Lema de Hotelling

El lema de Hotelling es un resultado de la microeconomía que relaciona la oferta de un bien con el beneficio máximo del productor. Fue demostrado por primera vez por Harold Hotelling y se utiliza ampliamente en la teoría de la empresa.

Específicamente, afirma: La tasa de aumento de los beneficios maximizados con respecto a un aumento de precio es igual a la oferta neta del bien. En otras palabras, si la empresa elige maximizar las ganancias, entonces las opciones se pueden recuperar a partir del conocimiento de la función de ganancia máxima.

Declaración formal

Vamos. ${\displaystyle p}$ denota un precio variable, y ${\displaystyle w}$ ser un coste constante de cada entrada. Vamos. ${\displaystyle x:{\cH004 {R} {\fn}\fnMicrosoft}} X.$ ser un mapeo del precio a un conjunto de opciones de insumos factibles ${\displaystyle X\subset {\Mathbb {R} {\fn}}$. Vamos. ${\displaystyle f:{\mathbb {R} {\fn}\fnMicrosoft}} {\fnMithbb {R} {\fn}}}$ ser la función de producción, y ${\displaystyle y(p)\triangleq f(x(p)}$ ser el suministro neto.

El beneficio máximo puede ser escrito por

${\displaystyle \pi (p)=\max _{x}p\cdot y(p)-w\cdot x(p). }$

Entonces el lema declara que si el beneficio ${\displaystyle \pi}$ es diferente en ${\displaystyle p}$, el suministro neto maximizando

${\displaystyle y^{*}(p)={\frac {d\pi (p)}{dp}}}$

Demostración del lema de Hotelling

El lema es un corolario del teorema de la envolvente.

Específicamente, el beneficio máximo puede ser reescrito como ${\displaystyle \pi (p,x^{*})=p\cdot f(x^{*}(p)-w\cdot x^{*}(p)}$ Donde ${\displaystyle x^{*}$ es la entrada máxima correspondiente a ${\displaystyle y^{*}$. Debido a la optimización, la condición de primer orden da

${\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\fnMicrosoft {\\fnMicrosoft} ################################################################################################################################################################################################################################################################ #### ### #########################################################################################################################################################################################################################################################$

()1)

Tomando el derivado por ${\displaystyle p}$ a ${\displaystyle x^{*}$,

${\displaystyle {\fnMicroc {\fnMicroc}d\pi } {dp}={\frac {\partial \pi}{\partial {\fnK} {\fnK} {\fnK} {\f}}} {\fnK}} {\fnK} {\f}} {\fn}}} {\fn}}}}} {\bigg }} {\bigg }{\bigg }{=x=x=x=x}{*}}} {\f}}}}{\f} {\f}} {\f}}}{\f}}}}}}}{\f}}{\f}{\f}\f}}}}}}{\f}{\f} {\f}}\f}}}}}}}}}\f}{\f}\f}{\f}}}}}}}}}\f}{\f}{\f}}\f}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}\f}\f}\f}}\f}\f}}\f}}}}}}\f} p}+{\frac {\partial \pi}{\partial p}={\frac {\partial \pi }{\partial p}=f(x^{*}(p)}=y^{*}(p)}$

donde la segunda igualdad se debe a (1). QED

Aplicación del lema de Hotelling

Considere el siguiente ejemplo. Dejar la producción ${\displaystyle y}$ precio ${\displaystyle p}$ e insumos ${\displaystyle x_{1}}$ y ${\displaystyle x_{2}$ precios ${\displaystyle ¿Qué?$ y ${\displaystyle w_{2}$. Supongamos que la función de producción es ${\displaystyle Y=x_{1}{1/3}x_{2}{1/3}$. La función de ganancia no optimizada es ${\displaystyle \pi (p,w_{1},w_{2},x_{1},x_{2})=py-w_{1}x_{1}-w_{2}x_{2}}$. De esto se pueden derivar las opciones de ganancia máxima de los insumos y la función de ganancia maximizada, una función justo de los precios de entrada y salida, que es

${\displaystyle \pi (p,w_{1},w_{2})={\frac {1}{27}{\frac} {\fn} {\fn}} {\fn}}}} {\fn}}} {\fn}}} {\f}}} {\f}}}}}}}}} {\f}}}}}}}}}}}}}} {\c} {}}}}}}}}} {\c}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

El Lema de Hotelling dice que a partir de la función de beneficio maximizado podemos encontrar las opciones de producción e insumo que maximizan el beneficio tomando derivadas parciales:

${\displaystyle {\frac {\partial \pi (p,w_{1},w_{2}}{\partial \pi ♪ ♪=y={\frac {1}{9}{\frac} {\fn} {\fn}}} {\fn}}}} {\fn}} {\fn}}} {\f}}}} {\fn}}}}}}}} {\fn}}}}}}}}}}}}}}} {\f}}}}}}} {\c}}}}}}}}}}}}}}}} {\}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {}}} {\}}}} {}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {\$

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Obsérvese que el lema de Hotelling da la oferta neta , que es positiva para los productos y negativa para los insumos, ya que el beneficio aumenta con los precios de los productos y cae con los precios de los insumos.

Críticas y evidencia empírica

Se han hecho varias críticas con respecto al uso y aplicación del lema de Hotelling en el trabajo empírico.

C. Robert Taylor señala que la precisión de la lema de Hotelling depende de la firma que maximiza las ganancias, lo que significa que está produciendo ganancias maximizando la producción ${\displaystyle y^{*}$ y minimización de costos ${\displaystyle x^{*}$. Si una firma no está produciendo en estos optima, entonces la lema de Hotelling no se mantendría.