido a: Kunita–Watanabe)

En su forma más simple, el lema de Itô establece lo siguiente: para un proceso de difusión por deriva de Itô

dXt=μ μ tdt+σ σ tdBt{displaystyle dX_{t}=mu ¿Qué? ¿Qué?

y cualquier función escalar dos veces diferenciable f(t,x) de dos variables reales t y x, uno tiene

df()t,Xt)=()∂ ∂ f∂ ∂ t+μ μ t∂ ∂ f∂ ∂ x+σ σ t22∂ ∂ 2f∂ ∂ x2)dt+σ σ t∂ ∂ f∂ ∂ xdBt.{displaystyle df(t,X_{t})=left({frac {partial f}{partial f} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} # {fnMicroc {sigma} {f} {f}f}}derecha)dt+sigma {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif}.

Esto implica inmediatamente que f(t,X_t) es en sí mismo un proceso de difusión por deriva de Itô.

En dimensiones superiores, si Xt=()Xt1,Xt2,...... ,Xtn)T{displaystyle mathbf {X} _{t}=(X_{t}{1},X_{t}^{2},ldotsX_{t}{n}}} {T}} es un vector de procesos Itô tal que

dXt=μ μ tdt+GtdBt{displaystyle dmathbf {X} ¿Qué? # }_{t},dt+mathbf {G} {B}

para un vector μ μ t{displaystyle {boldsymbol {mu} } y matriz Gt{displaystyle mathbf {G} _{t}, Itô's lemma entonces afirma que

df()t,Xt)=∂ ∂ f∂ ∂ tdt+()Silencio Silencio Xf)TdXt+12()dXt)T()HXf)dXt,={}∂ ∂ f∂ ∂ t+()Silencio Silencio Xf)Tμ μ t+12Tr[GtT()HXf)Gt]}dt+()Silencio Silencio Xf)TGtdBt{displaystyle {begin{aligned}df(t,mathbf {X} _{t}) ventaja={frac {partial f}{partial f}{partial },dt+left(nabla _{mathbf {X} }fright)},dmathbf {X} ¿Por qué? {X} }fright),dmathbf {X} _{t},\\fnMicroc {partial f}{partial. - No. {X} }fright)}{T}{boldsymbol {mu} }_{t}+{frac {1}{2}Trleft[mathbf] [G] _{T}left(H_{mathbf] {X} }fright)mathbf {G} _{t}right}dt+left(nabla) - No. {X} }fright) {T}Mathbf {G} {B} {fn} {fn} {fnK}}} {fn}} {fn}} {fn}} {fn}}}} {fn}}}}} {fn}}}}}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}

Donde Silencio Silencio Xf{displaystyle nabla _{mathbf {X}f} es el gradiente de f w.r.t. X, H_X f es la matriz hesiana de f w.r.t. X, y Tr es el operador de trazas.

Procesos de salto de Poisson

También podemos definir funciones sobre procesos estocásticos discontinuos.

Sea h la intensidad del salto. El modelo de proceso de Poisson para saltos es que la probabilidad de un salto en el intervalo [t, t + Δt] es hΔt más términos de orden superior. h podría ser una constante, una función determinista del tiempo o un proceso estocástico. La probabilidad de supervivencia p_s(t) es la probabilidad de que no haya ocurrido ningún salto en el intervalo [0, t]. El cambio en la probabilidad de supervivencia es

dps()t)=− − ps()t)h()t)dt.{displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t),dt.}

Entonces

ps()t)=exp⁡ ⁡ ()− − ∫ ∫ 0th()u)du).{displaystyle p_{s}(t)=exp left(-int _{0} {t}h(u),duright). }

Vamos S()t) ser un proceso estocástico discontinua. Escriba S()t− − ){displaystyle S(t^{-})} para el valor S como nos acercamos t de la izquierda. Escriba djS()t){displaystyle d_{j}S(t)} para el cambio no infinito en S()t) como resultado de un salto. Entonces...

djS()t)=limΔ Δ t→ → 0()S()t+Δ Δ t)− − S()t− − )){displaystyle d_{j}S(t)=lim _{Delta tto 0}(S(t+Delta t)-S(t^{-})}

Vamos z ser la magnitud del salto y dejar .. ()S()t− − ),z){displaystyle eta (S(t^{-}),z)} ser la distribución de z. La magnitud esperada del salto es

E[djS()t)]=h()S()t− − ))dt∫ ∫ zz.. ()S()t− − ),z)dz.{displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}),dtint _{z}zeta (S(t^{-}),z),dz.}

Define dJS()t){displaystyle dJ_{S}(t)}, un proceso compensado y martingale, como

dJS()t)=djS()t)− − E[djS()t)]=S()t)− − S()t− − )− − ()h()S()t− − ))∫ ∫ zz.. ()S()t− − ),z)dz)dt.{displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)=S(t^{-})-left(h(S(t^{-})int _{z}zleft(S(t^{-}),zright),dzright)

Entonces

djS()t)=E[djS()t)]+dJS()t)=h()S()t− − ))()∫ ∫ zz.. ()S()t− − ),z)dz)dt+dJS()t).{displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))left(int _{z}zeta (S(t^{-}),z),dzright)dt+dJ_{S}(t). }

Considerar una función g()S()t),t){displaystyle g(S(t),t)} del proceso de salto DS()t). Si S()t) saltos por Δs entonces g()t) saltos por Δg. Δg de distribución .. g()){displaystyle eta _{g}()} que puede depender de g()t− − ){displaystyle g(t^{-})}, Dg y S()t− − ){displaystyle S(t^{-})}. La parte del salto g{displaystyle g} es

g()t)− − g()t− − )=h()t)dt∫ ∫ Δ Δ gΔ Δ g.. g()⋅ ⋅ )dΔ Δ g+dJg()t).{displaystyle g(t)-g(t^{-})=h(t),dtint _{Delta g},Delta geta _{g}(cdot),dDelta g+dJ_{g}(t).}

Si S{displaystyle S. contiene partes de deriva, difusión y salto, luego Lemma de Itô g()S()t),t){displaystyle g(S(t),t)} es

dg()t)=()∂ ∂ g∂ ∂ t+μ μ ∂ ∂ g∂ ∂ S+σ σ 22∂ ∂ 2g∂ ∂ S2+h()t)∫ ∫ Δ Δ g()Δ Δ g.. g()⋅ ⋅ )dΔ Δ g))dt+∂ ∂ g∂ ∂ Sσ σ dW()t)+dJg()t).{displaystyle dg(t)=left({frac {partial g}{partial t}}+mu {frac {partial g}{partial g}{partial g}{partial t}}}mu {m} {fnMic {f}fnh}f}fnh}f}f}f}f}f}f}f}f}fnh}f}f}f}f}f}f}f}fnh}f}fnKf}fnKf}f}f}f}f}f}fnKfnh}fnh}b}fnhbhbhfnKfnh}fnh}fnKfnh00}fnh}fnKbh}bh}bh}fn S}+{frac {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft ] {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans} {f}fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}f}fnMicrosoft Sans}f}fnMicrosoft Sans {fnMicrosoft Sans} {fnMicrosoft Sans}fnMicrosoft Sans}fn

El lema de It para un proceso que es la suma de un proceso de deriva-difusión y un proceso de salto es solo la suma del lema de It para las partes individuales.

Semimartingalas no continuas

El lema de Itô también se puede aplicar a semimartingalas d-dimensionales generales, que no necesitan ser continuas. En general, una semimartingala es un proceso càdlàg, y es necesario agregar un término adicional a la fórmula para garantizar que los saltos del proceso estén correctamente dados por el lema Itô's. Para cualquier proceso cadlag Y_t, el límite izquierdo en t se denota por Y_t−, que es un continuo a la izquierda proceso. Los saltos se escriben como ΔY_t = Y_t − Y_t−. Entonces, el lema de Itô establece que si X = (X¹, X ²,..., X^d) es un d-semimartingala dimensional y f es una función de valor real dos veces continuamente diferenciable en R^d entonces f(X) es una semimartingala, y

f()Xt)=f()X0)+.. i=1d∫ ∫ 0tfi()Xs− − )dXsi+12.. i,j=1d∫ ∫ 0tfi,j()Xs− − )d[Xi,Xj]s+.. s≤ ≤ t()Δ Δ f()Xs)− − .. i=1dfi()Xs− − )Δ Δ Xsi− − 12.. i,j=1dfi,j()Xs− − )Δ Δ XsiΔ Δ Xsj).{displaystyle {begin{aligned}f(X_{t}) ##{i=1} {d}int ¿Por qué? {1}{2}sum ##{i,j=1} {d}int ¿Qué? X^{j} +sum _{sleq t}left(Delta f(X_{s})-sum ¿Por qué? Delta X. {1}{2}sum ¿Por qué? Delta X.

Esto difiere de la fórmula para semimartingalas continuas por el término adicional que suma los saltos de X, lo que asegura que el salto del lado derecho en el tiempo t es Δf(X_t).

Múltiples procesos de salto no continuos

También hay una versión de esto para una función f dos veces continua diferenciable en el espacio una vez en el tiempo evaluada en semi-martingalas no continuas (potencialmente diferentes) que se puede escribir de la siguiente manera:

<math alttext="{displaystyle {begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},ldotsX_{t}^{d})={}&f(0,X_{0}^{1},ldotsX_{0}^{d})+int _{0}^{t}{dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},ldotsX_{s_{-}}^{d})d{s}\&{}+sum _{i=1}^{d}int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},ldotsX_{s_{-}}^{d}),dX_{s}^{(c,i)}\&{}+{frac {1}{2}}sum _{i_{1},ldotsi_{d}=1}^{d}int _{0}^{t}f_{i_{1},ldotsi_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},ldotsX_{s_{-}}^{d}),dX_{s}^{(c,i_{1})}cdots X_{s}^{(c,i_{d})}\&{}+sum _{0f()t,Xt1,...... ,Xtd)=f()0,X01,...... ,X0d)+∫ ∫ 0tfÍ Í ()s− − ,Xs− − 1,...... ,Xs− − d)ds+.. i=1d∫ ∫ 0tfi()s− − ,Xs− − 1,...... ,Xs− − d)dXs()c,i)+12.. i1,...... ,id=1d∫ ∫ 0tfi1,...... ,id()s− − ,Xs− − 1,...... ,Xs− − d)dXs()c,i1)⋯ ⋯ Xs()c,id)+.. 0.s≤ ≤ t[f()s,Xs1,...... ,Xsd)− − f()s− − ,Xs− − 1,...... ,Xs− − d)]{fnMicrosoft Sans Serif} {fnMicrosoft Sans Serif} {f} {f} {f} {f} {f}}} {f}} {f}} {f}}} {f} {f}}} {f}} {f}}} {f}} {f}}}} {f}}}}}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}} {f}}}}}}} {f}}}}}}}}}}}}}}} {ccf}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}} {c}}}}} {ccccccccccccccccccccccccccccccc ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? {1}{2}sum _{i_{1},ldotsi_{d}=1}{d}int ¿Por qué? ¿Qué?<img alt="{displaystyle {begin{aligned}f(t,X_{t}^{1},ldotsX_{t}^{d})={}&f(0,X_{0}^{1},ldotsX_{0}^{d})+int _{0}^{t}{dot {f}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},ldotsX_{s_{-}}^{d})d{s}\&{}+sum _{i=1}^{d}int _{0}^{t}f_{i}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},ldotsX_{s_{-}}^{d}),dX_{s}^{(c,i)}\&{}+{frac {1}{2}}sum _{i_{1},ldotsi_{d}=1}^{d}int _{0}^{t}f_{i_{1},ldotsi_{d}}({s_{-}},X_{s_{-}}^{1},ldotsX_{s_{-}}^{d}),dX_{s}^{(c,i_{1})}cdots X_{s}^{(c,i_{d})}\&{}+sum _{0

Donde Xc,i{displaystyle X^{c, Yo... denota la parte continua de la isemi-martingale.

Ejemplos

Movimiento browniano geométrico

Se dice que un proceso S sigue un movimiento geométrico Browniano con volatilidad constante σ and constant drift μ si satisface la ecuación diferencial estocástica dSt=σ σ StdBt+μ μ Stdt{displaystyle DS_{t}=sigma S_{t},dB_{t}+mu S_{t},dt}, para una moción Brownian B. Aplicando la lema de Itô con f()St)=log⁡ ⁡ ()St){displaystyle f(S_{t}=log(S_{t})} da

df=f.. ()St)dSt+12f.. .. ()St)()dSt)2=1StdSt+12()− − St− − 2)()St2σ σ 2dt)=1St()σ σ StdBt+μ μ Stdt)− − 12σ σ 2dt=σ σ dBt+()μ μ − − σ σ 22)dt.{displaystyle {begin{aligned}df sensible=f^{prime }(S_{t}),dS_{t}+{frac {1}{2}f^{primeprime }(S_{t})(dS_{t})^{2}\\={frac} {1}{t},dS_{t}+{frac} {1}{2}(-S_{t}{-2}) ¿Por qué? S_{t},dB_{t}+mu S_{t},dtright)-{2}sigma ^{2},dt\ ,dB_{t}+left(mu - ¿Qué? {sigma Bien.

Se sigue que

log⁡ ⁡ ()St)=log⁡ ⁡ ()S0)+σ σ Bt+()μ μ − − σ σ 22)t,{displaystyle log(S_{t})=log(S_{0})+sigma B_{t}+left(mu -{tfrac No, no.

la exponenciación da la expresión para S,

St=S0exp⁡ ⁡ ()σ σ Bt+()μ μ − − σ σ 22)t).{displaystyle S_{t}=S_{0}exp left(sigma B_{t}+left(mu -{tfrac {sigma ^{2}{2}right)tright).}

El término de corrección de − σ² /2 corresponde a la diferencia entre el mediana y media de la distribución logarítmica normal, o de manera equivalente para esta distribución, la media geométrica y la media aritmética, siendo la mediana (media geométrica) más baja. Esto se debe a la desigualdad AM-GM y corresponde a que el logaritmo es cóncavo (o convexo hacia arriba), por lo que el término de corrección puede interpretarse como una corrección de convexidad. Esta es una versión infinitesimal del hecho de que el rendimiento anualizado es menor que el rendimiento promedio, con la diferencia proporcional a la varianza. Consulte los momentos geométricos de la distribución logarítmica normal para obtener más información.

El mismo factor de σ²/2 aparece en la d ₁ y d₂ variables auxiliares de la fórmula de Black-Scholes, y pueden interpretarse como una consecuencia de Itô' s lema.

Doléans-Dade exponencial

La exponencial de Doléans-Dade (o exponencial estocástica) de una semimartingala continua X se puede definir como la solución de la SDE dY = Y dX con condición inicial Y₀ = 1. A veces se denota por Ɛ(X). Aplicando el lema de Itô con f(Y) = log(Y) da

dlog⁡ ⁡ ()Y)=1YdY− − 12Y2d[Y]=dX− − 12d[X].{displaystyle {begin{aligned}dlog(Y) {1}{Y},dY-{frac} {1}{2Y^{2}},d[Y][6pt] â=dX-{tfrac {1}{2}},d[X].end{aligned}}}

La potenciación da la solución

Yt=exp⁡ ⁡ ()Xt− − X0− − 12[X]t).{displaystyle Y_{t}=exp left(X_{t}-X_{0}-{tfrac {1}{2}[X]_{t}right).}

Fórmula de Black-Scholes

El lema de It se puede usar para derivar la ecuación de Black-Scholes para una opción. Supongamos que el precio de una acción sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica dS = S(σdB + μ dt). Entonces, si el valor de una opción en el momento t es f(t, S_t), el lema de Itô da

df()t,St)=()∂ ∂ f∂ ∂ t+12()Stσ σ )2∂ ∂ 2f∂ ∂ S2)dt+∂ ∂ f∂ ∂ SdSt.{displaystyle df(t,S_{t})=left({frac {partial f}{partial f} {fnMicroc {2}left(S_{t}sigmaright)^{2}{frac {partial ^{2}f}{partial S^{2}}}right),dt+{frac {partial f}{partial f}{partial S^{2}}}}}}right) Sí.

El término ∂f/∂S dS representa el cambio de valor en el tiempo dt de la estrategia comercial que consiste en mantener una cantidad ∂ f/∂S del stock. Si se sigue esta estrategia comercial y se supone que cualquier efectivo retenido crecerá a la tasa libre de riesgo r, entonces el valor total V de esta cartera satisface la SDE

dVt=r()Vt− − ∂ ∂ f∂ ∂ SSt)dt+∂ ∂ f∂ ∂ SdSt.{displaystyle DV_{t}=rleft(V_{t}-{frac {partial f}{partial ¿Qué? Sí.

Esta estrategia replica la opción si V = f(t,S). La combinación de estas ecuaciones da la célebre ecuación de Black-Scholes

∂ ∂ f∂ ∂ t+σ σ 2S22∂ ∂ 2f∂ ∂ S2+rS∂ ∂ f∂ ∂ S− − rf=0.{displaystyle {frac {partial f}{partial t}+{frac {sigma {f} {f} {f}} {f}f} {f}} {f}} {f}} {f}}} {f}}}}} {f}f}}}}}f} {f}}}}} {f} {f}}}}}}}}}} {f}f}f}f} {f}f}}}f}f}}}f}f}}}f}}}}f}f}f}}}f}f} {f} {f}f}f}}}}f} {f}f}f} {f}f} {f} {f}}}f}f}f}f}f}f}f} {f}}f}f}f}f}}}}f}f}f}f}}f}f} ¿Qué?

Regla de producto para procesos Itô

Vamos Xt{displaystyle mathbf {X} _{t} ser un bidimensional Ito process with SDE:

dXt=d()Xt1Xt2)=()μ μ t1μ μ t2)dt+()σ σ t1σ σ t2)dBt{displaystyle dmathbf {X} ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ################################################################################################################################################################################################################################################################ ¿Qué? ¿Qué?

Entonces podemos usar la forma multidimensional de la lema de Ito para encontrar una expresión para d()Xt1Xt2){displaystyle d(X_{t}{1}X_{t}{2}}.

Tenemos μ μ t=()μ μ t1μ μ t2){displaystyle mu {}={begin {pmatrix}mu} ¿Qué? ¿Qué? y G=()σ σ t1σ σ t2){displaystyle mathbf {G} ={begin{pmatrix}sigma ¿Qué? ¿Qué?.

Listo. f()t,Xt)=Xt1Xt2{displaystyle f(t,mathbf {X}=X_{t}{1}X_{t}{2} y observar que ∂ ∂ f∂ ∂ t=0,()Silencio Silencio Xf)T=()Xt2Xt1){displaystyle {frac {partial f}=0, (nabla _{mathbf {X}f)}==(X_{t}{2}c}cH0}cH0} # y HXf=()0110){displaystyle H_{mathbf {X}f={begin{pmatrix}0 limit111}}}}

Sustituyendo estos valores en la versión multidimensional del lema nos da:

d()Xt1Xt2)=df()t,Xt)=0⋅ ⋅ dt+()Xt2Xt1)dXt+12()dXt1dXt2)()0110)()dXt1dXt2)=Xt2dXt1+Xt1dXt2+dXt1dXt2{displaystyle {begin{aligned}d(X_{t}X_{t}^{2}) "Df(t,mathbf {X} _{t})\fn0cdot dt+(X_{t}^{2} ¿Qué? ¿Qué? {cHFF} {cHFF} {cH00}} {cH00}} {c}}} {c}}}} {c}}}} {c}c}c}cH0} {cH0}} {c}}}c}} {c}}}}ccH00} {c}}} {c}}}}}}}} {c}}} {c}}}}}}}}}}}}} {c} {c}}}}} {c}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {c}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}cccccc}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}

Esta es una generalización de la regla del producto de Leibniz a los procesos de Ito, que no son diferenciables.

Además, usar la segunda forma de la versión multidimensional anterior nos da

d()Xt1Xt2)={}0+()Xt2Xt1)()μ μ t1μ μ t2)+12Tr⁡ ⁡ [()σ σ t1σ σ t2)()0110)()σ σ t1σ σ t2)]}dt+()Xt2σ σ t1+Xt1σ σ t2)dBt=()Xt2μ μ t1+Xt1μ μ t2+σ σ t1σ σ t2)dt+()Xt2σ σ t1+Xt1σ σ t2)dBt{displaystyle {begin{aligned}d(X_{t}X_{t}^{2}=left{0+(X_{t}{2})} {begin{pmatrix}mu} ¿Qué? ¿Qué? [1}{2}operatorname {Tr} left[(sigma _{t}{1} \sigma _{t}{2}){begin{pmatrix}0 limit11}pmatrix}{begin{pmatrix}sigma ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Por qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Qué? ¿Por qué?

así que vemos que el producto Xt1Xt2{displaystyle ¿Qué? es en sí mismo un proceso de diffusión de deriva Itô.

Su fórmula para funciones con variación cuadrática finita

Una idea de Hans Föllmer fue extender la fórmula de It a funciones con variación cuadrática finita.

Vamos f▪ ▪ C2{displaystyle fin C^{2} ser una función de valor real y x:[0,JUEGO JUEGO ]→ → R{displaystyle x:[0,infty]to mathbb {R} una función RCLL con variación cuadrática finita. Entonces...

f()xt)=f()x0)+∫ ∫ 0tf.()xs− − )dxs+12∫ ∫ ]0,t]f.()xs− − )d[x,x]s+.. 0≤ ≤ s≤ ≤ t()f()xs)− − f()xs− − )− − f.()xs− − )Δ Δ xs− − 12f.()xs− − )()Δ Δ xs)2)).{displaystyle {begin{aligned}f(x_{t}) {=f(x_{0})+int _{0}^{t}f'(x_{s-})mathrm {d} x_{s}+{2} {2}int _{]0,t]}f'(x_{s-})d[x,x]_{s}\\ {0leq sleq t}left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-} Delta x_{s}-{2}f'(x_{s-})(Delta x_{s})}right)end{aligned}}

Fórmulas de dimensión infinita

Existen un par de extensiones del espacio de dimensión infinita (por ejemplo, Pardoux, Gyöngy-Kryklov, Brzezniak-van Neervan-Veraar-Weis).